1、第四章 指数函数与对数函数 尖子生培优卷一、单选题。本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意。1已知函数，设为实数，若存在实数，使，则实数的取值范围为（ ）ABCD2已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是（ ）ABCD3设函数，有四个实数根，且，则的取值范围是（ ）ABCD4，若存在互不相等的实数，使得，则下列结论中正确的为（ ）；，其中为自然对数的底数；函数恰有三个零点.ABCD5若不等式恒成立，则实数的范围是（ ）ABCD.6已知，设函数若关于的方程恰有两个互异的实数解，则实数的取值范围是（ ）ABCD7已知函数，若，互不相等，且，则的取值范围是（
2、）ABCD8已知函数，若函数有三个不同的零点，则的取值范围是（ ）ABCD二、多选题。本大题共4小题，每小题5分，共20分，每小题有两项或以上符合题意。9已知函数，若，则（ ）ABCD10已知函数，若，则（ ）ABCD11已知互不相等的三个实数a，b，c都大于1，且满足，则a，b，c的大小关系可能是（ ）ABCD12已知函数，则（ ）A对任意的，函数都有零点.B当时，对，都有成立.C当时，方程有4个不同的实数根.D当时，方程有2个不同的实数根.三、填空题。本大题共4小题，每小题5分，共20分。13已知关于的方程有解，则实数的取值范围是_14已知函数对任意两个不相等的实数，都满足不等式，则实数的
3、取值范围是_.15设函数，若存在实数，使在上的值域为，则实数的取值范围是_.16已知函数，若对任意的，都存在唯一的，满足，则实数的取值范围是_四、解答题。本大题共6小题，共70分，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。171.某科研机构为了研究某种药物对某种疾病的治疗效果，准备利用小白鼠进行科学试验研究发现，药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同若使用注射方式给药，则在注射后的4小时内，药物在白鼠血液内的浓度（单位：毫克/升）与时间t（单位：小时）满足关系式（，a为常数）；若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度（单位：毫克/升）与时间t（单位：小时）满足关系式现对小
4、白鼠同时进行注射和口服该种药物，且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰假设同时使用两种方式给药后，小白鼠血液中药物的浓度等于单独使用每种方式给药的浓度之和（1）若，求4小时内，该小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值；（2）若要使小白鼠在用药后4小时内血液中的药物浓度都不低于4毫克/升，求正数a的取值范围18设非空实数集中存在最大元素和最小元素，记.（1）已知，且，求实数.（2）设，是否存在实数，使得？若存在，求出所有满足条件的实数，若不存在说明理由.（3）设，函数在区间上值域记为，若对任意，函数都满足，求的取值范围.19对于定义在D上的函数，若对任意，不等式对一切恒成立，则称函数是“
5、A控制函数”（1）当，判断、是否是“A控制函数；（2）当，若函数是“A控制函数”，求正数m的取值范围；（3）当，D为整数集，若函数是“A控制函数”且均为常值函数，求所有符合条件的t的值20已知函数（1）在内，求函数的值域；（2）不等式在时恒成立，求实数的取值范围；（3）若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围21已知二次函数满足对任意，都有；的图象与轴的两个交点之间的距离为.（1）求的解析式；（2）记，（i）若为单调函数，求的取值范围；（ii）记的最小值为，若方程有两个不等的根，求的取值范围.22如果函数满足在集合上的值域仍是集合，则把函数称为函数例如：就是函数（1）下列函数：，中，哪些是函
6、数（只需写出判断结果）？（2）判断函数是否为函数，并证明你的结论（3）证明：对于任意实数a，b，函数都不是函数（注：“”表示不超过x的最大整数）参考答案1C【解析】当时，的值域为当时，的值域为所以的值域记为若存在实数，使，即，即,解得的取值范围为故答案为：C2B【解析】令，所以为奇函数，不等式，等价于，即，因为为奇函数，所以，因为均为减函数，根据单调性的性质可知，为减函数，则，解得： 故选：B3A【解析】由分段函数知：时且递减；时且递增；时，且递减；时，且递增；的图象如下：有四个实数根，且，由图知：时有四个实数根，且，又，由对数函数的性质：，可得，令，且，由在上单增，可知，所以故选：A4D【解
7、析】解：函数的图像如图：，即直线与函数图像有4个交点，故，正确；，不妨设，则必有， ，则，且，由对勾函数的性质可得函数在上单调递增，正确；函数的零点个数，即为函数与的图像交点个数，如图当时，函数与的图像有3个交点，当时，研究与是否相切即可，令，则，则切点为，此时切线方程为，即，所以与图像相切，此时函数与的图像有3个交点，因为，故函数与的图像恒有3个交点，即函数恰有三个零点，正确.故选：D.5D【解析】题设不等式化为，即，易知是减函数，时，所以由不等式上恒成立得.故选：D.6D【解析】解：当时，令，则，因为在为增函数，所以当该方程在时无实数根时，解得，当时，时，有一个解，所以时，有一个解，即二次
8、函数在时有1个解，且设为，则，而对称轴为，由于，所以，即在对称轴左侧，且二次函数开口向上，所以当时，函数是递减的，所以当时，解得：，又因为，所以当时有一个解，所以成立；当时，在时无解，而在时有两个解，所以时成立；当时，在时无解，当时，所以方程要在时有两个解，所以，解得或，因为，所以，设方程的两个解分别为，则，所以当时，所以，所以，综上得：或，即实数的取值范围是.故选：D.7C【解析】由图象知：在、上是减函数，在、上是增函数，且，.，互不相等，且，不妨设，则，由，得，即，又，得，令，由对勾函数的单调性可知：在上单调递增，故选：.8A【解析】由题设，当时，当时，当且仅当时等号成立，故，且上递增，上
9、递减，当时单调递增，且，综上可得，如下函数图象：要使有三个不同的零点，则，由图知：有，当时令，则，有，且，而在上递减，.故选：A9AC【解析】A选项：成立，A选项正确；B选项：，B选项错误；C选项：由，故在上单调递增，假设，则，故，即，C选项正确；D选项：，又，由基本不等式可知，且当时，当时，故当时，原式，即成立，当时，原式，即，故D选项错误；故选：AC.10AC【解析】解：对选项A：因为，所以，故选项A正确；对选项B：因为，所以，故选项B错误；对选项C：由题意，因为，所以在R上单调递增，不妨设，则，所以，即，故选项C正确；对选项D：因为，且，所以由凹凸性有，又，所以由凹凸性有，所以有，即，即
10、，故选项D错误；故选：AC.11AB【解析】由已知，即则关于x的方程有正实根，所以因为，则，所以设，则二次函数的关于直线对称，且，若是的一个较小零点，则，即；若是的一个较大零点，则，即.故选：AB12AC【解析】当时，；当时，；所以当时，函数只有个零点，当时，函数只有个零点，时，函数只有个零点，故A正确；当时，由指数函数与二次函数的单调性知，函数为单调递增函数，故B错；当时，令，由得或，作出函数的图象如图所示，当时，方程有两个解；方程有两个解；所以方程有4个不同的实数根，故C正确；当时，方程，则，如图所示，有1个不同的交点，则故D错误故选：AC13或【解析】解：由题知，有解当时，即化简得有解即
11、整理得：无解当时，即化简得解得即解得：或者当时，即化简得：有解即化简得：无解综上，实数的取值范围为：或故答案为：或.14【解析】由不等式可知，在上单调递增，又因为在上单调递减，则在上单调递减，且在上恒成立，所以，解得故答案为：15【解析】由题设，为增函数且定义域为，要使在上的值域为，易知：，与在上有两个交点，即在上有两个根且恒成立即，对于，有，可得，综上，.故答案为：16【解析】解：设函数的值域为，函数的值域为，因为对任意的，都存在唯一的，满足，则，且中若有元素与中元素对应，则只有一个.当时，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以，当时，当时，此时，解得，当时，此时在上是减函数，取值范围是，在上
12、是增函数，取值范围是，解得，综合得.故答案为：17（1）当时血液中药物的浓度最高，最大值为6（2）18（1）.（2）存在，.（3）.19（1）是，不是（2）（3）1,3,520（1）（2）（3）解：，由对勾函数的单调性可知，在上，单调递减，在上，单调递增最小值为0，最大值为，则函数的值域为（2）解：设，不等式可化为：问题等价于在时恒成立；即：在时恒成立，而此时，则的最小值为0，所以.（3）解：令，作出函数的图象，如图，由图象知时，有两解，时，有一解 方程有三个不同的实数解关于的方程有两个不等的根，其中一个根大于或等于1，另一根大于0且小于1； 可化为：化简得：， 若方程有一根为1，则，此时方程
13、为，方程有两个相等实根1，不合题意，因此它的两根分别介于和，只要，21（1）；（2）（i）；（ii）或.【解析】（1）设由题意知：对称轴，又，则，设的两根为，则，由已知：，解得.（2）（i），其对称轴为为单调函数，或，解得或.的取值范围是.（ii），对称轴.当，即时，在区间单调递增，.当，即时，在区间单调递减，当，即时，函数零点即为方程的根令，即，作出的简图如图所示当时，或，解得或，有个零点；当时，有唯一解，解得，有个零点；当时，有两个不同解，解得或，有4个零点；当时，解得，有个零点；当时，无解，无零点综上：当或时，有个零点.22（1）只有是函数；（2）函数是函数；证明见解析 ；（3） 证明见解析【解析】（1）解：只有是函数（2）解：函数是函数证明如下：显然，不妨设，由，可得，即，因为，恒有成立，所以一定存在，满足，所以设，总存在，满足，所以函数是函数（3）证明：当时，有，所以函数都不是函数当时，若，有，所以函数都不是函数若，得，所以，都有，所以函数都不是函数若，令，则，所以一定存在正整数k，使得，所以，使得，所以又因为当时，所以；当时，所以，所以，都有，所以函数都不是函数综上所述，对于任意实数a，b，函数都不是函数
