1、 1.5全称量词与存在量词1|全称量词与全称量词命题全称量词全称量词命题全称量词命题的真假判断短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做 全称量词 ,并用符号“”表示含有全称量词的命题,叫做全称量词命题.全称量词命题“对M中任意一个x,p(x)成立”可用符号简记为 xM,p(x)全真为真,一假为假2|存在量词与存在量词命题存在量词存在量词命题存在量词命题的真假判断短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做 存在量词 ,并用符号“”表示含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.存在量词命题“存在M中的元素x,p(x)成立”可用符号简记为 xM,p(x)一真为真,全假为假1.将一个命题的结论换成原
2、来结论的反面,条件不变,得到一个新的命题,这个命题就是原来命题的否定.如原来的命题为p:若s,则t,则它的否定为p:若s,则t.2.一个命题与它的否定不能同时为真,也不能同时为假,只能是 一真一假 .3|命题的否定4|全称量词命题和存在量词命题的否定命题的类型命题的符号表示命题的否定的符号表示命题的否定的类型全称量词命题p:xM,p(x)p:xM,p(x)存在量词命题存在量词命题p:xM,p(x)p:xM,p(x)全称量词命题1.“有些”“有一个”“有的”是存在量词.()2.全称量词命题“自然数都是正整数”是真命题.()提示:0是自然数,但0不是正整数,因此“自然数都是正整数”是假命题.3.在
3、全称量词命题和存在量词命题中,量词都可以省略.()提示:在存在量词命题中,量词不能省略,有些全称量词命题的量词可以省略.4.命题p:“xM,p(x)”的否定是“xM,p(x)”,它们可以同真同假.()5.若命题p是存在量词命题,则命题p是全称量词命题.()6.用自然语言描述的全称量词命题的否定形式是唯一的.()提示:用自然语言描述的全称量词命题的否定形式并不唯一,如“所有的菱形都是平行四边形”,它的否定可以是“并不是所有的菱形都是平行四边形”,也可以是“有些菱形不是平行四边形”.判断正误，正确的画“”，错误的画“”.1|全称量词命题、存在量词命题及其否定的真假判断哥德巴赫猜想是世界三大数学难题
4、之一,是在1742年,由德国中学教师哥德巴赫在教学中首先发现的.1742年6月7日,哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉,正式提出了以下的猜想:(1)任何一个大于 6的偶数都可以表示成两个质数之和;(2)任何一个大于9的奇数都可以表示成三个质数之和.这就是哥德巴赫猜想.欧拉在回信中说,他相信这个猜想是正确的,但他不能证明.从此,这道数学难题引起了几乎所有数学家的注意.哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望而不可即的“明珠”.中国数学家陈景润于1966年证明:“任何充分大的偶数都是一个质数与两个质数的乘积的和”,通常这个结果表示为“1+2”,即陈氏定理,这是目前这个问题的最佳结果.科学猜想也是命题.
5、哥德巴赫猜想是一个迄今为止仍然没有得到正面证明也没有被推翻的命题.问题1.哥德巴赫猜想是全称量词命题吗?提示:含有全称量词“任何”.2.你能写出哥德巴赫猜想的否定形式吗?提示:全称量词命题的否定是存在量词命题.1.判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题,关键是看命题中含有的量词是全称量词还是存在量词.需要注意的是有些全称量词命题的全称量词可以省略不写.2.要判定全称量词命题“xM,p(x)”是真命题,需要对集合M中的每个元素x,验证p(x)成立.但要判定该命题是假命题,只需举出集合M中的一个x=x0,使p(x0)不成立即可.要判定存在量词命题“xM,p(x)”是真命题,只需在集合M中能找到
6、一个x=x0,使p(x0)成立即可;否则,这一命题就是假命题.3.全称(存在)量词命题的否定是将其全称量词(存在量词)改为存在量词(全称量词),并把结论否定,即“改量词,否结论”.4.命题与命题的否定的真假相反.当命题的否定的真假不易判断时,可以通过判断原命题的真假来得出命题的否定的真假.(2020湖南常德第二中学高一上阶段测试)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断其真假.(1)至少有一个整数,它既能被11整除,又能被9整除;(2)对任意非零实数x1,x2,若x1;(3)对任意的xR,x2+x+1=0都成立;(4)xR,使得x2+1=0.11x21x解析 (1)存在量词命题.因为
7、99既能被11整除,又能被9整除,所以该命题是真命题.(2)全称量词命题.存在x1=-1,x2=1,x1x2,但0,所以该命题是假命题.导师点睛判断全称量词命题、存在量词命题的真假时,一般从反例、特例入手,若找不到反例、特例,则再进行相关证明并得出结论:若xM,p(x)成立,则全称量词命题为真;若xM,p(x)不成立,则存在量词命题为假.11x21x写出下列命题的否定,并判断其真假.(1)对任意xR,x2-x+0;(2)所有的正方形都是矩形;(3)至少有一个实数x,使x3+1=0.14思路点拨变换量词,否定结论.解析 (1)存在xR,x2-x+0,就是不等式y0恒成立,等价于ymin0;3.x
8、R,y0,就是不等式y0有解,等价于ymax0;4.xR,y0,就是不等式y0恒成立,等价于ymax0;5.xR,y0,就是不等式y0有解,等价于ymin0.对于命题p的有些问题,正面解决很难或者很复杂,这时我们可以考虑它的反面,即把命题p的问题转化成命题p的问题,从而把问题简化,即“正难则反”的方法,也就是“补集思想”的应用.对于命题的否定,要注意一些常见否定词语的使用,下面是常用的正面叙述词语和它的否定词语.原词语等于(=)小于()有是都是否定词语不等于()不小于()没有不是不都是原词语至少有一个至多有一个至多有n个否定词语一个也没有至少有两个至少有(n+1)个已知命题p:xR,x2+2x
9、+a0,若命题q:x,x2-a0.若命题p和命题q至多有一个为真命题,求实数a的取值范围.1|02xx思路点拨本题若从正面解题需分类讨论,情况较多,所以可从结论的反面入手,即考虑p、q均为真命题的情况,然后求其补集,即“补集思想”的应用.解析 若命题p:xR,x2+2x+a0为真命题,则=22-4a0,a1.若命题q:x,x2-a0为真命题,则a(x2)min,a0.p,q均为真命题时,满足即a|a1,其补集为a|a1,p,q至多有一个为真命题时,实数a的取值范围为a|a1.1|02xx1,0,aa13.已知命题p:xx|0 x1,x+m-10,mx2+4x-10.若p是真命题,q是假命题,求实数m的取值范围.
