1、第2课时单调性与最值学习目标1.理解正弦函数、余弦函数的单调性具有周期性变化的规律，通过一个周期内的单调性进而研究在整个定义域上的性质.2.能够利用函数的单调性解决比较函数值的大小以及求函数的最值、值域等问题导语同学们，前面我们研究了正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性，根据我们之前学习指数函数和对数函数的经验，三角函数还有哪些性质有待我们去研究呢？请同学们继续观察正弦曲线和余弦曲线，它们的定义域、值域、单调性有什么样的规律呢？这就是我们本节课要研究的问题一、正弦函数、余弦函数的单调性问题你能作出正弦函数ysin x，x的函数图象吗？提示知识梳理1正弦函数的单调性在每一个闭区间(kZ)上都单调递
2、增，其值从1增大到1；在每一个闭区间(kZ)上都单调递减，其值从1减小到1.2余弦函数的单调性在每一个闭区间2k，2k(kZ)上都单调递增，其值从1增大到1；在每一个闭区间2k，2k (kZ)上都单调递减，其值从1减小到1.注意点：(1)正、余弦函数的单调性只针对区间，不能针对象限(2)正弦函数、余弦函数都不是单调函数，但它们都有无数个单调区间(3)利用单调性，可以比较同一个单调区间内的同名三角函数值的大小二、利用单调性比较大小例1利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小(1)cos ，cos ；(2)cos 1，sin 1；(3)sin 164与cos 110.解(1)cos cos ，c
3、os cos ，因为0cos ，即cos cos .(2)因为cos 1sin，又011，且ysin x在上单调递增，所以sinsin 1，即cos 1sin 1.(3)sin 164sin(18016)sin 16，cos 110cos(9020)sin 20.因为ysin x在上单调递增，所以sin 20sin 16，即cos 110sin 164.反思感悟比较三角函数值大小的步骤(1)异名函数化为同名函数(2)利用诱导公式把已知角转化到同一单调区间上(3)利用函数的单调性比较大小跟踪训练1(1)下列关系式中正确的是()Asin 11sin 168cos 10Bsin 168sin 11c
4、os 10Csin 11cos 10sin 168Dsin 168cos 10sin 11答案A解析因为sin 168sin 12，cos 10sin 80，所以只需比较sin 11，sin 12，sin 80的大小因为ysin x在上单调递增，所以sin 11sin 12sin 80，即sin 11sin 168cos 10.(2)已知，为锐角三角形的两个内角，则以下结论正确的是()Asin sin Bcos sin Ccos cos 答案B解析因为，是锐角三角形的两个内角，故有，所以0，所以cos 0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“x”看作一个整体“z”，即通过求yAs
5、in z的单调区间而求出原函数的单调区间求形如yAcos(x)(其中A，为常数，且A0，0)的函数的单调区间时，同上跟踪训练2(1)函数ysin，x0,2的单调递减区间为_答案，解析ysinsin，令2kx2k，kZ，解得2kx2k，kZ，又x0,2，0x或x2，原函数的单调递减区间为，.(2)求函数y2cos的单调区间解令2k2x2k(kZ)，即2k2x2k(kZ)，kxk(kZ)单调递增区间为(kZ)令2k2x2k(kZ)，即2k2x2k(kZ)，kxk(kZ)，单调递减区间为(kZ)函数y2cos的单调递增区间为(kZ)，单调递减区间为(kZ)四、正弦函数、余弦函数的最值(值域)知识梳理
6、1正弦函数：当且仅当x2k(kZ)时取得最大值1；当且仅当x2k(kZ)时取得最小值1.2余弦函数：当且仅当x2k(kZ)时取得最大值1；当且仅当x2k(kZ)时取得最小值1.例3若x是ABC中的最小内角，则ysin x的值域为()A1,1 B(0,1C. D.答案C解析在ABC中，可知ABC，因为x是ABC中的最小内角，所以3x，可得0sinBcos 400cosCsin 3sin 2Dsincos答案BD解析ysin x在上单调递增，又，sincos 50cos(50)，故B成立；ysin x在上单调递减，又23sin 3，故C不成立；sinsin，coscossinsin.0，且ysin
7、 x在上单调递增sincos，故D成立7函数ycos x在区间，a上单调递增，则a的取值范围是_答案(，0解析因为ycos x在，0上单调递增，在0，上单调递减，所以只有a0时满足条件，故a(，08.函数f(x)cos的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为_答案，kZ解析由图象知，周期T22，2，.f(x)cos.由2kx2k，kZ，得2kx2k，kZ，f(x)的单调递减区间为，kZ.9已知函数f(x)2cos.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x值解(1)令2k3x2k(kZ)，解得x(kZ)f(x)的单调递增区间为(kZ)(2)当3x2k(
8、kZ)，即x(kZ)时，f(x)取得最小值2.10设函数f(x)sin，xR.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值，并求出取最值时x的值解(1)最小正周期T，由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)，所以函数f(x)的单调递增区间是(kZ)(2)令t2x，则由x可得0t，所以当t，即x时，ymin1，当t，即x时，ymax1.11使cos x1m有意义的m的取值范围为()Am0B0m2C1m1Dm1答案B解析因为1cos x1，所以11m1，所以0m2.12f(x)sin x(0)在区间上单调递增，在上单调递减，则的值为()A2 B. C
9、. D.答案D解析当x时，函数f(x)取得最大值，则sin1，所以2k(kZ)，所以6k，kZ，又0，结合选项符合题意13在ABC中，角A，B均为锐角，且cos Asin B，则()Acos C0 Bcos C0Ccos C0 Dcos C0答案B解析因为角A，B均为锐角，所以0A，0Bsin Bcos AcosABABC，而C为三角形的内角，所以C，因此cos C0)在区间上单调递增，则的取值范围是_. 答案解析函数f(x)sin(0)在区间上单调递增，当x时，x0)在区间上单调递增，解得，0，0，因此，的取值范围是.15对于函数f(x)下列说法中正确的是()A该函数的值域是1,1B当且仅当
10、x2k(kZ)时，函数取得最大值1C当且仅当x2k(kZ)时，函数取得最小值1D当且仅当2kx2k(kZ)时，f(x)0答案D解析画出函数f(x)的图象如图中实线部分所示，由图象容易看出，该函数的值域是；当且仅当x2k，kZ或x2k，kZ时，函数取得最大值1；当且仅当x2k，kZ时，函数取得最小值；当且仅当2kx2k，kZ时，f(x)f(cos )证明由f(x1)f(x)，得f(x2)f(x1)f(x)，所以函数f(x)是周期函数，且2是它的一个周期因为函数f(x)是偶函数且在4，3上单调递增，所以函数f(x)在0,1上单调递增又，是锐角三角形的两个内角，则有，即0，因为ysin x在上单调递增，所以sin sincos ，且sin (0,1)，cos (0,1)，所以f(sin )f(cos )
