1、诱导公式诱导公式sin(x+2ksin(x+2k)=sinx,)=sinx,的几何意的几何意义义xyoXX+2XX+2正弦函数值是按照一定规律正弦函数值是按照一定规律不断重复地不断重复地出现的出现的 能不能从正弦、余弦函数周期性归纳出一般函能不能从正弦、余弦函数周期性归纳出一般函数的规律性？数的规律性？1.1.一般地，对于函数一般地，对于函数f(x),f(x),如果存在一个如果存在一个非零的非零的常数常数T T，使得，使得定义域内的每一个定义域内的每一个x x的值，都满的值，都满足足f(x+T)=f(x)f(x+T)=f(x)，那么函数，那么函数f(x)f(x)就叫做就叫做非零常数非零常数T
2、T叫做这个函数的叫做这个函数的2.2.对于一个周期函数对于一个周期函数f(x),f(x),如果在它所有的周期如果在它所有的周期中存在一个中存在一个最小的正数最小的正数，那么这个最小的正，那么这个最小的正数就叫做数就叫做f(x)f(x)的的正弦函数和余弦函数的最小正周期都是正弦函数和余弦函数的最小正周期都是22.概念概念:1.,()()().sin()sin,424f xTf xTyf xxx 例例定定义义是是对对定定义义域域中中的的值值来来说说的的只只有有注注意意:每每一一个个个个别别的的满满足足不不能能说说值值:是是的的周周期期如如2sin()sin,sin.22xxxyx 就是说不能对 在
3、定义域内的每一个值使就是说不能对 在定义域内的每一个值使因此不是的周期因此不是的周期sin()sin.323但但是是3.(1)(,)(2)()1.()()0.()f xCxD xCxxR 并并不不是是所所有有的的函函数数都都有有最最小小正正周周期期,例例如如常常值值函函数数为为常常数数周周期期当当 为为有有理理数数时时，周周期期为为任任一一非非零零有有理理数数为为任任一一非非零零实实数数它它们们都都没没有有。当当 为为无无最最小小理理数数时时正正周周期期.思考：一个周期函数的周期有多少个？思考：一个周期函数的周期有多少个？XX+2yx024-2y=sinx(xR)自变量自变量x增加增加2时函数
4、值时函数值不断重复地不断重复地出现的出现的oyx48xoy612三角函数的周期性三角函数的周期性:3.T是是f(x)的周期，那么的周期，那么kT也一定是也一定是f(x)的周期的周期.(k为非零整数为非零整数)【例1】求下列函数的周期：练习练习.1.y=sinx(x0,4)1.y=sinx(x0,4)是周期函数吗？是周期函数吗？.2:)0,0,(),cos(),sin(TAARxxAyRxxAy，的周期为且数为常其中数及函函数一般地归纳总结归纳总结应用(1)函数函数ysinx的周期是的周期是T=(2)函数函数ycos2x的周期是的周期是T=_.一般地，函数一般地，函数 y=Asin(x+)及及y
5、=Acos(x+)（其中（其中A,为常数，为常数，且且 A0,0 ）的周期是）的周期是:周期求法：周期求法：l1.1.定义法：定义法：l2.2.公式法：公式法：2 (0)T n3.3.图象法图象法:（1 1）定义域、值域）定义域、值域（2 2）周期性）周期性（5 5）单调性）单调性（3 3）奇偶性）奇偶性（4 4）对称性）对称性（6 6）最值）最值yxo1-122322(0,0)(,1)2(,0)(,-1)23(2,0)的图象五点画图法，作2,0,sinxxyxsinx2 23 0 2 0-1100 x cosx2 23 0 2 10-101yxo1-122322y=cosx，x 0,2 的图
6、象五点画图法，作2,0,cosxxyx6yo-12345-2-3-41x6yo-12345-2-3-41 正弦、余弦函数的定义域是什么？正弦、余弦函数的定义域是什么？正弦、余弦函数的值域是什么？正弦、余弦函数的值域是什么？正弦曲正弦曲线线余弦曲余弦曲线线R-1，1（1）定义域和值域）定义域和值域（2）正弦、余弦函数的周期性）正弦、余弦函数的周期性.2:)0,0,(),cos(),sin(TAARxxAyRxxAy，的周期为且数为常其中数及函函数一般地正弦函数正弦函数ysinx和余弦函数和余弦函数ycosx的周期都的周期都是是22.（3）正弦、余弦函数的奇偶性正弦、余弦函数的奇偶性sin(-x)
7、=-sinx (x R)y=sinx (x R)x6yo-12345-2-3-41是是奇函数奇函数x6o-12345-2-3-41ycos(-x)=cosx (x R)y=cosx (x R)是是偶函数偶函数定义域关于原点对称定义域关于原点对称 正弦函数的对称性正弦函数的对称性 xyo-1234-2-312 23 25 27 2 23 25 )0,k对称中心（2 kx对称轴：余弦函数的对称性余弦函数的对称性yxo-1234-2-312 23 25 27 2 23 25 )0,2k对称中心（kx 对称轴：（4）正弦、余弦函数的对称性正弦、余弦函数的对称性(5)正弦正弦、余弦函数的单调性余弦函数的
8、单调性 y=sinx (x R)增区间为增区间为 ，其值从其值从-1增至增至12 2 xyo-1234-2-312 23 25 27 2 23 25 x sinx2 2 23 0 -1 0 1 0-1减区间为减区间为 ，其值从其值从 1减至减至-12 23 +2k,+2k,k Z2 2 +2k,+2k,k Z2 23 余弦函数的单调性余弦函数的单调性 y=cosx (x R)x cosx2 2 -0 -1 0 1 0-1增区间为增区间为 其值从其值从-1增至增至1 +2k,2k,k Z 减区间为减区间为 ，其值从其值从 1减至减至-12k,2k +,k Zyxo-1234-2-312 23 2
9、5 27 2 23 25 正弦函数正弦函数y=sinx最值最值 xyo-1234-2-312 23 25 27 2 23 25 余弦函数余弦函数y=cosx的最值的最值yxo-1234-2-312 23 25 27 2 23 25 （6）正弦、余弦函数的最值正弦、余弦函数的最值小结小结一个函数是周期函数，但它不一定有最小正一个函数是周期函数，但它不一定有最小正周期周期.例如，例如，f(x)a(常数常数)设设T是是f(x)(xR)的周期，那么的周期，那么kT(kZ，且且k0)也一定是也一定是f(x)的周期的周期.理解周期定义时要注意，式子理解周期定义时要注意，式子f(xT)f(x)是对是对“x”
10、而言而言.函数函数 的周期都是的周期都是y=Acos(x+)y=Acos(x+)y=Asin(x+)y=Asin(x+)2T5.y=|sinx|及及y=|cosx|的周期为的周期为 函函 数数 性性 质质y=sinx (kz)y=cosx (kz)定义域定义域值域值域最值及相应的最值及相应的 x的的集合集合周期性周期性奇偶性奇偶性单调性单调性对称中心对称中心对称轴对称轴x Rx R-1,1-1,1x=2k时时y ymaxmax=1=1x=2k+时时 ymin=-1周期为T=2周期为周期为T=2奇函数奇函数偶函数偶函数(k,0)x=kx=2k+时时y ymaxmax=1=1x=2kx=2k-时时 ymin=-122(k+,0)2x=k+2 +2k,+2k,k Z2 23 +2k,+2k,k Z2 2 2k,2k +,k Z +2k,2k,k Z
