1、6.3.2 二项式系数的性质1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1()ab 2()ab 3()ab 4()ab 5()ab 6()ab 观察二项式展开式系数:1 7 21 35 35 21 7 17()ab (a+b)n011101222201233333012344444401234555555501234566666666CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC你能发现这些数据有什么新的规律吗你能发现这些数据有什么新的规律吗?(1)(1)每行两端的数都是每行两端的数都是1 1；(2)(2)系数呈
2、对称分布；与首末两端系数呈对称分布；与首末两端“等距离等距离”的两个系数相等；的两个系数相等；(3)(3)同一行中，二项式系数先增后减，两端的二项式系数小，中间的系数大同一行中，二项式系数先增后减，两端的二项式系数小，中间的系数大.(4)(4)在相邻的两行中在相邻的两行中,除除1 1以外的每一个数都等于它以外的每一个数都等于它“肩上肩上”两个数的和两个数的和.mnmnnCC 11rrrnnnCCC 展开式的二项式展开式的二项式系数依次是：系数依次是：nba)(nnnnnC,C,C,C210 从函数角度看，从函数角度看，可看可看成是以成是以r为自变量的函数为自变量的函数 ,其定义域是：其定义域是
3、：rnC)(rfn,2,1,0 当当 时，其图象是右时，其图象是右图中的图中的7个孤立点个孤立点6n与首末两端与首末两端“等距离等距离”的两个的两个二项式系数相等二项式系数相等图象的对称轴图象的对称轴：2nr 这一性质可直接由公式 得到mnnmn CC巩固练习：巩固练习：1.1.在在(a-ba-b)2020的二项展开式中，二项式系数与第的二项展开式中，二项式系数与第6 6项的二项式系数相同的项项的二项式系数相同的项是是()()A.A.第第1515项项 B.B.第第1616项项 C.C.第第1717项项 D.D.第第1818项项Bk1knC)!1k(k)1kn()2n)(1n(nC1knkn由于
4、由于：所以所以 相对于相对于 的增减情况由的增减情况由 决定决定 knC1Ckn由由：2111nkkkn21nk 可知，当可知，当 时，时，二项式系数是逐渐增大的，由二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。二项式系数的增减性与最大值二项式系数的增减性与最大值2nnC2121nnnnCC。项系数最大，求第五项的展开式中只有第已知101.243nxx418444541183413060.TTCxxx为偶数依题意 n,18,1012nn且解1.在(a+b)8的展开式中,二项式系数最大的项为,在(a+b)9的展
5、开式中,二项式系数最大的项为.令 ，则：1ab 012CCCC2nnnnnn 的展开式的各二项式系数的和等于()nab 2n上式还可以写成：123CCCC21nnnnnn 例例1 证明在证明在(a+b)n展开式中，奇数项的二项式系数的和展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。等于偶数项的二项式系数的和。0a注意：是否含有注意：是否含有练习练习二项展开式中系数和的求法(1)对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,cR,m,nN*)的式子 求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可;对(ax+by)n(a,bR,nN*)求展开式各项系数之和,只需令x=
6、y=1即可.(2)一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1),归纳总结归纳总结例例3.已知已知(1+2x)n的展开式中第的展开式中第6项与第项与第7项的系数相等项的系数相等,求展开式中求展开式中二项式系数最大的二项式系数最大的项和系数项和系数最大的项最大的项.解得5k6.k=5或k=6(k0,1,2,8).系数最大的项为T6=1 792x5,T7=1 792x6.区分：二项式系数最大，还是系数最大区分：二项式系数最大，还是系数最大1.(1-x)13的展开式中系数最小的项为()A.第6项 B.第7项 C.第8项 D.第9项解:展开式中共有14项,中间两项(第7,8项)的二项式系数最大.故系数最小的项为第8项,系数最大的项为第7项.答案:C训练提升：训练提升：A.64 B.32 C.63 D.31 3.已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为()A.212 B.211 C.210 D.291.二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数,理解和掌握好;2.注意“系数”与“二项式系数”的区别,不能 混淆,只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项;3.理解和掌握“赋值法”，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段.课 堂 小 结
