1、5.2.2 同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系知识回顾知识回顾1、任意角的三角函数的定义、任意角的三角函数的定义xyxy tan,cos,sin2、诱导公式一、诱导公式一 sin(k2)sin cos(k2)cos tan(k2)tan(其中，其中，kZ)22rxyyxO(,)P x yrcosxr sinyr tanyx 22sincos1 sintancos 探究：公式一表明终边相同的角的同一三角函数值相等，那么，同一个角的探究：公式一表明终边相同的角的同一三角函数值相等，那么，同一个角的三角函数值之间是否也有某种关系呢？三角函数值之间是否也有某种关系呢？同角三角函数的基本关系同
2、角三角函数的基本关系平方关系平方关系:1cossin22 商数关系商数关系:cossintan),2(Zkk 同一个角同一个角的正弦、余弦的平方和等于的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角，商等于角的正切。的正切。基本变形基本变形 思考思考：对于平方关系：对于平方关系sin2+cos2=1可作哪些变形？可作哪些变形？cossin21)cos(sin2 cossin21)cos(sin2 思考：对于商数关系思考：对于商数关系 可作哪些变形？可作哪些变形？22cos1sin 22sin1cos tancossin tancossin tansincos 注意：注意：1、公式中的角、公式中的角一定是同
3、角一定是同角，否则公式可能不成立，否则公式可能不成立.如如sin230+cos2601.2、同角不要拘泥于形式同角不要拘泥于形式，6等等都可以等等都可以.如如sin24+cos24=1.3、商数关系商数关系中注意限制条件中注意限制条件cos0，即，即k+，kZ.2 2 的值。的值。是第二象限角，求是第二象限角，求，并且，并且、已知、已知例例 tan,cos31sin1 98)31(1sin1cos1cossin22222 得得解：由解：由0cos 是第二象限角，是第二象限角，又又322cos 4232231cossintan 类型一：应用同角三角函数的基本关系解决三角函数的求值问题类型一：应用
4、同角三角函数的基本关系解决三角函数的求值问题解：因为解：因为sin0，sin-1,所以所以是第三或第四象限角是第三或第四象限角 由由sin2+cos2=1得得.2516)53(1sin1cos222 如果如果是第三象限角是第三象限角,那么那么542516cos 43)45()53(cossintan 从而从而如果如果是第四象限角是第四象限角,那么那么43tan,54cos 的值。的值。求求、已知、已知例例 tan,cos,53sin2 的值。的值。为第三象限角，求为第三象限角，求，、已知、已知例例 cos,sin43tan3 1cossincossintan22 联立方程组联立方程组方程方程(
5、组组)思想思想解：依题意和基本三角恒等式，得到方程组解：依题意和基本三角恒等式，得到方程组的值。的值。，求，求，、已知、已知练习练习 tan27018055cossin1 1cossin55cossin22 02cos5cos5sin2 ，得，得消去消去55cos552cos 或或由方程解得由方程解得因为因为180270，所以，所以cos0，即，即 55cos 552sin 代入原方程组得代入原方程组得2cossintan 所以所以类型二：应用同角三角函数的基本关系化简三角函数式类型二：应用同角三角函数的基本关系化简三角函数式 22sin211cos2)2(1tancossin)1(4 、化化
6、简简：例例1cossincossin 222222sin2)cos(sin)cos(sincos2 切化弦切化弦 coscossincossin cos 1sincossincos2222 “1”的代换的代换解：解：分子分母同时除以分子分母同时除以cos得：得：cossincossin2tan2 ，求求、已已知知练练习习 cossintan 分分析析：coscossincoscossincossincossin coscoscossincoscoscossin 1tan1tan 31212 cos4sincos3sin23tan3 ，求求、已已知知练练习习 22cossin13tan4 ，求求
7、、已已知知练练习习 22cos3sin23tan5 ，求求、已已知知练练习习例例3、求证、求证xxxxcossin1sin1cos 基本思路基本思路:由繁到简由繁到简可以从左边往右边证，可以从左边往右边证，可以从右边往左边证，可以从右边往左边证，也可以证明等价式。也可以证明等价式。思考思考：恒等式证明常用方法：恒等式证明常用方法?类型三：应用同角三角函数的基本关系证明三角恒等式类型三：应用同角三角函数的基本关系证明三角恒等式证明：证明：cossin1sin1cos cos)sin1()sin1(cos22 0cos)sin1(coscos22 因此因此 cossin1sin1cos 作差法作差
8、法比较法比较法例例3、求证、求证xxxxcossin1sin1cos 证法二：证法二：2sin1)sin1)(sin1(因为因为 2cos coscos 因此因此 cossin1sin1cos 由原题知：由原题知：0cos,0sin1 恒等变形恒等变形的条件的条件例例3、求证、求证xxxxcossin1sin1cos 证法三：证法三：由原题知：由原题知：0cos 则则1sin 原式左边原式左边=)sin1)(sin1()sin1(cos 2sin1)sin1(cos 2cos)sin1(cos cossin1 =右边右边因此因此 cossin1sin1cos 恒等变形恒等变形的条件的条件例例3
9、、求证、求证xxxxcossin1sin1cos 课本课本P185页页14题题达标检测达标检测解析：解析：由商数关系可知由商数关系可知A、D均不正确，当均不正确，当为第二象限角时，为第二象限角时，cos 0，sin 0，故，故B正确正确1、如果如果是第二象限的角，下列各式中成立的是是第二象限的角，下列各式中成立的是()sincostan.cos1sin.sin1cos.cossintan.22 DCBA)(sin1312cos2等于等于，则，则是第四象限角，是第四象限角，、已知、已知 125.125.135.135.DCBA135)1312(1cos1sin22 解析：解析：由条件知由条件知5
10、3.51.53.51.)(cossin55sin344DCBA 的值为的值为，则，则、已知、已知 解析：解析：sin4cos4=(sin2cos2)(sin2cos2)=sin2cos2 =2sin21 =53 4、已知、已知3sin+cos=0，则，则tan=_.31tan0cossin3 ，解析：由题意得：解析：由题意得：的值的值，求，求，、已知、已知 tan213cossin),0(5 的两边分别平方，得的两边分别平方，得解：将解：将213cossin .43cossin231cossin21 ，即，即.43tan1tancossincossincossin222 .333tan 或或解
11、得解得 3tan1tan)43,2(1|tan|cos|sin|1213cossin01213cossin0),2(0tan),0(，即即，且，且 440sin152、化简：、化简：80cos80cos80sin1440sin1222分析一：分析一：80cos440cos|440cos|440cos440sin122分析二：分析二：4sin12 练习：练习：6、已知、已知tan=2，求下列各式的值，求下列各式的值.7、已知已知 ，求，求sinq-cosq的值的值.cossin1)1(sin11sin11)2(qqq0,51cossin8、已知、已知 ，求，求sin4q+cos4q的值的值.21
12、cossin qq9、已知、已知tan=2，(1)求求sin和和cos的值的值.1sincossin5cos3cossinsin)2(222 求求 22cos3cossinsin2)3(求求1、同角三角函数的基本关系、同角三角函数的基本关系平方关系平方关系:1cossin22 商数关系商数关系:cossintan),2(Zkk 小结小结2、已知、已知sin(或或cos)求其它求其它1cossin22 cossintan 22cos1sin 22sin1cos 2cos1sin 2sin1cos 3、已知、已知tan，求，求sin，cos4、注意分象限讨论、注意分象限讨论与与 联立求解联立求解1cossin22 cossintan
