第四章指数函数与对数函数4.5.3函数模型的应用 ppt课件（含导学案）-2022新人教A版（2019）《高中数学》必修第一册.rar

第四章 指数函数与对数函数4.5 函数的应用（二）4.5.3 函数模型的应用一、教学目标1、了解和体会各种函数模型在社会生活及科研中的广泛应用；2、会确定函数模型，验证函数模型的合理性，并应用模型解决实际问题3、恰当运用函数的三种表示方法（解析式、表格、图象）并借助信息技术解决一些实际问题；4、经历建立函数模型解决实际问题的过程，体会数学的应用价值，培养学生的应用意识、创新意识和探索精神，优化学生的理性思维和求真务实的科学态度二、教学重点、难点重点：认识各种函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同难点：应用函数模型解决实际问题三、学法与教学用具1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标.2、教学用具：多媒体设备等四、教学过程（一）复习回顾，创设情景，揭示课题（一）复习回顾，创设情景，揭示课题【目前已知的函数】（1）一次函数：(0)ykxb k （2）二次函数：20yaxbxc a（3）指数函数：0,1xyaaa且 （4）对数函数：log0,1ayx aa且（5）幂函数：yx （6）分段函数【解决问题的数学工具】（1）解方程（2）解不等式（3）基本不等式（二）阅读精要，研讨新知（二）阅读精要，研讨新知【例题研讨】阅读领悟课本148P例 3、例 4，（用时约为 6 分钟，教师作出准确的评析.）例 3 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列相关政策提供依据.早在 1798 年，英国经济学家马尔萨斯(T.R.Malthus,17661834)就提出了自然状态下的人口增长模型rteyy0，其中t表示经过的时间，0y表示0t时的人口数，r表示人口的年平均增长率.（1）根据国家统计局网站公布的数据，我国 1950 年末，1959 年末的人口总数 分别为 55 196 万和 67 207万.根据这些数据，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在 19501959 年期间的具体人口增长模型.（2）利用（1）中的模型计算 19511958 年各年末的人口总数.查阅国家统计局网站公布的我国在 19511958 年间各年末的实际人口总数，检验所得模型与实际人口数据是否相符.（3）以（1）中的模型作预测，大约在什么时候我国人口总数达到 13 化？解：（1）由题意知055196y，设 19501959 年期间我国人口的年平均增长率为r，根据马尔萨斯人口增长模型，有96720755196re，由计算工具得0.021876r 因此我国在 19501959 年期间的人口增长模型为0.02187655196,0,9tyet（2）分别取1,2,.,8t，由0.02187655196tye可得我国在 19511958 年间的各年末人口总数；查阅国家统计局网站，得到我国 19511958 年各年末的实际人口总数，如表 4.5-4 所示.根据 19501959 年我国人口总数的实际数据画出散点图，并画出函数0.02187655196,0,9tyet的图象（图 4.5-6）由表 4.5-4 和图 4.5-6 可以看出，所得模型与 19501959 年我国的实际人口数据基本吻合.（3）将130000y 代入0.02187655196tye，由计算工具得39.15t 所以，如果人口按照（1）中的模型增长，那么大约在 1950 年后的第 40 年（即 1990 年），我国人口就已达到 13 亿.【数据差异】事实上，我国 1990 年的人口数为 11.43 亿，直到 2005 年才突破 13 亿.因为人口基数较大，人口增长过快，与我国经济发展水平产生了较大矛盾，所以我国从 20 世纪 70 年代逐步实施了计划生育政策，因此这一阶段的人口增长条件并不符合马尔萨斯人口增长模型的条件，自然就出现了依模型得到的结果与实际不符的情况.所以在用已知的函数模型刻画实际问题时，应注意模型的适用条件.例4 2010 年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料(草裹泥)上提取的草基遗存进行碳14年代学检测，检测出碳 14 的残留量约为初始量的 55.2%，能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的?解：设样本中碳 14 的初始量为k，衰减率为(01)pp，经过x年后，残余量为y.根据问题的实际意义，可选择如下模型：(1)xykp（kR，且0;01;0kpx）由碳 14 的半衰期为 5730 年，得57301(1)2kpk，于是5730112p，所以57301()2xyk由样本中碳 14 的残留量约为初始量的 55.2%可知57301()55.2%2xkk，即57301()0.5522x解得573012log0.5524912x 因为 2010 年之前的 4912 年是公元前 2903 年，所以推断此水坝大概是公元前 2903 年建成的.【小组互动】完成课本150P练习 1、2、3，同桌交换检查，老师答疑并公布答案.例 5 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报 40 元；方案二：第一天回报 10 元，以后每天比前一天多回报 10 元；方案三：第一天回报 0.4 元，以后每天的回报比前一天翻一番.请问，你会选择哪种投资方案?解：设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数*40()yxN进行描述；方案二可以用函数*10()yx xN进行描述；方案三可以用函数1*0.4 2()xyxN进行描述.三个模型中，第一个是常数函数，后两个都是增函数.要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析.用信息技术计算一下三种方案所得回报的增长情况(表 4.5-5).再画出三个函数的图象（图 4.5-7）由表 4.5-5 和图 4.5-7 可知，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案三的函数与方案二的函数的增长情况很不相同.可以看到，尽管方案一、方案二在第 1 天所得回报分别是方案三的 100 倍和 25 倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从第 7 天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二所无法企及的.从每天所得回报看，在第 13 天，方案一最多；在第 4 天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第 58 天，方案二最多；第 9 天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第 30 天，所得回报已超过 2 亿元.下面再看累计的回报数.通过信息技术列表如下(表 4.5-6).因此，投资 16 天，应选择方案一；投资 7 天，应选择方案一或方案二；投资 810 天，应选择方案二；投资 11 天(含 11 天)以上，则应选择方案三.【结论】上述例子只是一种假想情况，但从中可以看到，不同的函数增长模型，增长变化存在很大差异，例 6 某公司为了实现 1 000 万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到 10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加面增加，但奖金总 数 不 超 过 5 万 元，同 时 奖 金 不 超 过 利 润 的 25%.现 有 三 个 奖 励 模 型：70.25,log1,1.002xyx yxy，其中哪个模型能符合公司的要求?解：借助信息技术画出函数75,0.25,log1,1.002xyyx yxy的图象(图 4.5-8).观察图象发现，在区间10,1000上，模型0.25,1.002xyx y的图象都 有一部分在直线5y 的上方，只有模型7log1yx的图象始终在5y 的下方，这说 明只有按模型7log1yx进行奖励时才符合公司的要求.下面通过计算确认上述判断.【课本研读】阅读课本153P，同桌交流心得.【小组互动】完成课本154P练习 1、2，同桌交换检查，老师答疑并公布答案.（三）探索与发现、思考与感悟（三）探索与发现、思考与感悟1.下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是()A.1100 xye B.100lnyx C.100yx D.100 2xy 解：指数函数呈爆炸式增长，又2e，所以1100 xe比100 2x增大速度快，故选A，2.一张纸的厚度大约为0.01cm，一块砖的厚度大约为10cm，如果将一张纸对折 20 次，它的厚度和 20块砖的厚度相比较，会出现（）A.纸的厚度与砖的厚度一样 B.纸的厚度低于砖的厚度 C.纸的厚度高于砖的厚度 D.以上都有可能解：纸对折n次的厚度满足()0.01 2()nf ncm，n块砖的厚度满足()10()g nn cm，所以(20)10500cfm，(20)200cgm.故选 C3.某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位：)满足函数关系kx bye(2.718e 为自然对数的底数，,k b为常数).若该食品在 0的保鲜时间是 192 小时，在 22的保鲜时间是 48 小时，则该食品在 33的保鲜时间是 小时.解：由题意得11221921921482bbkk beeee，当33x 时，3311331()()192242k bkbyeee，答案：244.某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表身高/cm60708090100110120130140150160170体重/kg6.137.909.9012.1515.0217.5020.9226.8631.1138.8547.2555.05（1）根据表提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重ykg与身高xcm 的函数关系？试写出这个函数模型的解析式.（2）若体重超过相同身高男性体重平均值的 1.2 倍为偏胖，低于 0.8 倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为 175cm，体重为 78kg 的在校男生的体重是否正常？解：（1）以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图.根据点的分布特征，可考虑以xbay作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型.如果取其中的两组数据(70，7.90)，(160，47.25)，代入xbay得：1607025.479.7baba，利用计算工具得02.1,2ba.这样，我们就得到一个函数模型：xy02.12.将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系.（2）将175x代入xy02.12得17502.12y，由计算工具得98.63y.由于2.122.198.6378，所以，这个男生偏胖.（四）归纳小结，回顾重点（四）归纳小结，回顾重点（五）作业布置，精炼双基（五）作业布置，精炼双基1.完成课本155P习题 4.5 9-12,13、142.阅读研修课本158P 第四章小结，完成复习参考题 4五、教学反思：（课后补充，教学相长）4.5.3 函数模型的应用第四章 指数函数与对数函数 目录 CONTENT（一）复习回顾，创设情景，揭示课题（一）复习回顾，创设情景，揭示课题 目录 CONTENT（二）（二）阅读精要，阅读精要，研讨新知研讨新知 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT（三）探索与发现、思考与感悟（三）探索与发现、思考与感悟 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT（四）归纳小结，回顾重点（四）归纳小结，回顾重点 目录 CONTENT（五）作业布置，精炼双基（五）作业布置，精炼双基A good beginning is half done良好的开端是成功的一半