1、5.5.2简单的三角恒等变换刷新题夯基础题组一三角函数式的求值问题 1.已知cos =15,32,2,则sin 2等于()A.105B.-105C.265D.2552.cos20cos351-sin20=()A.1B.2C.2D.33.cos 23-cos 67+22sin 4cos 26=()A.-22B.22C.-32D.324.已知sin2-cos2=-55,450540,则tan2的值为.5.(2020云南昆明高一下期中)已知为钝角,为锐角,且sin =45,sin =1213,求cos-2与tan-2的值.题组二三角函数式的化简与证明问题6.(多选)下列各式与tan 相等的是()A.
2、1-cos21+cos2B.sin1+cosC.1+cos(+2)21cos(0,)D.1-cos2sin27.化简(1+sin+cos)sin2-cos22+2cos=(其中180360).8.化简下列各式:(1)cosA+cos(120+B)+cos(120-B)sinB+sin(120+A)-sin(120-A);(2)sinA+2sin3A+sin5Asin3A+2sin5A+sin7A.9.在ABC中,求证:sin A+sin B+sin C=4cosA2cosB2cosC2.题组三三角恒等变换的综合应用10.(2020河南郑州高一下期末)下列函数是偶函数且最小正周期为4的是()A.
3、y=cos24x-sin24x B.y=sin 4xC.y=sin 2x+cos 2x D.y=cos 2x11.(2020湖北武汉高一上期中)函数y=12sin 2x+sin2x的值域是()A.-12,32 B.-32,12C.-22+12,22+12D.-22-12,22-1212.已知函数f(x)=sin2x-6+2cos2x-1.(1)求函数f(x)的最大值及取得最大值时相应的x的取值集合;(2)若4,2,且f()=45,求cos 2的值.刷新题培素养题组一三角函数式的求值问题 1.(2020吉林通化梅河口五中高三月考,)已知sin-2cossin+cos=2,则sin 2=() A.
4、917B.-917C.817D.-8172.(2020江西南昌八一中学、洪都中学等六校高一上期末联考,)已知为第三象限角,且sin +cos =2m,sin 2=m2,则m的值为()A.33B.-33C.-13D.-233.()计算:sin 20+sin 40+sin 60-sin 80=()A.12B.22C.32D.14.(2020湖南长沙明德中学高一期中,)设0,3,已知6sin +2cos =3.(1)求tan+6的值;(2)求cos2+712的值.5.(2020河南开封五县高一下期末联考,)已知角(0,)且3cos 2-8cos =5.(1)求sin4+的值;(2)先化简1+sin2
5、2cos2+sin2,再求值.6.(2020山东滨州高一上期末,)在tan =43,7sin 2=2sin ,cos2=277这三个条件中任选一个,补充到下面的问题中,并解决问题.已知0,2,0,2,cos(+)=-13,求cos .题组二三角函数式的化简与证明问题7.(2019甘肃武威第十八中学单元检测,)若2,则1-sin-12(1-cos)=()A.2sin2-cos2B.cos2-2sin2C.cos2 D.-cos28.(2020山东烟台高一上期末,)某学习小组在一次研究性学习中发现,以下三个式子的值都等于同一个常数.cos215+cos215-3sin 15sin 15;cos28
6、0+cos2(-50)-3sin 80sin(-50);cos2170+cos2(-140)-3sin 170sin(-140).(1)求出这个常数;(2)结合(1)的结果,将该小组的发现推广为一个三角恒等式,并证明你的结论.题组三三角恒等变换的综合应用9.(2020山东潍坊诸城高一下期中,)已知当x=x0时,函数f(x)=sin x+2cos x取得最大值,则sin x0=()A.55B.21515C.255D.1510.(2020河南新乡一中高一下期末,)已知-5cos(x+)=sin x+2cos x对xR恒成立,则cos 2=()A.-25B.25C.-35D.3511.()在ABC中
7、,若sin Asin B=cos2C2,则ABC的形状一定是()A.等边三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.直角三角形12.(多选)()已知函数f(x)=cos 2x-23sin xcos x,则下列结论中正确的是()A.存在x1,x2,当x1-x2=时,f(x1)=f(x2)成立B.f(x)在区间-6,3上单调递增C.函数f(x)的图象关于点12,0对称D.函数f(x)的图象关于直线x=512对称13.(2020福建福州八县(市、区)一中高一上期末联考,)周髀算经中给出了弦图,所谓弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大的正方形,如图.若图中直角三角形的两个锐角分别为
8、,且小正方形与大正方形的面积之比为916,求cos(-)的值.14.(2020北京人大附中高一下期中,)在平面直角坐标系xOy中,以x轴非负半轴为始边的两个角,的终边分别与单位圆O交于点M,N,已知M,N关于原点对称.(1)若点M的坐标为13,223,求cos ,cos 的值;(2)当0,时,求3sin +sin2+的最大值.15.()已知f(x)=-12+sin5x22sinx2,x(0,).(1)将f(x)表示成cos x的多项式;(2)求f(x)的最小值.答案全解全析刷新题夯基础1.A32,2,234,sin 2=1-cos2=105.2.C 原式=cos210-sin210cos35(
9、cos10-sin10)=cos10+sin10cos35=2cos35cos35=2.3.Bcos 23-cos 67+22sin 4cos 26=2sin 45sin 22+2(sin 30-sin 22)=2sin 22+22-2sin 22=22.4.答案2解析由题意得sin2-cos22=15,即1-sin =15,sin =45.450540,cos =-35,tan2=1-cossin=1-3545=2.5.解析因为为钝角,为锐角,sin =45,sin =1213,所以cos =-35,cos =513.所以cos(-)=cos cos +sin sin =-35513+451
10、213=3365.因为2,且02,所以0-.解法一:由0-可得0-22,所以cos-2=1+cos(-)2=1+33652=76565,sin-2=1-cos2-2=46565.所以tan-2=sin-2cos-2=47.解法二:同解法一,求得cos -2=76565.由0-,cos(-)=3365,得sin(-)=1-cos2(-)=5665.所以tan-2=sin(-)1+cos(-)=56651+3365=47.6.CDA不符合,1-cos21+cos2=2sin22cos2=tan2=|tan |;B不符合,sin1+cos=2sin2cos22cos22=tan2;C符合,因为(0,
11、),所以原式=1-cos221cos=sincos=tan ;D符合,1-cos2sin2=2sin22sincos=tan .故选CD.7.答案cos 解析原式=2cos22+2sin2cos2sin2-cos24cos22=2cos2cos2+sin2sin2-cos22cos2=cos2sin22-cos22cos2=-cos2coscos2.因为180360,所以902180,所以cos20,所以原式=cos .8.解析(1)原式=cosA+2cos120cosBsinB+2cos120sinA=cosA-cosBsinB-sinA=-2sinA+B2sinA-B22cosA+B2si
12、nB-A2=tanA+B2.(2)原式=(sinA+sin5A)+2sin3A(sin3A+sin7A)+2sin5A=2sin3Acos2A+2sin3A2sin5Acos2A+2sin5A=2sin3A(cos2A+1)2sin5A(cos2A+1)=sin3Asin5A.9.证明由A+B+C=180,得C=180-(A+B),即C2=90-A+B2,cosC2=cos90-A+B2=sinA+B2.sin A+sin B+sin C=2sinA+B2cosA-B2+sin(A+B)=2sinA+B2cosA-B2+2sinA+B2cosA+B2=2sinA+B2cosA-B2+cosA+
13、B2=2cosC22cosA2cos-B2=4cosA2cosB2cosC2,即sin A+sin B+sin C=4cosA2cosB2cosC2.10. A选项A中,易知函数y=cos24x-sin24x=cos 8x是偶函数,最小正周期为28=4,故正确;选项B中,易知函数y=sin 4x是奇函数,最小正周期为24=2,故错误;选项C中,易知函数y=sin 2x+cos 2x=2sin2x+4是非奇非偶函数,最小正周期为22=,故错误;选项D中,易知函数y=cos 2x是偶函数,最小正周期为22=,故错误.故选A.11.Cy=12sin 2x+sin2x=12sin 2x+1-cos2x
14、2=12+22sin2x-4,函数的值域为12-22,12+22.12.解析(1)f(x)=sin2x-6+2cos2x-1=sin 2xcos6-cos 2xsin6+cos 2x=32sin 2x+12cos 2x=sin2x+6.所以当2x+6=2k+2,kZ,即x=k+6,kZ时, f(x)max=1,相应的x的取值集合为xx=k+6,kZ.(2)由(1)知f()=sin2+6=45.由42,得232+676,所以cos2+6=-35.因此cos 2=cos2+6-6=cos2+6cos6+sin2+6sin6=-3532+4512=-33+410.刷新题培素养1.D由sin-2cos
15、sin+cos=2,可得tan-2tan+1=2,即tan =-4,所以sin 2=2sincossin2+cos2=2tantan2+1=-817.2.B依题意得sin 2=2sin cos =m2,又(sin +cos )2=1+2sin cos =1+m2=4m2,m2=13.由是第三象限角知,sin +cos =2m0,m=-33,故选B.解题模板利用sin +cos 与sin cos 的关系列等式,解方程求m的值,解题时要运用角的范围确定m的符号,防止符号错误导致结论错误.3.Csin 20+sin 40+sin 60-sin 80=2sin 30cos 10+2cos 70sin(
16、-10)=cos 10-2cos(60+10)sin 10=cos 10-212cos10-32sin10sin 10=cos 10-12sin 20+32(1-cos 20)=32-12sin20+32cos20+cos 10=32-(sin 30sin 20+cos 30cos 20)+cos 10=32-cos(30-20)+cos 10=32-cos 10+cos 10=32.4.解析(1)因为6sin +2cos =3,所以sin+6=64.因为0,3,所以+66,2,所以cos+6=104.所以tan+6=155.(2)cos2+3=2cos2+6-1=21042-1=14.因为0
17、,3,所以2+33,所以sin2+3=154,所以cos2+712=cos2+3+4=cos2+3cos4-sin2+3sin4=1422-15422=2-308.5.解析(1)3cos 2-8cos =3(2cos2-1)-8cos =5,3cos2-4cos -4=0,cos =-23(cos =2舍去),(0,),sin =1-cos2=53,sin4+=22(sin +cos )=2253-23=10-226 .(2)1+sin22cos2+sin2=(sin+cos)22cos2+2sincos=(sin+cos)22cos(cos+sin)=sin+cos2cos=12tan +1
18、2.由(1)知tan =sincos=-52,1+sin22cos2+sin2=12-52+12=2-54.6.解析方案一:选条件.解法一:因为tan =43,所以sincos=43,则sin=43cos,sin2+cos2=1,解得sin=437,cos=17或sin=-437,cos=-17.因为0,2,所以sin=437,cos=17.因为cos(+)=-13,且sin2(+)+cos2(+)=1,所以sin2(+)=89.因为0,2,0,2,所以0+,所以sin(+)=223.所以cos =cos(+)-=cos(+)cos +sin(+)sin =-1317+223437=86-12
19、1.解法二:因为0,2,tan =43,所以点P(1,43)在角的终边上,所以cos =112+(43)2=17,sin =4312+(43)2=437.以下同解法一.方案二:选条件.因为7sin 2=2sin ,所以14sin cos =2sin .因为0,2,所以sin 0 ,所以cos =17.又因为sin2+cos2=1,所以sin2=4849.因为0,2,所以sin =437.以下同方案一的解法一.方案三:选条件.因为cos2=277,所以cos =2cos22-1=17.由sin2+cos2=1,得sin2=4849.因为0,2,所以sin =437.以下同方案一的解法一.7.D2
20、,42cos20.1-sin =sin22+cos22-2sin2cos2=sin2-cos22,12(1-cos )=sin22,1-sin-12(1-cos)=sin2-cos22-sin22=sin2-cos2-sin2=-cos2.8.解析 (1)cos215+cos215-3sin 15sin 15=2cos215-3sin215=1+cos 30-32(1-cos 30)=1+32-321-32=74.(2)推广:当+=30时,cos2+cos2-3sin sin =74.证明:+=30,=30-,cos2+cos2-3sin sin =cos2+cos2(30-)-3sin si
21、n(30-)=cos2+32cos+12sin2-3sin 12cos-32sin=cos2+34cos2+32cos sin +14sin2-32cos sin +32sin2=74cos2+74sin2=74.9.Af(x)=sin x+2cos x=5sin(x+),其中sin =255,cos =55,当x0+=2+2k,kZ,即x0=2-+2k,kZ时,函数取得最大值,此时sin x0=sin2-+2k=cos =55.故选A.10.D-5cos(x+)=-5cos xcos +5sin xsin =sin x+2cos x,则cos =-25,所以cos 2=2cos2-1=85-
22、1=35,故选D.11.B由已知得12cos(A-B)-cos(A+B)=12(1+cos C),因为A+B=-C,所以cos(A-B)-cos(-C)=1+cos C,所以cos(A-B)=1.又-A-B,所以A-B=0,所以A=B.无法判断其是不是等边三角形,也无法判断其是不是直角三角形,所以ABC一定是等腰三角形.12.AC易知f(x)=2sin6-2x=2sin2x+56,f(x)的最小正周期T=,A正确;令-2+2k2x+562+2k(kZ),得-23+kx-6+k(kZ),f(x)的单调递增区间为-23+k,-6+k(kZ),B错误;对称中心的横坐标满足2x+56=k(kZ),x=
23、k2-512(kZ),当k=1时,x=12,C正确; f512=2sin2512+56=-32,D错误.故选AC.13.解析设大正方形的边长为4,依题意得小正方形的边长为3.因此4cos -4sin =3cos -sin =34,4sin -4cos =3sin -cos =34.,得sin cos -sin sin -cos cos +sin cos =916.又sin =cos ,cos =sin ,sin2-(cos cos +sin sin )+cos2=916,cos(-)=1-916=716.思路探究利用几何图形找到等量关系是解题的突破口,将关系式进行适当的恒等变形是解题的关键.1
24、4.解析(1)由点M的坐标为13,223,得cos =13,因为M,N关于原点对称,所以=+,故cos =cos(+)=-cos =-13.即cos =13,cos =-13.(2)由cos =cos(+)=-cos ,得3sin +sin2+=3sin +cos =3sin -cos =2sin-6,由0,得-6-6,56,则2sin-6-1,2,故当-6=2,即=23时,3sin +sin2+取得最大值,最大值为2.15. 解析(1)f(x)=-12+sin52x2sinx2=sin5x2-sinx22sinx2=2cos3x2sinx2sinx2=4cos 3x2sin x2cos x22sin x2=2cos3x2cosx2=cos 2x+cos x=2cos2x+cos x-1.(2)由(1)知f(x)=2cos2x+cos x-1=2cosx+142-98,x(0,),cos x(-1,1),当cos x=-14时, f(x)取得最小值,为-98.
