1、2 0 2 12.3二次函数与一元二次二次函数与一元二次方程、不等式方程、不等式1|一元二次不等式一元二次不等式只含有一个未知数 ,并且未知数的最高次数是2 的不等式,称为一元二次不等式一般形式ax2+bx+c0或ax2+bx+c0=00)的图象ax2+bx+c=0(a0)的根有两个不相等 的实数根x1,x2(x10(a0)的解集 x|xx2 R ax2+bx+c0)的解集 x|x1xx2 b2abx|2ax 1.mx2+5x0是一元二次不等式.()2.若不等式ax2+bx+c0的解集为x|x1x0.()3.函数y=ax2+bx+c的零点就是函数图象与x轴的交点.()提示:函数y=ax2+bx
2、+c的零点就是函数图象与x轴交点的横坐标.4.若不等式ax2+bx+c0的解集是x|xx2,则方程ax2+bx+c=0的两个根是x1和x2.()5.若方程ax2+bx+c=0没有实数根,则不等式ax2+bx+c0的解集为R.()提示:方程ax2+bx+c=0没有实数根,说明函数y=ax2+bx+c的图象与x轴无交点.当a0时,图象在x轴上方,不等式ax2+bx+c0的解集为R;当a0的解集为.判断正误，正确的画“”，错误的画“”.1|如何解含参数的一元二次不等式 解含参数的一元二次不等式的基本方法分类讨论熟练掌握一元二次不等式的解法是解决此类不等式问题的基础,所以应当熟记形如ax2+bx+c0
3、(a0)的不等式在各种情况下的解集的形式.解含参数的“一元二次不等式”时,一般需对参数进行分类讨论,何时进行讨论,如何分类是解这类题的难点.根据运算的需要分以下几种情况:(1)关于不等式类型的讨论.当二次项系数中含有参数时,应讨论二次项系数是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式.(2)关于不等式对应方程根的个数的讨论.当不等式对应的一元二次方程的根的个数不确定时,讨论判别式与0的关系.(3)关于不等式对应方程的根的大小的讨论.解关于x的不等式ax2-2(a+1)x+40.思路点拨因为二次项的系数a不确定,所以需要根据a的情况进行分类讨论.解析 (1)当
4、a=0时,原不等式为一元一次不等式,即-2x+40,所以x2.(2)当a0,两根分别为x1=2,x2=,且0的解集为.(3)当a0时,方程ax2-2(a+1)x+4=0的判别式=4(a-1)20,两根分别为x1=2,x2=.2a2a22xxa2a若1,不等式的解集为;若2,则0a1,不等式的解集为;若=2,则a=1,不等式的解集为x|xR,且x2.综上所述,当a=0时,不等式的解集为x|x2;当a1时,不等式的解集为;当0aa(a0)的分式不等式可同解变形为 0,故可转化为解g(x)f(x)-ag(x)0.(2)解0(0)型的分式不等式,转化为整式不等式后,应注意分子可取0,而分母不能取0.(
5、)()f xg x()()f xg x()()()f xag xg x()()f xg x 解下列关于x的不等式:(1)-11;(2)0和x0两种情况分别求解后取并集.(2)移项、合并化为0(aR),再化为(ax+1-a)(x-1)1或x1或x0时,由1;当x-1得x1或x-1.(2)原不等式可化为-(1-a)0(aR),即0(aR),进一步化为(ax+1-a)(x-1)0时,不等式化为(x-1)0.因为1,所以不等式的解集为.当a=0时,不等式化为x-10,即x1,所以不等式的解集为x|x1.当a0.因为1,所以不等式的解集为.综上,当a0时,1xx 11axax 1axa1aa11axxa
6、1axa1aa11ax xxa或原不等式的解集为;当a=0时,原不等式的解集为x|x1;当a或x0.问题1.若不等式对任意xR恒成立,如何求k的取值范围?提示:可利用对应方程的根的判别式求解.2.若不等式对任意xx|1x2恒成立,如何求k的取值范围?提示:分离参数.3.若不等式对任意xx|-1x2恒成立,如何求k的取值范围?提示:分离参数(注意对应的二次函数图象对称轴的位置).4.若不等式x2+x+k0求解.对于一元二次不等式有关的恒(能)成立问题,可借助二次函数的图象求解,必要时可通过分离参数,再求最值求解.解决恒成立问题一定要分清自变量和参数,一般地,已知范围的是变量,求解范围的是参数.对
7、于一元二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的定义域内全部在x轴上方,恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的定义域内全部在x轴下方.解决有关一元二次不等式的恒(能)成立问题的方法(1)对于任意实数x,y=(5-a)x2-6x+a+5恒为正值,则a的取值范围是-4a4 ;(2)已知函数y=x2+mx-1,若对任意xm,m+1,都有y0恒成立,即对应的一元二次函数图象开口向上,且和x轴无交点.(2)根据图象知区间m,m+1两端点对应的函数值均小于0.解析 (1)由题意可得解得-4a4.(2)作出函数y=x2+mx-1的图象(如图),对任意xm,m+1,都有y0,则有解得-m
8、0.50,364(5)(5)0,aa a22210,(1)(1)10,mmmm m 224|一元二次不等式的实际应用在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一矩形花园(阴影部分),其一边长为x m,面积为y m2.问题1.怎样用x表示矩形的宽?提示:利用相似三角形求解.2.y和x是什么关系?提示:y 是x的一元二次函数.3.若矩形面积不小于300 m2,怎样求x的取值范围?提示:解不等式y300.利用一元二次不等式解决实际问题的一般步骤:(1)阅读、理解材料:应用题多为“文字语言、符号语言和图形语言”并用,而且很多应用题文字篇幅较长,应正确地理解材料,弄清题意.(2)建立一元二次不等式模型:根据对题
9、意的分析,把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题.(3)解数学模型:解一元二次不等式,得出数学模型的解.(4)还原成实际问题的解:将此一元二次不等式的解转化为实际问题的解.(2020山东济宁高一期中)为了缓解市民吃肉难的生活问题,某生猪养殖公司欲将一批猪肉用冷藏汽车从甲地运往相距120千米的乙地,运费为每小时60元,装卸费为1 000元,猪肉在运输途中的损耗费(单位:元)是汽车速度(单位:千米/时)值的2倍.(说明:运输的总费用=运费+装卸费+损耗费)(1)若运输的总费用不超过1 260元,求汽车行驶速度值的范围;(2)若要使运输的总费用最小,汽车应以每小时多少千米的速度行驶?思路点拨(1
10、)设汽车行驶的速度为x千米/时,列出总费用的表达式,通过解一元二次不等式求得汽车行驶速度值的范围.(2)根据总费用的表达式,利用基本不等式,求得运输的总费用的最小值及此时的汽车行驶速度值.解析 (1)设汽车行驶的速度为x千米/时,运输的总费用为y元,则y=60+1 000+2x.令60+1 000+2x1 260,整理得x2-130 x+3 6000,解得40 x90.若运输的总费用不超过1 260元,则汽车行驶速度值的范围应为40,90.(2)由(1)知运输的总费用y=60+1 000+2x.60+1 000+2x=2x+1 0002+1 000=1 240,当且仅当2x=,即x=60时取得等号,若要使运输的总费用最小,则汽车应以每小时60千米的速度行驶.120 x120 x120 x120 x7 200 x7 2002xx7 200 x
