1、指数函数和对数函数复习测试题二一选择题（共11小题）1已知，则ABCD2已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则函数的反函数是ABCD3设函数，若互不相等的实数，满足，则的取值范围是A，BC，D4已知函数，则函数的零点个数为A7B8C10D115已知函数，则的解个数是A4B3C6D16如图所示，曲线是对数函数的图象，已知取，则对应于，的值依次为A，B，C，D，7大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵记鲑鱼的游速为（单位：，鲑鱼的耗氧量的单位数为科学研究发现与成正比当时，鲑鱼的耗氧量的单位数为890则当时，其耗氧量的单位数为A2670B7120C7921D80108函数，恒有
2、零点的条件不可能是A，B，C，D，二多选题（共6小题）9已知，则ABCD10已知函数，以下结论正确的是A在区间，上是增函数BC若函数在上有6个零点，2，3，4，5，则D若方程恰有3个实根，则11已知函数，则A是奇函数B在，上单调递增C函数的值域是，D方程有两个实数根12下列计算正确的是AB，CD已知，则三填空题（共7小题）13已知，试用，表示14函数对一切实数，都有成立，且（1），若关于的方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围是15已知函数其中为自然对数的底数若函数有3个不同的零点，则实数的取值范围是16若关于的方程恰有一个实根，则实数的取值范围是四解答题（共10小题）17已知函数，其中为实
3、数（1）当时，若在区间，上恒成立，求实数的取值范围；（2）是否存在实数，使得关于的方程有三个不同的实数解？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由18某网店有（万件）商品，计划在元旦旺季售出商品（万件），经市场调查测算，花费（万元）进行促销后，商品的剩余量与促销费之间的关系为（其中为常数），如果不搞促销活动，只能售出1（万件）商品（1）要使促销后商品的利余量不大于0.1（万件），促销费至少为多少（万元）？（2）已知商品的进价为32（元件），另有固定成本3（万元），定义每件售出商品的平均成本为（元，若将商品售价定位：“每件售出商品平均成本的1.5倍“与“每件售出商品平均促销费的一半”之和，
4、则当促销费为多少（万元）时，该网店售出商品的总利润最大？此时商品的剩余量为多少？19已知函数，函数有两个零点分别是和3（1）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围；（2）记，若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围20已知函数，其中为实数，且（1）当时，求函数的单调区间；（2）若方程仅有一个实数根，求实数的取值范围21已知函数（）当时，设，证明：函数在上单调递增；（）若，成立，求实数的取值范围；（）若函数在有两个零点，求实数的取值范围22已知函数（1）若是偶函数，求的值；（2）当时，若关于的方程在，上恰有两个不同的实数解，求的取值范围指数函数和对数函数复习测试题二参考答案与试题解析一选择题（
5、共11小题）1已知，则ABCD【分析】利用指数与对数函数的单调性，即可得出大小关系【解答】解：，故选：【点评】本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则函数的反函数是ABCD【分析】设为的反函数图象上的任意一点，则关于的对称点一点在的图象上，关于直线的对称点在函数的图象上，代入解析式变形可得【解答】解：设为的反函数图象上的任意一点，则关于的对称点一点在的图象上，又函数的图象与函数的图象关于直线对称，关于直线的对称点在函数的图象上，必有，即，的反函数为：；故选：【点评】本题考查反函数的性质和对称性，属中档题3设函数，若互不相
6、等的实数，满足，则的取值范围是A，BC，D【分析】根据二次函数性质，一次函数性质，得出的取值范围即可【解答】解：函数，根据二次函数性质得出，利用函数得出：时，的取值范围是，故选：【点评】本题考查了函数性质，解析式的运用，关键理解，含义，属于中档题4已知函数，则函数的零点个数为A7B8C10D11【分析】画出函数图象，结合图象求出函数的零点个数即可【解答】解：令，得，令，则，作出函数的大致图象如图示：则有4个实数根，其中，若，则有1个实数根，若，则有1个实数根，若，则有4个实数根，若，则有2个实数根，故共有8个实数根，即函数有8个零点，故选：【点评】本题考查函数的零点，考查推理能力与计算能力，是
7、一道常规题5已知函数，则的解个数是A4B3C6D1【分析】画出函数的图象，结合图象判断即可【解答】解：画出的图象，如图示：，解得或，结合图象方程解的个数是4个故选：【点评】本题考查了函数的零点问题，考查反比例函数，对数函数的性质以及图象，考查数形结合思想，是一道常规题6如图所示，曲线是对数函数的图象，已知取，则对应于，的值依次为A，B，C，D，【分析】利用，在图象上画出的直线，与各个曲线的交点的横坐标即为对应的对数函数的底数【解答】解：在图象上画出的直线，与各个曲线的交点的横坐标即为对应的对数函数的底数，如图所示：，所以对应于，的值依次，故选：【点评】本题主要考查了对数函数的性质，是基础题7大
8、西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵记鲑鱼的游速为（单位：，鲑鱼的耗氧量的单位数为科学研究发现与成正比当时，鲑鱼的耗氧量的单位数为890则当时，其耗氧量的单位数为A2670B7120C7921D8010【分析】由题意可设，当时，求得，再由，结合对数的换底公式和对数的定义，计算可得所求值【解答】解：与成正比，比例系数设为，可得，当时，即有，即，则当时，即，则，可得，故选：【点评】本题考查函数在实际问题中的应用，考查对数的换底公式和对数的定义，考查运算能力，属于基础题8函数，恒有零点的条件不可能是A，B，C，D，【分析】问题等价为，再结合选项分类讨论判断即可【解答】解：等价为，当
9、时，如图所示，若时，则为减函数，其图象显然与函数至少有一个交点，排除选项；当时，与函数的交点为，排除选项；当且靠近2时，图象如图所示，此时存在使得直线与函数和都没有交点；故选：【点评】本题考查分段函数的零点问题，考查分类讨论思想及数形结合思想的运用，属于中档题二多选题（共6小题）9已知，则ABCD【分析】可得出，然后可得出，并得出，从而可判断选项正确，错误；可得出，从而得出选项正确，错误【解答】解：，且，即正确，错误；，即正确，错误故选：【点评】本题考查了对数函数的单调性，对数的运算性质，对数的换底公式，考查了计算能力，属于基础题10已知函数，以下结论正确的是A在区间，上是增函数BC若函数在上
10、有6个零点，2，3，4，5，则D若方程恰有3个实根，则【分析】根据在，上的单调性判断，根据判断，根据图象的对称性判断，根据直线与的图象有3个交点判断【解答】解：（1）由题意可知当时，是以3为周期的函数，故在，上的单调性与在，上的单调性相同，而当时，在，上不单调，故错误；（2）又，故，故正确；（3）作出的函数图象如图所示：由于在上有6个零点，故直线与在上有6个交点，不妨设，2，3，4，5，由图象可知，关于直线对称，关于直线对称，关于直线对称，故正确；（4）若直线经过点，则，若直线与相切，则消元可得：，令可得，解得或，当时，当时，（舍，故若直线与在上的图象相切，由对称性可得因为方程恰有3个实根，故
11、直线与的图象有3个交点，或，故正确故选：【点评】本题考查了函数零点与函数图象的关系，考查函数周期性、对称性的应用，属于中档题11已知函数，则A是奇函数B在，上单调递增C函数的值域是，D方程有两个实数根【分析】根据函数的奇偶性判断，根据函数的单调性判断，结合图象判断，即可【解答】解：对于，不是奇函数，故错误；对于时，在，递增，故正确；对于，画出函数和的图象，如图示：，显然函数的值域是，故正确，和的图象有3个交点，故错误；故选：【点评】本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，考查数形结合思想，转化思想，是一道中档题12下列计算正确的是AB，CD已知，则【分析】选项，利用有理数指数幂的运算性质化简，即可
12、判断出正误，选项利用完全平方公式得到，所以，从而判断出错误【解答】解：对于选项，所以选项错误，对于选项，所以选项正确，对于选项，所以选项正确，对于选项，所以选项错误，故选：【点评】本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，考查了完全平方公式的应用，是基础题三填空题（共7小题）13已知，试用，表示【分析】由已知列式求得与的值，把用与表示，则答案可求【解答】解：，解得故答案为：【点评】本题考查对数的运算性质，考查数学转化思想方法，是基础题14函数对一切实数，都有成立，且（1），若关于的方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围是【分析】利用赋值法，求得和的解析式，代入方程，化简后利用换元转化为一元二次方
13、程形式，根据一元二次方程根的分布特征，建立不等式组，解出即可得到的取值范围【解答】解：函数对一切，都有，令，代入可得，（1），而（1），令，代入可得，故，则，代入方程可得，化简变形可得，令，则上式可化为，关于的方程有三个不同的实数解，的图象如下图所示，结合的图象可知，有两个不等实数根，设为，且或，令，则满足，解得，或满足，此时无解综上，实数的取值范围为故答案为：【点评】本题考查了赋值法求解析式的应用，将复杂的方程形式利用换元法转化为简洁的一元二次方程形式，再根据一元二次方程根的分布求参数的取值范围，属于难题15已知函数其中为自然对数的底数若函数有3个不同的零点，则实数的取值范围是【分析】先把函
14、数有3个不同的零点转化为函数的图象与直线有3个交点，利用导数求函数，的单调性，再作出函数的图象与直线的图象，再数形结合分析临界位置即可得到答案【解答】解：令，则，所以当时，；当时，于是函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，当时，（1）令，则，所以当时，；当时，于是函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，（1），（e），当时，函数有3个不同的零点，等价于方程有3个解，即函数的图象与直线有3个交点，作出函数与直线的图象，如下图所示当直线与函数相切时，设切点坐标为，根据导数的几何意义可得：，解得：，要使得函数的图象与直线有3个交点，数形结合可知的取值范围为故答案为：【点评】本题考查了数形结合的思想
15、解决函数零点的问题，把函数零点转化为方程的根，再转化为两函数图象的交点是解题的关键，属于中档题16若关于的方程恰有一个实根，则实数的取值范围是【分析】由题意知 不满足方程，利用参变量分离法得出，构造函数，利用导数分析出函数 的单调性与极值，数形结合可求得实数 的取值范围【解答】解：由题意知 不满足方程，由参变量分离法得出，其中，构造函数，其中，则，当 或 时，；当 时，所以，函数的单调递减区间为和，单调递增区间为，函数 在 处取得极小值为，当或 时，当时，作出函数 和 的图象如下图所示：如上图可知，当 时，直线 与函数 的图象有一个交点，因此，实数 的取值范围是，故答案为：【点评】本题考查利用
16、导数研究函数的零点个数问题，常用参变量法转化为两个函数的交点个数问题，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题四解答题（共10小题）17已知函数，其中为实数（1）当时，若在区间，上恒成立，求实数的取值范围；（2）是否存在实数，使得关于的方程有三个不同的实数解？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由【分析】（1）当时，利用函数的单调性，求解函数的最小值转化求解即可（2）通过化简，可化为，设，则方程化为，利用有三个不同的实数解，利用函数的图象，通过记，则或求解即可【解答】解：（1）当时，因为，在区间，上均为递增函数，所以在区间，上是递增函数，故在区间，上的最小值为（1），因为，所以，故只需
17、，所以实数的取值范围是（2）方程即为，可化为，设，则方程化为，因为方程有三个不同的实数解，所以由的图象可知，有两个不同的实数根，且满足，或，记，则或解得，所以实数的取值范围是【点评】本题考查函数的零点个数的求解与应用，函数的单调性，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题18某网店有（万件）商品，计划在元旦旺季售出商品（万件），经市场调查测算，花费（万元）进行促销后，商品的剩余量与促销费之间的关系为（其中为常数），如果不搞促销活动，只能售出1（万件）商品（1）要使促销后商品的利余量不大于0.1（万件），促销费至少为多少（万元）？（2）已知商品的进价为32（元件），另有固定成本3（万
18、元），定义每件售出商品的平均成本为（元，若将商品售价定位：“每件售出商品平均成本的1.5倍“与“每件售出商品平均促销费的一半”之和，则当促销费为多少（万元）时，该网店售出商品的总利润最大？此时商品的剩余量为多少？【分析】（1）在已知等式中，取，求得值，可得，由求解的范围得答案；（2）由题意写出网店的利润为关于的函数，再由基本不等式求最值即可【解答】解：（1）由，当，时，得，由，得，故要使促销后商品的剩余量不大于0.1（万件），促销费至少为19（万元）；（2）设网店的利润为（万元），由题意可得，当且仅当，即时取等号，此时当促销费为7（万元）时，该网店售出商品的总利润最大为42万元，此时商品的剩余
19、量为0.25（万件）【点评】本题考查根据实际问题选择函数模型，训练了利用基本不等式求最值，是中档题19已知函数，函数有两个零点分别是和3（1）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围；（2）记，若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围【分析】（1）根据题意可得，3是方程的两个根，求出，进而得的解析式，然后将问题转化为，在，上有解，再求出的范围；（2）结合（1），可得原方程转化为，令，则方程，有两个不同的实数根，列出不等式，解得实数的取值范围【解答】解：（1）因为，（3），所以，是方程的两个根，所以，解得，所以因为存在，使得不等式成立，等价于，在，上有解，而记，因为在，上单调递增，所以（3），所
20、以的取值范围，（2），所以，原方程转化为，令，有两个不同的实数根，记，则或或，解得，所以实数的取值范围为，【点评】本题考查恒成立问题，解题中注意转化思想的应用，属于中档题20已知函数，其中为实数，且（1）当时，求函数的单调区间；（2）若方程仅有一个实数根，求实数的取值范围【分析】（1）根据分段函数，结合一次函数和二次函数的可得单调性（2）分段讨论零点问题即可得实数的取值范围【解答】解：（1）当时，则，可得单调增区间为，；，可得单调减区间为，；故函数的单调增区间为，；单调减区间为，（2）方程仅有一个实数根，当时，可得，存在一个实数根1，那么，存在一个实数根，故不符合题意；当时，可得，不存在一个实
21、数根，那么，对称轴，存在一个实数根，当时，可得，不存在一个实数根，那么，对称轴，存在一个实数根0综上可得实数的取值范围是，【点评】本题考查了分段函数的零点，同时考查了分类讨论思想的应用，属于中档题21已知函数（）当时，设，证明：函数在上单调递增；（）若，成立，求实数的取值范围；（）若函数在有两个零点，求实数的取值范围【分析】（）由求得的解析式，然后利用函数单调性的定义证明；（）设，则，由成立，得，令，利用函数单调性求得的最大值，则的范围可求；（）由函数在有两个零点，利用一元二次方程根的分布与系数的关系可得关于的不等式组，求解得答案【解答】证明：（），设，则，函数在上单调递增，即，又，得，函数在
22、上单调递增；解：（）设，则，成立，即对任意，都有成立，即，令，由对勾函数的单调性，可得在单调递减，在单调递增，又，最大值为，则，即，实数的取值范围为，；（）函数在有两个零点且对称轴为，解得故实数的取值范围为【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，考查数学转化思想，考查运算求解能力，是中档题22已知函数（1）若是偶函数，求的值；（2）当时，若关于的方程在，上恰有两个不同的实数解，求的取值范围【分析】（1）直接由偶函数的定义列式求得的值；（2）由结合方程，得，作出函数的图象，数形结合得答案【解答】解：（1）若函数偶函数，则，即，变形可得，则有；（2），都在上单调递减，函数在上单调递减，又，由图象知，当时，方程在，有两个不同的实根，即方程在区间，上恰有两个不同的实数解，又，故的取值范围是【点评】本题考查函数奇偶性与单调性的应用，考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合的解题思想方法，是中档题
