1、指数函数与对数函数单元复习一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合Ay|yex，xR，Bx|yln（x1），则AB（）A（0，1）B（0，+）C（1，+）D0，+）2已知p：loga3logb3，q：0，则p是q的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件3我们称可同时存在于一个指数函数与一个对数函数的图象上的点为“和谐点”，则四个点M（1，1），N（2，1），P（2，2），Q（2，3）中“和谐点”的个数为（）A1B2C3D44函数yloga（x+1）（a0，且a1）与函数yx22ax+1在同
2、一直角坐标系中的图象大致是（）ABCD5函数f（x）ax+1+2021（a0，且a1）恒过定点（）A（0，1）B（0，2021）C（1，2022）D（1，0）6若a，b，c都是正数，且4a6b9c，那么（）Aac+bc2abBac+bcacCD7设函数f（x），则函数yf（x）1的零点个数为（）A1个B2个C3个D0个8已知函数，关于x的方程f（x）2mf（x）+1有4个不同的实数根，则实数m的取值范围是（）ABCD二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分9关于函数f（x）a1x+1（a0且
3、a1）的性质表述正确的是（）A恒过定点（1，2）B增函数C值域为（1，+）D奇函数10一水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口的进水速度如图甲所示，出水口的出水速度如图乙所示已知某天0点到6点，该水池至少打开一个水口，且水池的蓄水量如图丙所示，则下列判断正确的有（）A0点到3点只打开了两个进水口B3点到4点三个水口都打开C4点到6点只打开了一个出水口D0点到6点至少打开了一个进水口11已知函数f（x）2x，若，则下列正确的是（）AabBcaCbcDac12已知函数，若关于x的方程4f2（x）4af（x）+2a+30有4个不同的实根，则实数a可能的取值有（）A4BCD三、填空题（本大题共4小题
4、，每小题5分，共20分）13若函数f（x）3log2（x+a）的反函数的图像经过点（1，0），则a 14已知函数f（x），若f（a）2，则a的值 15已知函数f（x）log2（x+1），若f（m2+2）f（3m），则实数m的取值范围是 16已知函数对任意两个不相等的实数x1，都满足不等式，则实数a的取值范围为 四、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（1）已知x+x13，求xx1（2）log327+lg25+lg4log32log4318已知幂函数f（x）（m1）2xm2-4m+2在（0，+）上单调递增，函数g（x）2xk（）求m的值；（）当x1，2
5、时，记f（x），g（x）的值域分别为集合A，B，设命题p：xA，命题q：xB，若命题p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围19已知函数f（x）log2（1）求不等式f（x）1的解集；（2）判断并证明f（x）的单调性20定义在4，4上的奇函数f（x），已知当x4，0时，f（x） 14x+a3x（aR）（1）求f（x）在0，4上的解析式；（2）若存在x2，1，使得不等式f（x） m2x-13x-1成立，求实数m的取值范围21已知某公司生产某款产品的年固定成本为40万元，每生产1件产品还需另投入16元，设公司一年内共生产x万件产品并全部销售完，每万件产品的销售收入为R（x）万元，且已知R（x）=4
6、00-6x，0x407400x-40000x2，x40（1）求利润w（万元）关于年产量x（万只）的函数解析式；（2）当年产量为多少万件时？公司在该款产品的生产中所获得的利润最大，并求出最大利润22已知函数f（x）log2（+a）（1）设f1（x）是f（x）的反函数，当a1时，解不等式f1（x）1；（2）若关于x的方程f（x）+log2（x2）1的解集中恰好有一个元素，求实数a的值；（3）设a0，若t，对任意x1，x2t，t+1，|f（x1）f（x2）|1，求a的取值范围指数函数与对数函数单元复习参考答案与试题解析一选择题（共8小题）1已知集合Ay|yex，xR，Bx|yln（x1），则AB（）
7、A（0，1）B（0，+）C（1，+）D0，+）【分析】利用指数函数的性质和对数函数的性质求出集合A，B，再利用集合的并集运算求解【解答】解：集合Ay|yex，xRy|y0，Bx|yln（x1）x|x1，ABx|x0，故选：B2已知p：loga3logb3，q：0，则p是q的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】对两个命题进行举例说明，再讨论充要性【解答】解：p：当a3，b时，loga3log331logb31，而，即，所以不充分；q：，则0ab，当a，b3时，则loga31，logb31，log3alog3b，所以不必要；则p是q的既不充分也不必要条件
8、，故选：D3我们称可同时存在于一个指数函数与一个对数函数的图象上的点为“和谐点”，则四个点M（1，1），N（2，1），P（2，2），Q（2，3）中“和谐点”的个数为（）A1B2C3D4【分析】设指数函数为f（x）ax（a0且a1），对数函数为g（x）logbx（b0且b1），分别把各点代入解析式，即可判断出是否为“和谐点”【解答】解：设指数函数为f（x）ax（a0且a1），对数函数为g（x）logbx（b0且b1），对于M（1，1），g（1）0，M（1，1）不在对数函数图象上，故M（1，1）不是“和谐点”，对于N（2，1），f（2）a21，解得a1或1，不成立，N（2，1）不在指数函数图象上，
9、故N（2，1）不是“和谐点”，对于P（2，2），f（2）a22，解得a，即P（2，2）在指数函数图象上，g（2）logb22，解得b，即P（2，2）在对数函数图象上，故P（2，2）是“和谐点”，对于Q（2，3），f（2）a23无解，Q（2，3）指数函数图象上，故Q（2，3）不是“和谐点”，故选：A4函数yloga（x+1）（a0，且a1）与函数yx22ax+1在同一直角坐标系中的图象大致是（）ABCD【分析】由函数yloga（x+1）与函数yx22ax+1的图象特征，结合选项直接得解【解答】解：函数yx22ax+1的对称轴为xa，且恒过定点（0，1），观察选项可知，选项C可能符合，若选C，则由
10、图象可知，此时0a1，函数yloga（x+1）单调递减，且恒过定点（0，0），符合题意故选：C5函数f（x）ax+1+2021（a0，且a1）恒过定点（）A（0，1）B（0，2021）C（1，2022）D（1，0）【分析】令x+10，结合a01即可求出函数f（x）过的定点坐标【解答】解：令x+10得，x1，此时ya0+20212022，函数f（x）ax+1+2021（a0，且a1）恒过定点（1，2022），故选：C6若a，b，c都是正数，且4a6b9c，那么（）Aac+bc2abBac+bcacCD【分析】设4a6b9ck（k0），则alog4k，blog6k，clog9k，利用对数的运算性质
11、和换底公式逐个判断各个选项即可【解答】解：设4a6b9ck（k0），则alog4k，blog6k，clog9k，对于选项A：由ac+bc2ab可得：+2，因为+log96+log94log9242，所以选项A错误，对于选项B：a，b，c都是正数，bc0，ac+bcac，故选项B错误，对于选项C：+2logk4+logk6logk16+logk6logk96，2logk9logk81，故选项C错误，对于选项D：2logk6logk4logk36logk4logk9，故选项D正确，故选：D7设函数f（x），则函数yf（x）1的零点个数为（）A1个B2个C3个D0个【分析】由题意画出函数yf（x）的
12、图象，数形结合得答案【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，函数yf（x）1的零点个数即为yf（x）的图象与y1的交点个数，由图可知，函数yf（x）1的零点个数为2个故选：B8已知函数，关于x的方程f（x）2mf（x）+1有4个不同的实数根，则实数m的取值范围是（）ABCD【分析】作出分段函数f（x）的图象，令tf（x），则方程f（x）2mf（x）+1可变形为t2mt10，由此确定该方程有2个不同的实数根，然后利用二次函数的性质，列式求解即可【解答】解：函数的图象如图所示，令tf（x），则方程f（x）2mf（x）+1可变形为t2mt10，由题意可知该方程有2个不同的实数根，设为t1，t2（t1
13、t2），则，设g（t）t2mt1，所以g（2）32m0，解得m，所以实数m的取值范围是故选：B二多选题（共4小题）9关于函数f（x）a1x+1（a0且a1）的性质表述正确的是（）A恒过定点（1，2）B增函数C值域为（1，+）D奇函数【分析】利用指数函数的性质求解【解答】解：函数f（x）a1x+1（a0且a1），令1x0，x1，此时ya0+12，所以函数f（x）过定点（1，2），故选项A正确，因为a的值不确定，所以函数f（x）的单调性无法确定，故选项B错误，因为a1x0，所以a1x+11，所以函数f（x）的值域为（1，+），故选项C正确，由指数函数的性质可知，函数f（x）a1x+1（a0且a1）
14、不具有奇偶性，故选项D错误，故选：AC10一水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口的进水速度如图甲所示，出水口的出水速度如图乙所示已知某天0点到6点，该水池至少打开一个水口，且水池的蓄水量如图丙所示，则下列判断正确的有（）A0点到3点只打开了两个进水口B3点到4点三个水口都打开C4点到6点只打开了一个出水口D0点到6点至少打开了一个进水口【分析】设一个进水口的进水量为y1，出水量为y2，时间为t，由图可知，y1t，y22t，再结合丙图直线的走势，即可依次求解【解答】解：设一个进水口的进水量为y1，出水量为y2，时间为t，由图可知，y1t，y22t，从03时蓄水量由0变为6，说明03时2个进水
15、口均打开，出水口关闭，故A正确，34时蓄水量为水平线，说明水量不发生变化，又由于水池至少打开一个水口，故34时所有水口均打开，故B正确，46时蓄水量随时间增加而减少且每小时减少一个单位，故该时段应为同时打开一个出水口，一个进水口，故C错误，03时2个进水口均打开，34时所有水口均打开，46时同时打开一个出水口，一个进水口，故D正确故选：ABD11已知函数f（x）2x，若，则下列正确的是（）AabBcaCbcDac【分析】利用中间值比较法比较，log0.30.2的大小关系，再由f（x）的单调性即可得结论【解答】解：log221，log310，1log0.30.3log0.30.2，log0.30
16、.2，而函数f（x）2x单调递增，故cab故选：AB12已知函数，若关于x的方程4f2（x）4af（x）+2a+30有4个不同的实根，则实数a可能的取值有（）A4BCD【分析】根据二次函数和指数函数的性质作出函数f（x）的图象，令f（x）t，则4t24at+2a+30，令g（t）4t24at+2a+3，根据题意可得方程g（t）0有两个不同的根，作出g（t）的图象，进而列出不等式组，解之即可【解答】解：当x0时，f（x）x2+3x，则函数f（x）在（0）上单调递增，作出f（x）的图象，如图1，令f（x）t，则4t24at+2a+30，令g（t）4t24at+2a+3，所以方程g（t）0有两个不同
17、的根，记为t1t2，则t1t2（10），作出g（t）的图象，如图2，由图可得，解得故选：CD三填空题（共4小题）13若函数f（x）3log2（x+a）的反函数的图像经过点（1，0），则a4【分析】由反函数的性质可知函数f（x）的图像过点（0，1），代入函数f（x）的解析式，结合对数的运算性质，即可求出a的值【解答】解：函数f（x）3log2（x+a）的反函数的图像经过点（1，0），函数f（x）的图像过点（0，1），3log2a1，log2a2，a224，故答案为：414已知函数f（x），若f（a）2，则a的值 3或【分析】由已知分段函数，列出方程，求解得答案【解答】解：由函数f（x），且f（a
18、）2，得：a22a12，或2解得：a1（舍去），a3；解得：aa（舍去），实数a的值为3或故答案为：3或15已知函数f（x）log2（x+1），若f（m2+2）f（3m），则实数m的取值范围是 （1，2）【分析】根据对数函数的定义域和单调性列出不等式组，解出不等式即可【解答】解：由题意可得函数的定义域为（1，+），又因为函数f（x）log2（x+1）在（1，+）单调递增，有，解得，1m2，所以实数m的取值范围为（1，2）故答案为：（1，2）16已知函数对任意两个不相等的实数x1，都满足不等式，则实数a的取值范围为 【分析】由题意可知函数f（x）在（，）上单调递增，令ux2axa，由复合函数的单
19、调性可知ux2axa在（，）上单调递减，且ux2axa0在（，）上恒成立，列出不等式组解出a的取值范围即可【解答】解：函数对任意两个不相等的实数x1，都满足不等式，函数在（，）上单调递增，令ux2axa，而ylogu是减函数，ux2axa在（，）上单调递减，且ux2axa0在（，）上恒成立，解得1，实数a的取值范围为1，故答案为：1，四解答题（共2小题）17（1）已知mlg2，10n3，计算的值（2）log327+lg25+lg4log32log43【分析】利用有理数指数幂和对数的运算性质求解【解答】解：（1）x+x13，（x+x1）2x2+x2+29，x2+x27则（xx1）2x2+x225
20、，（2）原式+2lg5+2lg223+2218已知幂函数f（x）（m1）2在（0，+）上单调递增，函数g（x）2xk（）求m的值；（）当x1，2时，记f（x），g（x）的值域分别为集合A，B，设命题p：xA，命题q：xB，若命题p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围【分析】（）根据幂函数的定义和性质求出m检验即可，（）结合集合的关系进行求解【解答】解：（）依题意得：（m1）21，m0或m2，当m2时，f（x）x2在（0，+）上单调递减，与题设矛盾，舍去，m0（）由（）得：f（x）x2，当x1，2时，f（x）1，4，即A1，4，当x1，2时，g（x）2k，4k，即B2k，4k，若命题p是q成立
21、的必要条件，则BA，则，即，解得：0k119（12分）已知函数f（x）log2（1）求不等式f（x）1的解集；（2）判断并证明f（x）的单调性【分析】（1）先分析函数f（x）的定义域，由对数的运算性质可得f（x）1等价于02，解可得x的取值范围，即可得答案；（2）根据题意，由作差法分析可得结论【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）log2，必有0，解可得1x1，即函数的定义域为（1，1），若f（x）1，即02，解可得：1x，即不等式f（x）1的解集为（1，）；（2）根据题意，f（x）在（1，1）上为增函数；证明：f（x）的定义域为（1，1），设1x1x21，f（x1）f（x2）log2log
22、2log2log2，又由1x1x21，则x1x20，则有1，则f（x1）f（x2）log20，故f（x）在（1，1）上为增函数，20定义在4，4上的奇函数f（x），已知当x4，0时，f（x） 14x+a3x（aR）（1）求f（x）在0，4上的解析式；（2）若存在x2，1，使得不等式f（x） m2x-13x-1成立，求实数m的取值范围【分析】（1）根据奇函数的性质即可求出a，设x0，4，x4，0，易求f（x），根据奇函数性质可得f（x）与f（x）的关系；（2）分离参数，构造函数，求出函数的最值问题得以解决【解答】解：（1）f（x）是定义在4，4上的奇函数，f（0）1+a0，a1，设x0，4，x4
23、，0，x0，4时，f（x）3x4x（2）x2，1，即即，x2，1时恒成立，2x0，在R上单调递减，x2，1时，的最小值为，m5【点评】本题考查函数的奇偶性及其应用，不等式恒成立的问题，考查学生解决问题的能力，属于中档题21已知某公司生产某款产品的年固定成本为40万元，每生产1件产品还需另投入16元，设公司一年内共生产x万件产品并全部销售完，每万件产品的销售收入为R（x）万元，且已知R（x）=400-6x，0x407400x-40000x2，x40（1）求利润w（万元）关于年产量x（万只）的函数解析式；（2）当年产量为多少万件时？公司在该款产品的生产中所获得的利润最大，并求出最大利润【分析】（1
24、）根据利润公式得出解析式；（2）分段计算最大利润，从而得出结论【解答】解：（1）设年利润为y万美元，当0x40时，yx（4006x）16x406x2+384x40，当x40时，yx（）16x4016x+7360，所以y（2）当0x40时，y6（x32）2+6104，所以当x32时，y取得最大值6104，当x40时，y16x+73602+73605760当且仅当即x50时取等号，所以当x50时，y取得最大值5 760，综合知，当年产量为32万部时所获利润最大，最大利润为6104万美元22已知函数f（x）log2（+a）（1）设f1（x）是f（x）的反函数，当a1时，解不等式f1（x）1；（2）若
25、关于x的方程f（x）+log2（x2）1的解集中恰好有一个元素，求实数a的值；（3）设a0，若t，对任意x1，x2t，t+1，|f（x1）f（x2）|1，求a的取值范围【分析】（1）根据反函数的定义即可交换y与x位置即可得到答案，并将a1代入即可求得解集；（2）条件转化为ax+x2的解集中恰好有一个元素，分类讨论a0和a0时的情况即可；（3）根据条件可得f（t）f（t+1），所以a，利用换元思想令r1t，则，求出其范围，进而可得a的取值范围【解答】解：（1）因为yf（x）log2（+a），所以+a2y，则x，所以f1（x）；当a1时，f1（x）1，解得x0或x1，即解集为（，0）（1，+）；（2）若f（x）+log2（x2）1，即，所以ax+x2的解集中恰好有一个元素，当a0时，x2，符合题意；当a0时，若1+8a0，解得a，此时x4，满足题意；若1+8a0，则ax+x2有两个根，因为，所以两根均满足题意，故不成立；综上：a0或a（3）因为任意x1，x2t，t+1，|f（x1）f（x2）|1，即有f（t）f（t+1），所以a，设r1t，则0r，当r0时，0，当0r时，因为yr+在（0，）上递减，所以r+，所以，所以实数a的取值范围时a，即a，+）
