1、 在日常生活中，有非常多的轴对称现象，在日常生活中，有非常多的轴对称现象，如人与镜中的影关于镜面对称，请同学们举几如人与镜中的影关于镜面对称，请同学们举几个例子。个例子。除了轴对称外，有除了轴对称外，有些是关于某点对称，如些是关于某点对称，如风扇的叶子，如图：风扇的叶子，如图：它关于什么对称？它关于什么对称？xyoxyo 2)(xxfxxf)(观察下列两个函数图象并思考以下问题：观察下列两个函数图象并思考以下问题：（1）这两个函数图象有什么共同特征吗？）这两个函数图象有什么共同特征吗？（2）相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？）相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？x-3-2-1
2、 0 1 2 3 2)(xxf x-3-2 -1 0 1 2 3 xxf)(94101493210123 我们得到我们得到,这两个函数图象都关于这两个函数图象都关于y轴对称轴对称.从函数值对应表可以看到，从函数值对应表可以看到，当自变量当自变量x取一对相反数时取一对相反数时,相应的相应的两个函数值相同两个函数值相同.即点即点(x,f(x)在图象在图象上上,相应的点相应的点(-x,f(x)也在函数图象上。也在函数图象上。我们能否利用函数解析式来描述函我们能否利用函数解析式来描述函数图象的特征呢？数图象的特征呢？y=x2-xx当x1=1,x2=-1时，f(-1)=f(1)当x1=2,x2=-2时，
3、f(-2)=f(2)对任意x，f(-x)=f(x)偶函数定义：如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x）=f(x)。那么f(x)就叫偶函数。yxO)0(1)(xxxfx0-x0f x 3 x-3-2-1 0 1 2 3 3)(xxf x-3-2 -1 1 2 3 27278xxf1)(81011121312131我们得到我们得到,这两个函数图象都关于这两个函数图象都关于原点对称原点对称.从函数值对应表可以看从函数值对应表可以看到到:当自变量当自变量x取一对相反数时取一对相反数时,相应相应的两个函数值相反的两个函数值相反.即点即点(x,f(x)在图象上在图象上,相应的点相应的点(-x,-f
4、(x)也也在函数图象上。在函数图象上。我们同样可以利用函数解析式来我们同样可以利用函数解析式来描述函数图象的这个特征。描述函数图象的这个特征。例如：对于函数例如：对于函数f(x)=xf(x)=x3 3有有 f(-1)=(-1)3=-1 f(1)=1f(-2)=(-2)3=-8 f(2)=8 f(-x)=(-x)3=-x3f(-1)=-f(1)f(-2)=-f(2)f(-x)=-f(x)-xx奇函数定义：如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x）=-f(x)。那么f(x)就叫奇函数。思考思考:偶函数与奇函数图象有什么特征呢?偶函数的偶函数的图象图象关于关于y轴对称轴对称.函数函数y=x2的
5、图像的图像 偶函数的图像特征偶函数的图像特征偶函数的偶函数的图象图象关于关于y轴对称轴对称.函数函数y=x2的图像的图像 偶函数的图像特征偶函数的图像特征奇函数的图像特征奇函数的图像特征函数函数y=x3的图像的图像O奇函数的奇函数的图象图象关于关于原点对称原点对称.对于奇、偶函数定义的几点说明:(2)定义域关于原点对称定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件。（3）奇、偶函数定义的逆命题也成立，即：若函数f(x)为奇函数,则f(-x)=f(x)成立。若函数f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x)成立。（1）如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就 是说函数f(x)具有奇偶性。例例1
6、.根据下列函数图象根据下列函数图象,判断函数奇偶性判断函数奇偶性.112)(2xxfyxyxxxf)(yx-122,1,)(2xxxfyx-11 1,1,)(3xxxf例例2.判断下列函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性:;1)(22xxxf;)(3xxf（1）（2）解:(1)对于函数 ，其定义域为 ，因为对定义域内的每一个x,都有所以函数 为奇函数。3)(xxf),(),()()(33xfxxxf3)(xxf(3);22)(xxxf221)(xxxf).(1)(1)()(2222xfxxxxxf).()22(2222)(xfxxxxxxxf0)(xf（5）（4）)1,3(x2)(xxf 1,3x
7、由于定义域不关于原点对称，所以f(x)为非奇非偶函数。解：（4）（5 5）)()()()(,0)()(xfxfxfxfxfxf且,故函数f(x)为既是奇函数也是偶函数。0),1(x0),1()(fxxxxxx奇函数偶函数既奇又偶函数非奇非偶函数 根据奇偶性,函数可划分为四类:判断函数奇偶性步骤判断函数奇偶性步骤:(1)先求函数定义域先求函数定义域,并判断并判断定义域是否关于原点对称定义域是否关于原点对称;(2)确定确定f(x)与与f(-x)的关系的关系;(3)作出结论作出结论.若若f(-x)=f(x)或或f(-x)-f(x)=0,则则f(x)是偶函数是偶函数;若若f(-x)=-f(x)或或f(
8、-x)+f(x)=0,则则f(x)是奇函数是奇函数.函数f(x)=2x+1是奇函数吗？是偶函数吗？f(x)=2x+1y02x1-1分析：法1：函数的定义域为R 但是f(-x)=2(-x)+1=-2x+1 f(-x)-f(x)且f(-x)f(x)f(x)既不是奇函数也不是偶函数。（也称为非奇非偶函数）思思考：考：练习：完成课本p36页的练习1法2：如右图所示：图像既不关于原点对称也不关于y轴对称。法3：因f(-1)-f(1)且f(-1)-f(1)例例3、设奇函数f(x)的定义域为5,5，当x0,5时，函数yf(x)的图象如图所示，(1)作出函数在5,0的图象；(2)使函数值y0的x的取值集合【思
9、路点拨】由题目可获取以下主要信息：f(x)是-5,5上的奇函数；f(x)在0,5上图象已知解答本题可先利用奇函数的图象关于原点对称，作出f(x)的图象，再利用图象解不等式【解析】利用奇函数图象的性质，画出函数在-5,0上的图象，直接从图象中读出信息由原函数是奇函数，所以y=f(x)在-5,5上的图象关于坐标原点对称，由y=f(x)在0,5上的图象，知它在-5,0上的图象，如图1所示由图象知，使函数值y0部分的局部图象(2)求f(3)，并比较f(1)与f(3)的大小【解析】因为函数yf(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，故保留yf(x)在(，0上的图象，在0，)上作yf(x)关于y轴对称的图象，
10、如图所示，即得函数yf(x)，xR的图象由图象知f(3)2，f(1)1，所以f(1)f(3)22(1)(1)2,mnymxmxn=-+-+已知是奇函数 求 和例例4 解解:法1：2,122)1(12n-x1-m-x1-m-2nx1-m-x1-m222222nmnnmm）（）（）（）（01nm2n1-m1-m-2n1-m-1-m222）（）（12();f xaxbxc()f x()f x思考思考:2()-1,1112),25axbf xx是定义在（）上的奇函数，且f(求f(x)奇偶性定义奇偶性定义:对于函数对于函数f(x),对于定义域内任意一对于定义域内任意一个个x换成换成-x，(x,-x均在定义域内）均在定义域内）若有若有f(-x)=-f(x),则则f(x)叫做奇函数；叫做奇函数；若有若有f(-x)=f(x),则则f(x)叫做偶函数。叫做偶函数。定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必 要条件。要条件。性质性质:奇函数的图象关于原点对称奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于偶函数的图象关于y轴对称轴对称.判断奇偶性方法：图象法，定义法。判断奇偶性方法：图象法，定义法。44P 1 0
