1、4.2.1 指数函数的概念指数函数的概念 对于对于幂幂ax(a0)，我们已经把我们已经把指数指数x的的范围拓展到了实数上一范围拓展到了实数上一章学习了函数的概念和基本性质，通过对章学习了函数的概念和基本性质，通过对幂函数的幂函数的研究，进一步了研究，进一步了解了研究一类函数的过程和方法下面解了研究一类函数的过程和方法下面继续继续研究其他类型的基本初研究其他类型的基本初等函数等函数问题探究问题探究问题问题1 随着中国经济高速增长，人民随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭多家庭的重要的重要生活方式由于旅游人生活方式由于旅游人数不断增加，数
2、不断增加，A，B两地景区两地景区自自2001年年起起采取了不同的应对采取了不同的应对措施措施，A地提高地提高了景区门票价格，而了景区门票价格，而B地则取消了景地则取消了景区门票区门票下表给出了下表给出了A，B两地景区两地景区2001年至年至2015年的游客人次以及逐年增加量年的游客人次以及逐年增加量问题探究问题探究时间时间/年年A地景区地景区B地景区地景区人次人次/万次万次 年增加量年增加量/万次万次 人次人次/万次万次 年增加量年增加量/万次万次20016002782002609930931200362011344352004631113833920056411042744200665094
3、754820076611152853200867110588602009681106556720106911072974201170211811822012711990392201372110100510220147321111181132015743111244126比较两地景区游客人次的变化情比较两地景区游客人次的变化情况，你发现了怎样的变化规律？况，你发现了怎样的变化规律？为了为了有利于观察规律，根据有利于观察规律，根据表，表，分别画出分别画出A，B两地两地景区采取不同措施后景区采取不同措施后的的15年年游客人次的游客人次的图象图象 观察观察图象和表格，可以发现，图象和表格，可以发现，A
4、地景区的游客人次近似于地景区的游客人次近似于直线上升直线上升(线性增线性增长长)，年增加年增加量大致相等量大致相等(约为约为10万次万次)；B地景区的游客人次则是地景区的游客人次则是非线性增长非线性增长，年增加量年增加量越来越大越来越大，但从图象和年增加量都难以看出变化规律，但从图象和年增加量都难以看出变化规律 我们我们知道，知道，年增加量年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的。是对相邻两年的游客人次做减法得到的。能否通过对能否通过对B地地景区景区每年的游客人次做其他运算发现游客人次的变每年的游客人次做其他运算发现游客人次的变化规律呢化规律呢？例如用例如用“增长率增长率”？从从2002年起
5、年起，将，将B地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到结果表明，结果表明，B地景区的游客人次的年增长率都约地景区的游客人次的年增长率都约为为1.11-1=0.11，是一个常数是一个常数 做做减法可以得到游客人次的年增加量，减法可以得到游客人次的年增加量，做除法可以得到游客人次的年增长率做除法可以得到游客人次的年增长率增加量、增长率增加量、增长率是刻画是刻画事物变化规律的事物变化规律的两个很重要的量两个很重要的量11.127830920012002 年游客人次年游客人次年游客人次年游客人次 11.130934420022003年游客人次
6、年游客人次年游客人次年游客人次11.11118124420142015 年游客人次年游客人次年游客人次年游客人次 像像这样，增长率为常数的变化方式，我们称为这样，增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长指数增长因此，因此，B地景区的游客人次近似于指数增长地景区的游客人次近似于指数增长显然显然，从，从2001年开始，年开始，B地景地景区游客人次的变化区游客人次的变化规律可以规律可以近似描述为：近似描述为：1年后，游客人次是年后，游客人次是2001年的年的1.111倍倍；2年后，游客人次是年后，游客人次是2001年年的的1.112倍倍；3年后，游客人次是年后，游客人次是2001年年的的1.113倍
7、倍；x年年后，游客人次是后，游客人次是2001年年的的1.11x倍倍如果设如果设经过经过x年年后的游客人次为后的游客人次为2001年年的的y倍倍，那，那么么 y=1.11x(x0,+)这是一个函数，其中这是一个函数，其中指数指数x是是自变量自变量问题问题2 当生物死亡后，它机体内原有的碳当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率含量会按确定的比率衰减衰减(称为衰减率称为衰减率)，大约每经过，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时年衰减为原来的一半，这个时间称为间称为“半衰期半衰期”按照上述变化规律，生物体内碳按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡含量与死亡年数之间有怎样的关
8、系？年数之间有怎样的关系？设死亡生物体内碳设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为含量的年衰减率为p，如果把刚死亡的生，如果把刚死亡的生物体内碳物体内碳14含量看成含量看成1个单位，那么个单位，那么 死亡死亡1年后，生物体内碳年后，生物体内碳14含量为含量为(1-p)1；死亡死亡2年后，生物体内碳年后，生物体内碳14含量含量为为(1-p)2；死亡死亡3年后，生物体内碳年后，生物体内碳14含量含量为为(1-p)3；死亡死亡5730年后，生物体内碳年后，生物体内碳14含量含量为为(1-p)5730根据已知条件根据已知条件，57301573015730)21(1)21(121)1(ppp，所以，所以，从
9、而，从而设生物死亡年数设生物死亡年数为为x，死亡生物体内碳死亡生物体内碳14含量含量为为y，那么，那么y=(1-p)x，),0()21(57301 xyx，即即 这这也是一个函数，也是一个函数，指数指数x是是自变量死亡生物体内碳自变量死亡生物体内碳14含量每含量每年都年都以以 减减率衰减像这样，衰减率为常数的变化方式，我率衰减像这样，衰减率为常数的变化方式，我们称为指数衰减们称为指数衰减因此因此，死亡生物体，死亡生物体内碳内碳14含量含量呈指数衰减呈指数衰减57301)21(1 指数函数的定义：指数函数的定义：问题：以上两个函数有何共同特征？问题：以上两个函数有何共同特征？(1)均为幂的形式；
10、均为幂的形式；(2)底数是一个正的常数底数是一个正的常数(3)自变量在指数位置自变量在指数位置 如果用字母如果用字母a代替代替上述两式中的上述两式中的底数底数1.11和和 ，那么那么函数函数y=1.11x和和可以可以表示表示为为y=ax的的形式形式，57301)21(xy)21(57301 函数函数y=ax(a0且且a1)叫做叫做指数函数指数函数，其中，其中x是自变量，函数定义是自变量，函数定义域是域是R。注意：注意：(1)定义域必须是实数集定义域必须是实数集R；(2)自变量是自变量是x，x位于指数位置上，且指数位置上只有位于指数位置上，且指数位置上只有x这一项；这一项；(3)指数式只有一项，
11、并且指数式的系数为指数式只有一项，并且指数式的系数为1，例如，例如y=5ax(a0且且a1)不是指数函数；不是指数函数；(4)底数底数a的范围必须是的范围必须是a0且且a1.指数函数的定义：指数函数的定义：函数函数y=ax(a0且且a1)叫做叫做指数函数指数函数，其中，其中x是自变量，函数定义是自变量，函数定义域是域是R。(1)若若a=0，则，则 当当 x0 时，时，ax=0 没有研究的必要性；没有研究的必要性；当当 x0 时，时，ax无意义无意义.(2)若若a0且且a1探究：为什么要规定探究：为什么要规定a0且且a1?若不满上述条件若不满上述条件y=ax会怎样？会怎样？41,21 xx练习练
12、习1、下列函数中，哪些是指数函数？、下列函数中，哪些是指数函数？(1)y=4x (2)y=x4(3)y=-4x(4)y=(-4)x(5)y=x(6)y=42x(7)y=xx(9)y=(2a-1)x (a 且且a1)xay )3|(|)8(不是不是是是不是不是不是不是不是不是是是是是是是是是21练习练习2、已知函数、已知函数y=(a2-3a+3)ax为指数函数为指数函数,求求a的值的值.解解:依题意得依题意得:1332 aaa01 a得得a=2xaxfxf)()(设设是是指指数数函函数数解解：例例1、已知指数函数的图象经过点、已知指数函数的图象经过点(3,)，求，求f(0)，f(1)，f(-3)
13、的值的值 )3(f，于是，于是，解得，解得即即313 aa所以所以,)(3xxf 1)3(,)1(,1)0(13310 fff),3()(，的图像经过的图像经过xaxf 练习练习4、指数函数、指数函数y=f(x)的图象经过点的图象经过点(2，4)，则，则f(4)f(2)=_64练习练习3、若函数若函数f(x)是指数函数，且是指数函数，且f(2)=2，则，则f(x)=_.x2例例2、(1)在问题在问题1中，如果平均每位游客出游一次可给当地中，如果平均每位游客出游一次可给当地带带来来1000元元门票门票之外的之外的收入，收入，A地景区的门票价格地景区的门票价格为为150元元，比较比较这这15年年间
14、间A，B两地旅游收入变化情况两地旅游收入变化情况解：解：(1)设设经过经过x年年，游客给，游客给A，B两地带来的收入分别两地带来的收入分别为为f(x)和和g(x)，则，则f(x)=1150(10 x+600)，g(x)=10002781.11x利用利用计算工具可得，计算工具可得，当当x=0时，时，f(0)g(0)=412000当当x10.22时，时，f(10.22)g(10.22)结合右结合右图可知图可知：当当x10.22时，时，f(x)g(x)，当当x10.22时，时，f(x)g(x)，但，但g(x)的增的增长速度长速度大于大于f(x)；根据上述数据，并根据上述数据，并考虑到实际情况，在考虑到实际情况，在2011年年2月某个月某个时刻就时刻就有有f(x)=g(x)，这时游客给这时游客给A地带来的收入和地带来的收入和B地差不多；此后，地差不多；此后，f(x)0且且a1)叫做叫做指数函数指数函数，其中，其中x是自变量，函数定义是自变量，函数定义域是域是R。课堂小结课堂小结作业：作业：在同一直角坐标系画出在同一直角坐标系画出 ，的图象，并思考：两个函数的图象，并思考：两个函数的图象有什么关系？的图象有什么关系？xy2 xy)21(
