1、5.1.1 任意角任意角教学目标了解任意角的概念，区分正角、负角与零角（重点）01 理解象限角的概念（重点）02 理解并掌握终边相同的角的概念（重点、难点）03 能熟练写出终边相同的角所组成的集合（重点、难点）04任 意 角任 意 角学科素养 任意角的概念 角的分类 数学抽象 直观想象 求区域角逻辑推理 判断象限角及终边相同的角数学运算 数据分析 数学建模任 意 角任 意 角01Retrospective Knowledge 圆周运动是一 种常见的周期性变化现象如图，O上的点P以A为起点做逆时针方向的旋转.如何刻画点P的位置变化呢？我们知道，角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形 在图中
2、，射线的端点是圆心O，它从起始位置OA按逆时针方向旋转到终止位置OP，形成一个角a，射线OA，OP分别是角a的始边和终边当角a确定时，终边OP的位置就确定了，这时，射线OP与O的交点P也就确定了，由此想到，可以借助角a的大小变化刻画点P的位置变化 由初中知识可知，射线OA绕端点O按道时针方向旋转一周回到起始位置，在这个过程中可以得到0 360范围内的角如果继续旋转，那么所得到的角就超出这个范围了所以，为了借助角的大小变化刻画圆周运动，需要先扩大角的范围角 的 定 义角 的 定 义oABoAB定义1：平面内有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，范围为0360.定义2：角可以看成平面内一条射线绕着
3、端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.角 的 定 义角 的 定 义02New Knowledge explore任 意 角任 意 角 现实生活中随处可见超出0360范围的角.例如体操中的“前空翻转体540度”“后空翻转体720度”等动作这里不仅角度超出了0360，并且旋转的方向也不相同 因此，要准确描述这些现象，不仅要知道旋转的度数，还要知道旋转的方向，这就需要我们对角的概念加以推广 又如，图是两个齿轮旋转的示意图，被动轮随着主动轮的旋转而旋转，而且两 个齿轮旋转的方向刚好相反，这样，绕点旋转所成的角与绕点旋转所成的角就会有不同的方向角的概念的推广角的概念的推广任 意 角任 意 角oAB
4、oAB一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角（零角的始边和终边重合，如果是零角，那么=0）为 了 简 单 起见，在不引起混淆的情况下，角或，可以简记为.角的概念的推广角的概念的推广任 意 角任 意 角 左图中的角是一个正角，它等于750 右图中，正角=210，负角=150，=660 正常情况下，如果以零时为起始位置，那么钟表的时针与分针在旋转时形成的角总是负角这样，我们把角的概念推广到任意角，包括任意大小的这样，我们把角的概念推广到任意角，包括任意大小的、和和角的概念的推广角的概念的推
5、广任 意 角任 意 角 设由射线OA绕端点O旋转而成，由射线OA绕端点O旋转而成.如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称=类似于实数t的相反数是t，我们引入角的相反角的概念 如图：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角的相反角记为，则=()设，是任意角，我们规定：把角的终边旋转角，这时终边所对应的角是-+OA角的概念的推广角的概念的推广任 意 角任 意 角直角钝角平角锐角周角 初中所学角初中所学角0360可以怎么分类？可以怎么分类？我们通常在坐标系内讨论角为了方便，我们把角的顶点固定在原点，角的始边与x轴的非负半轴重合那么，角的终边在第几象限，就说这个
6、角是第几象限的第几象限的角角 如果角的终边落在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限，又称轴轴线角线角为第一象限角为第二象限角为第三象限角为第四象限角象限角的定义象限角的定义任 意 角任 意 角 在直角坐标系中研究角，根据其终边位置的不同，又可以把角分为哪几类？在直角坐标系内讨论角有什么好处呢？角又可以分为第一、二、三、四象限角以及轴线角；在直角坐标系中讨论角可以很好地表现角的“周而复始”的变化规律 象限角的定义象限角的定义任 意 角任 意 角-50 xyoxyo210-450 xyo405xyo-200 xyo第四象限角第四象限角第一象限角第一象限角第三象限角第三象限角第二象限角第二象
7、限角轴线角轴线角【练习】那么下列各角：50，405，210，200，450，分别是第几象限的角？象限角的定义象限角的定义任 意 角任 意 角 把角放在坐标系中之后，给定一个角，就有唯一的一条终边与之对应反之，对于直角坐标系内的任意一条射线OB，以它为终边的角是否唯一？如果不唯一，那么终边相同的角有什么关系？探究探究如果32的终边是OB，那么328，392，角的终边都是OB，并且与角32终边相同的这些角都可以表示成32的角与k个(kZ)周角的和，如：终边相同的角的表示终边相同的角的表示任 意 角任 意 角问题：问题：在直角坐标系中，将角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么与 32
8、角终边重合的角还有哪些？有多少个？它们与 32角有什么关系？能不能用集合的形式将它们表达出来？,36032|ZkkSoo问题：问题：将-32推广到一般角，结论应该是什么？,360|ZkkSo终边相同的角的表示终边相同的角的表示任 意 角任 意 角,360|ZkkSo即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和 一般地，我们有：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合终边相同的角的表示终边相同的角的表示任 意 角任 意 角【解析】与95012角终边相同的角可以写成：例例1 在0360范围内，找出与95012角终边相同的角，并判定它是第几象限角95012k360，kZ，当k3时，
9、12948，所以在0360范围内与95012角终边相同的角为12948，当它是第二象限角任 意 角任 意 角1.利用终边相同角的表示，将角转化到0360范围内；2.确定角的终边所在的位置（在直角坐标平面内，在0360之间没有两个角终边是相同的）任 意 角任 意 角例例2 写出终边在y轴上的角的集合【解析】在 0360范围内，终边在y轴上的角有两个，即90，270角，因此，所有与90角终边相同的角构成集合S1=|=90+k360，kZ而所有与270角终边相同的角构成集合S2=|=270+k360，kZ于是，终边落在y轴上的角的集合S=S1S2=|=90+k360，kZ|=270+k360，kZ
10、=|=90+2k180，kZ|=90+(2k+1)180，kZ =|=90+n180，nZ任 意 角任 意 角|=k360，kZ|=k360+180，kZ|=k360+90，kZ|=k360+270，kZ|=k180，kZ|=k180+90，kZ|=k90，kZ轴线角的集合表示轴线角的集合表示任 意 角任 意 角例例3 写出终边在直线y=x上的角的集合SS中适合不等式360720的元素有哪些？【解析】S45k180，kZ；315、135、45、225、405、585任 意 角任 意 角练习练习 (多选)下列说法，不正确的是（）A.三角形的内角必是第一、二象限角 B.始边相同而终边不同的角一定不
11、相等 C.钝角比第三象限角小 D.小于180的角是钝角、直角或锐角任 意 角任 意 角练习练习 若角2与240角的终边相同，则等于（）A120k360，kZ B120k180，kZ C240k360，kZ D240k180，kZ【解析】角2与240角的终边相同，则2240k360，kZ，所以120k180，kZ练习练习 下列角的终边与37角的终边在同一直线上的是（）A37 B143 C379 D143【解析】与37角的终边在同一直线上的角可表示为37k180，kZ，当k1时，3718014303Expansion And Promotion任 意 角任 意 角第一象限角:第二象限角:第三象限角
12、:第四象限角:,360903600|ooZkkkoo ,36001836090|ooZkkkoo ,360027360180|ooZkkkoo ,360036360270|ooZkkkoo 例例 用集合表示下列各范围的角区域角的表示区域角的表示任 意 角任 意 角3075练习练习 写出图中终边落在两个阴影部分的角的集合【解析】在0360范围来看，阴影部分的角的 范围是30105，所以在坐标系中角的范围是|k360+30k360+105,kZ 在0360范围来看，阴影部分的角的范围是210285，所以在坐标系中角的范围是:|k360+210k360+285,kZ故终边落在两个阴影部分的角的集合为
13、|k180+30k180+105,kZ区域角的表示区域角的表示任 意 角任 意 角第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的 360360范围内的角和，写出最简区间x|x，其中360；第三步：起始、终止边界对应角，再加上360的整数倍，即得 区域角集合区域角的表示区域角的表示任 意 角任 意 角练习练习 是第几象限角？是第二象限角，则若2区域角的表示区域角的表示04Sum Up任 意 角任 意 角角角正角正角负角负角零角零角第一象限角第一象限角第二象限角第二象限角第三象限角第三象限角第四象限角第四象限角轴线角轴线角终边相终边相同的角同的角,360|ZkkSo 05Homework After Class任 意 角任 意 角4已知角的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角的集合 是_3在0360范围内，与角60的终边在同一条直线上的角为 _2与30终边相同的角可以表示为：_1(多选)下列四个角中，属于第二象限角的是()A.160 B.480 C.960 D.1 530
