1、4.2 指数函数 4.2.1指数函数的概念复习与引入1.大家还记得幂函数是怎样的吗？一般地，函数 y=x 叫幂函数，其中 x为自变量，为常数(1)只有一项，且前的系数是；1x 其解析式的结构特征：(2)幂的底数 是自变量，指数是常数。x 2.你还记得幂函数概念是如何抽象出来的吗？对于幂 ax(a0)，我们已经把指数 x 扩展到了实数范围，接下来我们就进一步研究其它基本初等函数。从，等实例中抽象出来的。1223-1pwSaVbcSvt (1)由实际问题的背景抽象出函数的概念（解析式定义域等）(2)画出函数的图象；(3)利用函数的图象和解析式，讨论函数的性质。3.研究一类函数的过程和方法是怎样的吗
2、？(4)应用函数的知识解决有关问题。知识探究（一）问题：随着中国经济高速增长,人民生活水平不断提高,旅游成了越来越多家庭的重要生活方式.由于旅游人数不断增加,两地景区自2011年起采取了不同的应对措施,地提高了景区门票价格,而地则取消了景区门票.下表给出了,两地景区2011年至2015年的游客人次以及逐年增加量.比较两地景区游客人次的变化情况,你发现了怎样的规律？思考(1)：能否作出A,B两地景区游客人次变化的图象,根据图象并结合年增加量，说明两地景区游客人次的变化情况？游客人次成非线性增长，年增加量越来越大，但无论从图象还是表格上，都难看出年增加量的变化规律 游客人次近似于直线上升(线性增长
3、)，年增加量大致相等(约为10万次)B地：地：思考(2)：既然B地景区游客人次的变化规律况很难直接看出，我们看能否从代数运算的角度去发现数据中蕴含的规律.年增加量是相邻两年的游客人次作减法得到的，你能用别的运算来发现B地景区游客人次的变化规律吗？增加量、增长率是刻画事物变化规律的两个很重要的量 计算年增加量用的是减法，而求年增长率，则可以用除法.年的游客人次年的游客人次20022001 3092071.11 年的游客人次年的游客人次20033442002309 1.11.年的游客人次年的游客人次2015124420141118 1.11 因此，地景区的游客人次的年增长率都约为 1-1.11=0
4、.11是一个常数增长率为常数的变化方式，我们常称为指数增长 思考(3)：以2001年的为基准，设B地景区经过x年后的游客人次是2001年的y倍,你能求出y关于x的函数吗？1年后，游客人次是2001的1.111倍2年后，游客人次是2001的1.112倍3年后，游客人次是2001的 1.113倍.x年后，游客人次是2001的 1.11x倍 y关于x的函数为 y=1.11x,x0,+)问题2：当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率）,大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间 称为“半衰期”按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？思考(1)：
5、设碳14含量的年衰减率为p,生物刚死亡时体内碳14含量为1个单位，你能列出生物在死亡1年后，2年后，3年后，.,其体内的碳14含量吗？你能求出p吗？死亡1年后，生物体内碳14含量为(1-p)1死亡2年后，生物体内碳14含量为(1-p)2死亡3年后，生物体内碳14含量为(1-p)3.死亡5730年后，生物体内碳14含量为(1-p)5730.（）573011-2p，157305730111()22p 即1573011()2p 衰减率为常数的变化方式，我们常称为指数衰减 思考(2):请求出生物死亡x年后，其体内的的碳14含量y?y （1-)xp1573011-1()2x 157301(),2x 0,
6、)x 问题3：比较我们刚才在问题1中和问题2中得到的两个函数，看它们的解析式在结构上有没有什么共同特征？15 7 3 011.1 1,()2xxyy 底数为常数底数为常数指数为自变量指数为自变量若 用代 替和，则 可 得 到1573011.11()2axya 其中指数 是自变量，底数且(0,1)xaa 这种函数我们称为指数函数。NoImage(1)解析式y=ax的结构特征：一般地，函数 y=ax（其中a0且a1）叫做指数函数，其中x是自变量.思考：(1)指数函数与幂函数的解析式在结构上有何不同？(2)指数函数的定义域是什么？(3)为什么要规定底数a0且a1？指数函数的定义 当a=1时，y=ax
7、=1为常数函数，不能反映指数增长或指数衰减的变化情况，无研究的必要性。只有一项，且前面的系数是；1xa 底数且常数 指数 是自变量.(01),a aax (2)定义域是R.(3)指数函数反映了函数呈指数增长或指数衰减的变化规律.当a0时，y=ax无意义.例如在等时无意义.1(2)2xyx 说明：返回返回1.判断下列函数是否是指数函数.,若不是,请并说明理由：；222(1)210 (2)(3)(3)31(4)()3(5)(6)31 (7)(1).xxxxxxyyyyyxyya 练习不 是，幂的 系 数 不 是101x不 是，底 数-30 不 是，指 数不 是 自 变 量2x 是不 是，幂的底数是
8、自变量，指数是常数2x不 是，有两项不 一 定 是，底数有可能等于211a 指数函数y=3u与一次函数u=x+2的复合函数2.若是指数函数 则2()(44),_.xf xaaaa 3简 析：是指数函数2()(44)xf xaaa 24410,1aaaa 解 得3a 24()2_.xf x 3.函数的定义域是 2,2 1.()(0,1)(3).(0),(1),(-3).xf xaaaffff 例 已知指数函数且且求的值例例 析析待 定 系 数 法13()()xf x 03(0)f 13(1)f 33(3)f 3a ，解 得13a 解：3x 1 ，3,11.且(),(3)xf xaf 1.下列图象
9、中，有可能表示指数函数的是（）由指数函数的定义和增长模型(指数增长：越来越快指数衰减：越来越慢)可知，C比较符合要求C简 析：（教材P115练习第1题）已 知是 指 数 函 数，若，则2.()(2)40()8010._,(4)_.fxff bbf ()(11)xfxaaa 设且，则2(2)40fa ，()80 10,f b 2 10a 4(4)1600.fa 31600简 析：练习3,b 3402 10baa 例.(1)在问题中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，地景区的门票价格为150元，比较这15年间，两地旅游收入变化情况例例 析析10600 x 和2781.1
10、1x 思考(1):从2001年起，x年后，两地旅游客人次(万次)分别是多少？思考(2):从2001年起，x年后，两地旅游收入(万元)的函数f(x)和g(x)各是怎样的？()1150(10600)f xx ()10002781.11xg x 115000690000 x 2780001.11x 思考(3):你能猜想出函数f(x)和g(x)的大致图象吗，根据图象，你能比较各这15年间，两地旅游收入变化情况吗？(10.22,1865300)设 经 过年，游 客 给两 地 带 来 的 收 入 分 别 为万 元,则,(),()xA Bfxg x 例.(1)在问题中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1
11、000元门票之外的收入，地景区的门票价格为150元，比较这15年间，两地旅游收入变化情况解：()f x ()g x 1150(10600)115000690000 xx 10002781.112780001.11xx 当时，有0 x (0)(0)fg 690000278000 412000 当时，有10.22x .(10 22)(10.22)1865300fg 当时，有14x (14)(14)fg 230000677303 347303 在2001年，游客给地带来的收入比地多412000万元；随后10年，f(x)g(x)，但g(x)的增长速度大于f(x)，即地的旅游收入增长得更快；在2011年
12、2月(x=10.22时)的某个时刻，f(x)=g(x)，这时游客给,B两地带来的收入差不多；此后，f(x)g(x)，游客给地带来的收入超过了地，地的旅游收入增长得越来越快;在2015年，地的收入已经比地多347303万元 例.(2)在问题2中，某生物死亡10000年后，它体碳14内含量衰减为原来的百分之几(保留两位小数)?141若 把 生 物 体 内 碳含 量 看 成 个 单 位，则57301(),0,)2xx ()h x (1000)h 100057301()2 0.30当时，1000 x 10000140.30 生物死亡年后，其体内碳含量约为原来的解：14()xh x设 生 物 死 亡年
13、后，它 体 内 碳含 量 为,(),(4()()?):,Npxyy 设 原 有 量 为每 次 的 增 长 率 或 衰 减 率为经 过次 增 长 或 衰 减，该 量 增 长 或 衰 减 到则思 考(1)xyNp (1)xyNp 或(指数增长模型)(指数衰减模型)刻画指数增长或指数衰减的函数模型(0,01)xykakaa其中且返回返回参考数据57301000(:0.50.3)*(0.5)(1)(),(0)3,2,2,(0)(0.5)(0.5).,2,()(0.5(1)ffyfxxRffffnnNyfxfn 1.已知函数且求函数一个解析式.简 析：*(0.5)(1)(0.5)2,2,.,2,(0)(
14、0.5)(0.5(1)fffnnNfffn (1)(0)ff(2)(1)ff 4,(),(1)f nf n *nN 4,4,函数的变化方式是:()f x以 为增长比例呈指数增长.4(0)3f 又由得()4xf xk可设()34.xf x练习（教材P115练习第2题）3k 简 析：006.25 302.某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以增长率呈指数增长，那么经过30天后，该湖泊的蓝藻会变为原来的多少倍(保留两位小数.参考数据：1.06256.164）（教材P115练习第3题）,k若 湖 泊 的 蓝 藻 原 来 的 数 量 为则()xfx设 经 过天 后，该 湖 泊 的 蓝 藻 数 量 为,()f x 30 x 当时，(30)f 301.0625k 6.16k 00(16.25)xk 经过30天后，该湖泊的蓝藻约为原来的6.16倍.小结1.什么样的函数是指数函数？在结构上有何特征？它主要用来刻画什么样的变化规律？业业2.刻画函数呈指数增长或指数衰减的函数模型一般是怎样的？其中底数的意义是什么？说说函数“y=40.6x”中的底数，初始值，增长率或衰减率各是多少?底数：初始值：衰减率：0.641-0.6=0.4作 业教材P118习题4.2第1、2、4题 23.36(保留两位小数.参考数据：1.15）20.23
