第三章函数的概念与性质3.1.1函数的概念 ppt课件（含导学案）-2022新人教A版（2019）《高中数学》必修第一册.rar

第三章 函数的概念与性质3.1 函数的概念及其表示3.1.1 函数的概念一、教学目标1、能正确理解函数的概念，能用集合与对应的语言刻画函数,了解构成函数的三要素；2、能正确理解()f x的意义，掌握区间的表示；3、会求简单函数的定义域、值域，会判断相等函数；4、培养学生的抽象概括能力，体会对应关系在刻画函数概念中的作用.二、教学重点、难点重点：体会函数是描绘变量之间依赖关系的重要数学模式,正确理解函数的概念。难点：函数的概念及符号()yf x的理解。三、学法与教学用具1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标.2、教学用具：多媒体设备等四、教学过程（一）复习回顾，创设情景，揭示课题（一）复习回顾，创设情景，揭示课题【学习回顾】初识函数在初中，那时知道函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具，也学习过几个简单的函数，可是也留下一些疑问，例如：（1）正方形的周长l与边长x的对应关系4lx与函数4yx是否相同？（2）你能用已有的函数知识判断yx与2xyx是否相同吗？（3）与隧道口对应的二次函数是不是只有最大值？还是最大值、最小值都存在？【感悟】之前学到的函数知识还不够，需要继续学习函数.【问题 1】某“复兴号”高速列车加速到 350 km/h 后保 持匀速运行半小时，半小时，这段时间内，列车行进的路程S(单 位：km)与运行时间：t(单位:h)的关系可以表示为350St.【说法】t和S是两个变量，而且对于t的每一个确定的 值，S都有唯一确定的值与之对应，所以S是t的函数.【新疑问】有人说：“根据对应关系350St，这趟列车加速到 350 km/h 后，运行 1h 就前进了350km”，你认为这个说法正确吗?【解析】根据问题 1 的条件，我们不能判断列车以 350 kn/h 运行半小时后半小时后的情况，所以上述说法不正确。显然，其原因是没有关注到t的变化范围.【新描述】列车行进的路程S与运行时间t的对应关系是350St，其中，11|00.5,|0175tAttSBSS 对于数集对于数集1A中的任一时刻中的任一时刻t，按照对应关系，在数集，按照对应关系，在数集1B中都有唯一确定的路程中都有唯一确定的路程S和它时应.和它时应.【问题 2】某电气维修公司要求工人每周工作至少 1 天，至多不超过 6 天，如果公司确定的工资标准是每人每天 350 元，而且每周付一次工资，那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资?一个工人的工资w(单位：元)是他工作天数d的函数吗?【解析】显然，工资w是一周工作天数d的函数，其对应关系是350wd 其中，21,2,3,4,5,6dA，2350,700,1050,1400,1750,2100wB【新描述】数集数集2A中的任一个中的任一个d，按照对应关系，在数集，按照对应关系，在数集2B中都有唯一确定的中都有唯一确定的w与它对应.与它对应.【新问题】问题 1 和问题 2 中的函数对应关系相同，它们是同一个函数吗？【问题 3】图 3.1-1 是北京市 2016 年 11 月 23 日的空气质量指数(Air Quality Index,简称 AQI)变化图，如何根据该图确定这一天内任一时刻th 的空气质量指数(AQD)的值I？你认为这里的I是t的函数吗？【解析】从图 3.1-1 中的曲线可知，3|024tAtt，3|0150IBII【新描述】对于数集对于数集3A中的任一时刻中的任一时刻t，按照图 3.1-1 中曲线所给定的对应关系，按照图 3.1-1 中曲线所给定的对应关系，在数集在数集3B中都有唯一确定的 AQI 的值中都有唯一确定的 AQI 的值I与之对应与之对应，因此，这里的I是t的函数.【新问题】你能根据图 3.1-1 找到中午 12 时的 AQI 的值吗？【问题 4】国际上常用恩格尔系数r(100%r 食物支出金额总支出金额)反映出一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高.表 3.1-1 是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高.你认为按表 3.1-1 给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗?如果是，你会用怎样的语言来刻画这个函数?【解析】42006,2007,2008,2009,2010,2011,2012,2013,2014,2015yA根据恩格尔系数的定义可知，4|01rBrr【新描述】对于数集对于数集4A中的任意一个年份中的任意一个年份y，根据表 3.1-1 所给定的对应关系，在数集，根据表 3.1-1 所给定的对应关系，在数集4B中都有唯一确定的恩格尔系数中都有唯一确定的恩格尔系数r与之对应，所以与之对应，所以r是是y的函数.的函数.【问题归纳和疑问】上述问题 1问题 4 中的函教有哪些共同特征?由此你能概括出函数概念的本质特征吗?【归纳】上述问题的共同特征有：（1）都包含两个非空数集，用,A B来表示；（2）都有一个对应关系；（3）尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：对于数集A中的任意一个数x，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数y和它对应.事实上，除解析式、图象、表格外，还有其他表示对应关系的方法，为了表示方便，我们引进符号f统一表示对应关系.（二）阅读精要，研讨新知（二）阅读精要，研讨新知一般地，设设,A B是非空的实数集，如果对于集合是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系，按照某种确定的对应关系f，在集合，在集合B中都有唯一确定的数中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称和它对应，那么就称:fAB为从集合为从集合A到集合到集合B的一个函数(function)，记作的一个函数(function)，记作(),yf x xA其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域(domain)；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合()|f xxA叫做函数的值域(range).【正确认知】显然，值域是集合B的子集，在问题 1 与问题 2 中，值域就是1B和2B；在问题 3 中，值域是数集3B的真子集；在问题 4 中，值域40.3669,0.3681,0.3817,0.3569,0.3515,0.3353,0.3387,0.2989,0.2935,0.2587C 是数集4|01Brr的真子集.【认知佐证】（1）一次函数()(0)f xaxb a的定义域是R，值域也是R，对应关系对应关系f把把R中的任意一个数中的任意一个数x，对应到，对应到R中唯一确定的数中唯一确定的数(0)axb a.（2）二次函数2()(0)f xaxbxc a的定义域是R，当0a 时，值域是24|4acbBy ya，当0a 时，值域是24|4acbBy ya，对应关系对应关系f把把R中的任意一个数中的任意一个数x，对应到，对应到R中唯一确定的数中唯一确定的数2(0)axbxc a.【认知互动】请说出反比例函数()(0)kf xkx的定义域、值域，如何用函数定义描述？【答案】反比例函数()(0)kf xkx的定义域是|0Ax x，值域是|0By y.【例题研讨】阅读领悟课本63P例 1（用时约为 2 分钟，教师作出准确的评析.）例 1|函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的，它所反映的两个量之间的对应关系，可以广泛地用于刻画一类事物中的变量关系和规律，例如，正比例函数(0)ykx k可以用来刻画匀速运动中路程与时间的关系、一定密度的物体的质量与体积的关系、圆的周长与半径的关系等.试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式(10)yxx来描述.解：把(10)yxx看成二次函数，有2210(5)2525yxxx 则定义城是R，值域是|25By y，对应关系f把R中的任意一个数x，对应到B中唯一确定的数(10)xx.【构建情景】限制x的取值范围如|010 xxx，可以构建如下情境：如果长方形的周长为 20，设一边长为x，面积为y，那么(10)yxx其中，|010 xAxx，y的取值范围是|025Byy.对应关系对应关系f把每一个长方形的边长把每一个长方形的边长x，对应到唯一确定的面积，对应到唯一确定的面积(10)xx.【小组互动】完成课本63P练习 1、2、3、4，同桌交换检查，老师答疑并公布答案.【问题思考】学习了函数概念，还需要学习其它知识吗？研究函数时常会用到区间区间的概念设,a b是两个实数，而且ab，我们规定：（1）满足不等式axb的实数x的集合叫做闭区间闭区间，表示为,a b；（2）满足不等式axb的实数x的集合叫做开区间开区间，表示为(,)a b；（3）满足不等式axb或axb的实数x的集合叫做半开半闭区间半开半闭区间，分别表 示为,),(,a ba b这里的实数a与b都叫做相应区间的端点端点.区间的数轴表示实数集R的区间表示为(,)满足,xa xa xb xb的实数x的集合，可以用分别表示如图 3.1-3【例题研讨】阅读领悟课本65P例 2、例 3（用时约为 5 分钟，教师作出准确的评析.）例 2 已知函数1()32f xxx.（1）求函数的定义域；（2）求2(3),()3ff；（3）当0a 时，求(),(1)f af a的值.解：（1）由已知，函数有意义，满足303202xxxx ，所以函数的定义域为|3x x 且2x ，区间表示 3,2)(2,)（2）1221333(3)331,()3232338323ff （3）因为0a，所以(),(1)f af a有意义所以111()3,(1)1 3221 21f aaf aaaaaa 【相同的函数】一个函数的构成要素：定义域、对应关系和值域.如果两个函数的定义城相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，如果两个函数的定义城相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数.那么这两个函数是同一个函数.两个函数如果仅有对应关系相同，但定义城不相同，那么它们不是同一个函数.【实例佐证】（1）在前述的问题 1 中，350St，|00.5ttt，问题 2 中，350wd，1,2,3,4,5,6d 尽管两个函数的对应关系都是350yx，但它们的定义城不相同，因此它们不是同一个函数，与正比例函数350()yx xR也不是同一个函数.（2）函数22,(,),(,),uttxyy 2,(,)yxx 虽然表示的字母不同，但因为定义域与对应关系相同，所以它们是同一个函数.例 3 下列函数中与函数yx相同的是()A.2()yx B.33uv C.2yx D.2nmn解：对于 A，2(),0,)yxx，不符合；对于 B，33,uvv vR与,yx xR是相同函数；对于 C，2,0|,0 x xyxxxx，虽然xR，但是对应法则不相同，不符合对于 D，2,|0nmn nn nn，与,yx xR的对应法则相同但定义域不同，不符合.故选 B【小组互动】完成课本67P练习 1、2、3，同桌交换检查，老师答疑并公布答案.（三）探索与发现、思考与感悟（三）探索与发现、思考与感悟例 1.下列图象中不能作为函数()yf x图象的是（）解：根据函数概念，只有选项 B 不符合，故选 B2.函数33()12xf xx 的定义域为_.解：由330120 xx，解得3x 且9x，所以函数定义域为3,9)(9,).【特别强调】函数的定义域表示形式为集合或者区间.3.设常数aR，函数2()|1|f xxxa，若(2)1f，则(1)f.解：由题意(2)1|4|1fa，则4a，所以(1)|1 1|1 4|3f.4 函数(1)yx xx的定义域为（）A|0 x x B|1x x C|10 x x D|01xx解：由已知需满足(1)00,1,0,00 x xxxxxx且1x，故选 C（四）归纳小结，回顾重点（四）归纳小结，回顾重点1、一般地，设设,A B是非空的实数集，如果对于集合是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系，按照某种确定的对应关系f，在集合，在集合B中都有唯一确定的数中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称和它对应，那么就称:fAB为从集合为从集合A到集合到集合B的一个函数(function)，记作的一个函数(function)，记作(),yf x xA其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域(domain)；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合()|f xxA叫做函数的值域(range).2、设,a b是两个实数，而且ab，我们规定：（1）满足不等式axb的实数x的集合叫做闭区间闭区间，表示为,a b；（2）满足不等式axb的实数x的集合叫做开区间开区间，表示为(,)a b；（3）满足不等式axb或axb的实数x的集合叫做半开半闭区间半开半闭区间，分别表 示为,),(,a ba b这里的实数a与b都叫做相应区间的端点端点.区间的数轴表示实数集R的区间表示为(,)满足,xa xa xb xb的实数x的集合，可以用分别表示如图 3.1-33、一个函数的构成要素：定义域、对应关系和值域.如果两个函数的定义城相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，如果两个函数的定义城相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数.那么这两个函数是同一个函数.两个函数如果仅有对应关系相同，但定义城不相同，那么它们不是同一个函数.（五）作业布置，精炼双基（五）作业布置，精炼双基1.完成课本72P习题 3.1 1、2、3、42.预习课本 3.1.2 函数的表示法五、教学反思：（课后补充，教学相长） 3.1.1 函数的概念与性质第三章 函数的概念与性质 目录 CONTENT（一）复习回顾，创设情景，揭示课题（一）复习回顾，创设情景，揭示课题 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT（二）研讨新知（二）研讨新知，典型示例，典型示例 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT 目录 CONTENT（三）探索与发现、思考与感悟（三）探索与发现、思考与感悟 目录 CONTENT（三）探索与发现、思考与感悟（三）探索与发现、思考与感悟 目录 CONTENT（三）探索与发现、思考与感悟（三）探索与发现、思考与感悟 目录 CONTENT（三）探索与发现、思考与感悟（三）探索与发现、思考与感悟 目录 CONTENT（四）归纳小结，回顾重点（四）归纳小结，回顾重点 目录 CONTENT（四）归纳小结，回顾重点（四）归纳小结，回顾重点 目录 CONTENT（四）归纳小结，回顾重点（四）归纳小结，回顾重点 目录 CONTENT（四）归纳小结，回顾重点（四）归纳小结，回顾重点 目录 CONTENT（五）（五）作业布置，精炼双基作业布置，精炼双基A good beginning is half done良好的开端是成功的一半