1、2021年期末水平检测一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.(2020北京,1,4分,)已知集合A=-1,0,1,2,B=x|0xb0,则下列不等式一定成立的是()A.1a1b B.bab+1aD.a+1ab+1b11.下列说法中正确的是()A.函数y=sinx+2是偶函数B.存在实数,使 sin cos =1C.直线x=8是函数f(x)=sin2x+54的图象的一条对称轴D.若,都是第一象限角,且,则sin sin 12.已知定义域为R的奇函数f(x),当x0时,f(x)=x2-x+1,01,则下列说法中正确的是()A.
2、当-12x1x2f(x2)B.若x(0,m时,f(x)的最小值为34,则m的取值范围为12,76C.不存在实数k,使函数F(x)=f(x)-kx有5个零点D.若关于x的方程f(x)-34f(x)-a=0的所有实数根之和为0,则a=-34三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.823+lg 2+12lg 25的值为.14.函数f(x)=Asin(x+)(A0,0,-t+m成立,则实数m的取值范围是.16.设集合M=1,2,3,4,6,S1,S2,Sk都是M的含有两个元素的子集,则k=;若集合A是由这k个元素(S1,S2,Sk)中的若干个组成的集合,且满足:对任意的Si=ai,bi,
3、Sj=aj,bj(ij,i,j1,2,3,k)都有aibi,ajbj,且aibiajbj,则A中元素个数的最大值是.(本小题第一空2分,第二空3分)四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知集合A=x|-5x0.(1)求AB,A(RB);(2)若C=x|m-1x0,b0,且(a+b)ab=1.(1)求1a3+1b3的最小值;(2)是否存在a,b,使得12a+13b的值为63?并说明理由.19.(12分)设函数f(x)=cos xcosx-6+3sin 2x-334.(1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间;(2)当x12,2时,求函数f(
4、x)的最大值和最小值.20.(12分)(2020山西长治二中高一上期末,)已知函数f(x)=4x-x,02,其中a为实数.(1)若函数f(x)为定义域上的单调函数,求a的取值范围;(2)若a0成立的正整数解有且仅有一个,求a的取值范围.21.(12分)已知函数f(x)=1-a3x3x+1(2b-6x0,求实数m的取值范围.22.(12分)已知函数f(x)=mx2-mx+2.(1)若f(x)的定义域为R,求实数m的取值范围;(2)设函数g(x)=f(x)-2x,若g(ln x)0对任意的xe,e2恒成立,求实数m的取值范围.参考答案1.D集合A与集合B的公共元素为1,2,由交集的定义知AB=1,
5、2,故选D.2.AA=-1,0,1,B=1,2,AB=-1,0,1,2,又U=-2,-1,0,1,2,3,U(AB)=-2,3.故选A.3.C因为U=-3,-2,-1,0,1,2,3,B=-3,0,2,3,所以UB=-2,-1,1,又A=-1,0,1,2,所以A(UB)=-1,1,故选C.4.B若p:xR,x2-4x+2m0(其中m为常数)为真命题,则=16-8m0,解得m2,则“m1”是“命题p为真命题”的必要不充分条件,故选B.5.A若命题“xx|1x2,2x2-a0”为真命题,则a(2x2)min,即a2,a|a2a|a1,所以“a1”是原命题为真命题的一个必要不充分条件.故选A.6.A
6、将函数y=cos 3x的图象向左平移15个单位长度,可得函数y=cos3x+5的图象,故选A.7.D易知f(x)的定义域为R,关于原点对称, f(-x)=2|-x|sin(-2x)=-2|x|sin 2x=-f(x),则f(x)为奇函数,其图象关于原点对称,故排除A,B.当2x时, f(x)b0,则1ab0,可得b-a0,所以b-aa(a+1)0,即ba1a,又ab0,所以a+1bb+1a,故C正确;令a=12,b=13,则a+1a=52,b+1b=103,此时a+1a,但sin sin ,故D错误.故选AC.12.BC因为f(x)是定义域为R的奇函数,所以f(0)=0,且f(x)的图象关于原
7、点对称,由x0时, f(x)=x2-x+1,01,作出函数f(x)在R上的图象,如图所示:对于A,当-12x1x2f(x2)不一定成立,故A错误.对于B,令12x-1=34,解得x=76,结合图象可知,若x(0,m时, f(x)的最小值为34,则m的取值范围为12,76,故B正确.对于C,考虑y=kx与y=x2-x+1的图象在(0,1上有2个交点的情况.当x(0,1时, f(x)34,1,函数F(x)=f(x)-kx=x2-(k+1)x+1,则-(k+1)2-4=k2+2k-30,解得k1或k-3.若k-3,则当x(0,1时,y=kx00,故k1时,设x1是方程F(x)=0的较大根,则x1=k
8、+1+k2+2k-321+1+12+2-32=1,故k1不符合题意.考虑y=kx与y=x2-x+1的图象在(0,1上有1个交点,与y=12x-1的图象在(1,+)上有1 个交点的情况.因为y=kx与y=x2-x+1的图象有一个交点,所以-(k+1)2-4=k2+2k-3=0,解得k=1或k=-3(舍去),又当x(0,+)时,y=kx与y=12x-1的图象只有1个交点(1,1),故不符合题意.综上,不存在实数k,使函数F(x)=f(x)-kx有5个零点.对于D,由f(x)-34f(x)-a=0,可得f(x)=34或f(x)=a,当f(x)=34时,x=12或x=76,若关于x的方程f(x)-34
9、f(x)-a=0的所有实数根之和为0,则f(x)=a的根可能为-12+76=-53,则a=f-53=-f53=-37,满足条件,但此时a=-37-34,故D错误.故选BC.13.答案5解析原式=2323+lg 2+lg 5=22+1=5.14.答案3解析由题中图象得A=2,T2=3-6=2,故T=,故=2=2,由f3=2sin23+=2,得23+=2+2k,kZ,解得=-6+2k,kZ,又-0,所以=-6,故f(x)=2sin2x-6,所以f4=2sin24-6=2sin 3=232=3.15.答案m|mt+m成立,得x+2的最小值大于t+m,因此3t+m.又由tt|1t2,使得t+m1,解得
10、m2.因此,实数m的取值范围是m|m2.16.答案10;6解析易得集合M的含有两个元素的子集的个数为10,则k=10.这10个子集分别为1,2,1,3,1,4,1,6,2,3,2,4,2,6,3,4,3,6,4,6,因为aibiajbj,所以1,2,2,4,3,6中只能取一个,1,3,2,6中只能取一个,2,3,4,6中只能取一个,故10个元素中要去掉4个,则k的最大值为6.17.解析(1)A=x|-5x0=x|x4, (2分)AB=x|x4,(3分)RB=x|-1x4,A(RB)=x|-1x2.(5分)(2)BC,m-14,(7分)解得m3,(9分)实数m的取值范围为(-,0)(3,+).(
11、10分)18.解析a0,b0,且(a+b)ab=1,a+b=1ab,(1分)又a+b2ab(当且仅当a=b时取等号),(2分)1ab2ab,ab12.(3分)(1)1a3+1b321a31b3=2abab42,当且仅当a=b时取等号.(6分)(2)a0,b0,12a+13b212a13b=26ab233,当且仅当2a=3b时等号成立.(10分)63233,不存在a,b,使得12a+13b的值为63.(12分)19. 解析(1)f(x)=cos xcosx-6+3sin 2x-334=cos x32cosx+12sinx+3(1-cos 2x)-334=12sin xcos x-32cos 2x
12、+34=14sin 2x-34cos 2x=12sin2x-3,(2分)所以f(x)的最小正周期是22=.(4分)由-2+2k2x-32+2k,kZ,解得-12+kx512+k,kZ,所以f(x)的单调递增区间为-12+k,512+k,kZ.(6分)(2)当x12,2时,2x-3-6,23,(8分)所以sin2x-3-12,1,(10分)所以f(x)-14,12,综上, f(x)的最大值为12,最小值为-14.(12分)20.解析(1)当02时, f(x)=-x2+(a+2)x-2a也为减函数,且f(x)f(2)=0,故a+222,-22+2(a+2)-2a0,解得a2.故a的取值范围为(-,
13、2.(2)由函数的解析式,可得f(1)=3, f(2)=0,当aa, f(1)=3a,不符合题意;当0a2时,由(1)知f(x)为定义域上的减函数,仅有f(1)=3a成立,符合题意;当2aa,在(2,+)上, f(x)的最大值为fa+22=(a-2)24140,符合题意;当3a0,在(2,+)上,(a-2)24-a=(a-4)2-1240,不符合题意.综上所述,0a3.21.解析(1)因为函数f(x)=1-a3x3x+1(2b-6xb)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),即1-a3-x3-x+1=-1-a3x3x+1,(2分)解得a=2,(3分)易得2b-6+b=0,解得b=2,所以a=2,
14、b=2.(4分)(2)证明:由(1)得f(x)=1-23x3x+1,x(-2,2),任取x1,x2(-2,2),且x1x2,则f(x1)-f(x2)=1-23x13x1+1-1-23x23x2+1=2(3x2-3x1)(3x1+1)(3x2+1),(6分)因为x1x2,所以3x10,又3x2+10,3x1+10,所以2(3x2-3x1)(3x1+1)(3x2+1)0,所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),所以f(x)是区间(2b-6,b)上的减函数.(8分) (3)因为f(m-2)+f(2m+1)0,所以f(m-2)-f(2m+1),因为函数f(x)=1-23x3x+1(-2xf(-2m-1),(10分)因为函数f(x)是区间(-2,2)上的减函数,所以m-2-2m-1,-2m-22,-22m+12,解得0m0,(-m)2-8m0,解得00,所以m-2t2-t,m2t2-2t2-t恒成立,(10分)因为-2t2-t=2-t-122+14-1,所以m-1,因为2t2-2t2-t=2(t+1)t=2+2t,且函数y=2+2t在t(1,2上单调递减,所以m2+22=3,综上,-1m3,即实数m的取值范围为-1,3.(12分)
