1、2020.12.23余弦函数的图象 正弦函数的图象 余弦曲线余弦曲线正弦曲线正弦曲线形状完全一样形状完全一样只是位置不同只是位置不同sinc(os)2xyx 定义域：R值域：-1,1周期性周期性奇偶性奇偶性单调性单调性最值最值定义域、值域定义域、值域对称性对称性x6 yo-12345-2-3-41(1)正弦函数具有正弦函数具有“周而复始周而复始”的变化规律；的变化规律；(2)规律是：每隔规律是：每隔2 重复出现一次（或者说每隔重复出现一次（或者说每隔2k，k Z重复出现）；重复出现）；(3)这个规律由诱导公式这个规律由诱导公式sin(2k+x)=sinx可以说明可以说明.结论：结论：像这样一种
2、函数叫做像这样一种函数叫做周期函数周期函数.01 周期性周期函数定义：一般地，设函数一般地，设函数f(x)的定义域为的定义域为D，如果，如果存在一个一个非零常非零常数数T，使得对，使得对每一个xD，都有，都有x+TD 且且f(xT)f(x)，那，那么函数么函数f(x)就叫做就叫做周期函数周期函数，非零常数，非零常数T叫做这个函数的叫做这个函数的周期周期.01 周期性 对于一个周期函数对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期中存在一个如果在它所有的周期中存在一个最小的正数最小的正数，那么这个最小的正数就叫做那么这个最小的正数就叫做f(x)的的最小正周期最小正周期.说明：说明：我们现在谈到三角
3、函数周期时，如果不加特别我们现在谈到三角函数周期时，如果不加特别说明，一般都是指的最小正周期。说明，一般都是指的最小正周期。01 周期性最小正周期：正弦函数是周期函数，正弦函数是周期函数，2k(kZ且且k0)都是它的周期，都是它的周期，最小正周期是最小正周期是2.余弦函数是周期函数，余弦函数是周期函数，2k(kZ且且k0)都是它的周期，都是它的周期，最小正周期是最小正周期是2.正弦函数、余弦函数的周期：01 周期性思考？01 周期性是否成立？等式6sin326sin)1(的一个周期？为什么？是正弦函数否说如果这个等式成立，能Rxxy,sin32说明：说明：定义是对定义域中的定义是对定义域中的每
4、一个每一个x值来说的，只有值来说的，只有个别的个别的x值满值满足足：f(x+T)=f(x)，不能说不能说T是是y=f(x)的周期的周期.？，其最小正周期是多少是不是周期函数？若是6,6,sin)2(xxy不是不是.说明：说明：周期函数中，周期函数中，x 定义域定义域D D，则必有，则必有x+T D,且若且若T0，则，则定义域定义域无上界无上界；T0则定义域则定义域无下界无下界.说明：说明：T往往是多值的（如往往是多值的（如y=sinx,T=2,4,2,4,都是周期）周期都是周期）周期T中最小的正数叫做中最小的正数叫做f(x)的最小正周期（有些周的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）期函数没
5、有最小正周期）.？，其最小正周期是多少是不是周期函数？若是Rxy,1)3(是是.但无最小正周期但无最小正周期.说明：说明：并不是所有周期函数都有最小正周期，如并不是所有周期函数都有最小正周期，如y=1.其最小正周期：其最小正周期：正弦型函数、余弦型函数的周期：01 周期性R),sin(xxAyR),cos(xxAy)00,(，为常数，且其中AA2T例题1 求下列函数的周期：求下列函数的周期：RxxyRxxyRxxy),621sin(2)3(,2sin)2(,cos3)1(01 周期性1 求下列函数的周期求下列函数的周期：38342432T)1(242T)2(212T)3(632312T)4(0
6、1 周期性RxxyRxxyRxxyRxxy),431sin()4(,cos21)3(,4cos)2(,43sin)1(2 函数函数xysin的最小正周期为的最小正周期为_._.4 函数函数 的最小正周期是的最小正周期是_._.2)1(cosxy5 求求 的周期是的周期是_._.xxfsin)(3 函数函数xysin的最小正周期为的最小正周期为_._.一般地，函数一般地，函数 y=Asin(y=Asin(x+)x+)及及y=Acos(y=Acos(x+)x+)（其中（其中A A,为常数，且为常数，且 A0,A0,00 ）的周期是）的周期是:周期求法总结：法1.公式法：2 (0)T 法2.图象法:
7、0),3sin(xy3_6 已知函数已知函数的周期为的周期为，则，则则正整数则正整数 的最大值为的最大值为_._.)3sin(xy317 已知函数已知函数的最小正周期不小于的最小正周期不小于 ,正弦函数的图象探 究余弦函数的图象问题：你能从它们的图象看出它们有何奇偶性吗？x22322523yO23225311x22322523yO2322531102 奇偶性sin(-x)=-sinx (xR)y=sinx (xR)x6yo-12345-2-3-41是奇函数x6o-12345-2-3-41ycos(-x)=cosx (xR)y=cosx (xR)是偶函数定义域关于原点对称02 奇偶性正弦函数、余
8、弦函数的奇偶性：例题2 判断下列函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性.cossin)4(;sin)3(;cos1)2(;sin2)1(xxyxxyxyxy02 奇偶性03 对称性 xyo-1234-2-312 23 25 27 2 23 25 yxo-1234-2-312 23 25 27 2 23 25 正弦函数的对称性：余弦函数的对称性：Zkkx，对称轴：直线2Zkk，对称中心：)0,(Zkkx，对称轴：直线Zkk，对称中心：)0,2(.2Ax.6B x.3C x5.12Dx.02A，.06B，.03C，5.012D，2cos 23yx函数的一个对称中变式：心是 例题303 对称性整体代换整体
9、代换 y=sinx (xR)增区间为 ，其值从-1增至12 2 xyo-1234-2-312 23 25 27 2 23 25 xsinx2 2 23 0 -1 0 1 0-1减区间为 ，其值从 1减至-12 23 x22322523O2322531104 单调性正弦函数的单调性：k2k2Zkk2k2Zk04 单调性 xcosx2 2 -0 -1 0 1 0-1x22322523O23225311余弦函数的单调性：y=cosx (xR)k2k2Zkk2k2Zk增区间为 ，其值从-1增至10减区间为 ，其值从 1减至-1004 单调性(2)cos()与 cos()523417 利用诱导公式将已知
10、角化为利用诱导公式将已知角化为同一单调区间同一单调区间内的角内的角利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小例题4(1)sin()与sin()18 10 (3)cos()与 sin()943521利用三角函数的单调性比较利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小两个同名三角函数值的大小04 单调性的单调递增区间。），（：求函数变式的单调递增区间。），（：求函数变式）的单调递增区间。（求函数2,2-x3x21-siny22,2-x3x21siny13x21siny例题5整体代换整体代换函数y=sinxy=cosx图形定义域值域单调性奇偶性周期对称性
11、2522320 xy21-1xRxR 1,1y 1,1y-2,222xkkkZ增函数32,222xkkkZ减函数2,2xkk kZ增函数2,2xkk kZ减函数2522320 xy1-122对称轴：,2xkkZ对称中心：(,0)kkZ对称轴：,xkkZ对称中心：(,0)2 kkZ奇函数偶函数要要点点小小结结05 最大值与最小值正弦函数正弦函数 ，当当 时，时，;当当 时，时，.xysin)(22Zkkx1maxy)(223Zkkx1miny正弦函数的图象x22322523yO2322531105 最大值与最小值余弦函数的图象x22322523yO23225311余弦函数余弦函数 ，当当 时，时
12、，;当当 时，时，.xycos)(2Zkkx1maxy)(2Zkkx1miny05 最大值与最小值.2sin32;1cos1RxxyRxxy，）（，）（求出下列函数的最大值、最小值求出下列函数的最大值、最小值.例题6整体代换整体代换函数y=sinxy=cosx图形定义域值域最值单调性奇偶性周期对称性2522320 xy21-1xRxR 1,1y 1,1y 22xk时，1maxy22xk 时，1miny 2xk时，1maxy2xk时，1miny-2,222xkkkZ增函数32,222xkkkZ减函数2,2xkk kZ增函数2,2xkk kZ减函数2522320 xy1-122对称轴：,2xkkZ
13、对称中心：(,0)kkZ对称轴：,xkkZ对称中心：(,0)2 kkZ奇函数偶函数【总结】【总结】正弦函数、正弦函数、余弦函数的余弦函数的图象与性质图象与性质（2）【解析】）【解析】令令z=2x，则，则y=cosz的周期为的周期为2cos(z+2)=coszcos(2x+2)=cos2xcos2(x+)=cos2x,xR由周期函数定义知，原函数周期为由周期函数定义知，原函数周期为1 1 用换元法转换用换元法转换2 2 利用已知三角形的周期找关系利用已知三角形的周期找关系3 3 根据定义变形根据定义变形4 4 确定结论确定结论Rxxy,2sin)2(（3）【解析】）【解析】令令z=，则，则y=2
14、sinz的周期为的周期为22sin(z+2)=sinz由周期函数定义知，原函数周期为由周期函数定义知，原函数周期为4621sin22621sin2xx1 1 用换元法转换用换元法转换2 2 利用已知三角形的周期找关系利用已知三角形的周期找关系3 3 根据定义变形根据定义变形4 4 确定结论确定结论Rxxy),621sin(2)3(621x621sin26421sin2xx2221212函数函数 周期周期2TT4Txycos3xy2sin)621sin(2xy)sin(xAy2T 你能从上面的解答过程中归纳一下这些你能从上面的解答过程中归纳一下这些函数的周期与解函数的周期与解析式中的哪些量有关系吗？析式中的哪些量有关系吗？)cos(xAy01 周期性RxxAyRxxAy,cos,sin及函数一般地，函数0,0,AA为常数，且其中.2T的周期为：一般地，函数一般地，函数 y=Asin(y=Asin(x+)x+)及及y=Acos(y=Acos(x+)x+)（其中（其中A A,为常数，且为常数，且 A0,A0,00 ）的周期是）的周期是:周期求法总结：法1.定义法：法2.公式法：2 (0)T 法3.图象法:
