1、2021-2022学年湖北省武汉市汉阳区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1（3分）将一元二次方程3x22x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（）A3，2B3，0C3，1D3，12（3分）用配方法解方程x26x+50，配方后所得的方程是（）A（x+3）24B（x3）24C（x+3）24D（x3）243（3分）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A赵爽弦图B科克曲线C笛卡尔心形线D斐波那契螺旋线4（3分）若x1，x2是一元二次方程x23x20的两个根，则x1x2的值是（）A3B2C3D25（3分）已知O的半径等于5，圆心O到
2、点P的距离为3，那么点P与O的位置关系是（）A点P在O外B点P在O内CP在O上D无法确定6（3分）在育红学校开展的课外阅读活动中，学生人均阅读量从七年级的每年100万字增加到九年级的每年121万字设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，根据题意，所列方程正确的是（）A100（1+x）2121B1002（1+x）121C100（1+2x）121D100（1+x）+100（1+x）21217（3分）如图，在ABC中，BAC108，将ABC绕点A按逆时针方向旋转得到ABC，若点B恰好落在BC边上，ABCB，则C的度数为（）A18B20C22D248（3分）在平面直角坐标系中，抛物线yx2+4x经变
3、换后得到抛物线yx24x，则这个变换可以是（）A向左平移4个单位B向右平移4个单位C向左平移8个单位D向右平移8个单位9（3分）设x1，x2是一元二次方程x2+x30的两根，则x134x22+20等于（）A1B5C11D1310（3分）如图，ABC是圆O的内接正三角形，弦EF过BC的中点D，且EFAB，若AB4，则DE的长为（）A1B5-1C3D2二、填空题（每小题3分，共18分）11（3分）在平面直角坐标系中，点（2，3）关于原点对称的点的坐标是 12（3分）一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡56张，则这个小组共有 人13（3分）如图，将O的劣弧AB翻折，D为优弧AB上一点，AD
4、交翻折后的弧AB于点C，若AOB80，则DCB的大小是 14（3分）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数表达式y0.2x2+1.5x2，则最佳加工时间为 min15（3分）关于抛物线yax22x+1（a0），给出下列结论：当a0时，抛物线与直线y2x+2没有交点；若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间；若抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）围成的三角形区域内（包括边界），则a1其中正确结论的序号是 16（3分）如图，等腰ABC中，BAC120，ABAC，D是AB上一
5、点，AD2，BD4，E是边BC上的动点，若点E绕点D逆时针旋转30的对应点是F，连CF，则CF的最小值是 三、解答题（共8小题，共72分）17（8分）已知关于x的一元二次方程x2+5xm0的一个根是2，求m的值及方程的另一个根18（8分）二次函数yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，对称轴为直线x1，图象交x轴于A（3，0）、B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），根据图象解答下列问题：（1）直接写出方程ax2+bx+c0的两个根；（2）直接写出不等式ax2+bx+c0的解集；（3）直接写出不等式ax2+bx+c3的解集19（8分）如图，某农户准备盖一所小型的矩形鸡场，其中一面靠墙，墙足
6、够长，另外三面分别采用木栅栏和新型材料，两种材料一共购进20米，其中新型材料至少购进8米，若鸡场的面积为42平方米，求新型材料的长度？20（8分）已知正方形ABCD，点E是CD的中点，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）（1）在图（1）中，分别画出另外三边的中点；（2）在图（2）中，连接AE，将AED绕着点A顺时针旋转90，画出旋转后的三角形21（8分）如图，在半径为5的中，AB为O的直径，OD弦AC交O于D，垂足是H，BD交AC于E，过点E作EFEB交O于F，且EFEB，连接OF，AF，BF（1）求证：OFEODE；（2）若EH1，求AF的长22（10分）某公司电商平台，在2021
7、年国庆长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）（x为正整数）的一次函数，如表仅列出了该商品的售价x，周销售量y，周销售利润W（元）的三组对应值数据 x407090y1809030W360045002100（1）该商品进价 （元/件），y关于x的函数解析式是 （不要求写出自变量的取值范围）；（2）在销售过程中要求售价不低于进价，售价x为多少时，周销售利润W最大，并求出此时的最大利润；（3）因该商品原料涨价，进价提高了m（元/件）（m0的整数），该商品在今后的销售中，公司发现当售价为63元/件时，周销售利润最大，请直接写出m的值23（10分
8、）如图，ABC为等边三角形，D为BC边上一点，连接AD（1）如图（1），将AD绕点A顺时针旋转60得到AE连接DE，BE，求证：ABEACD；（2）如图（2），将AD绕点A顺时针旋转120得到AE，连接CE交AB于F，猜想AF与BD存在的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图（3），以AC为斜边向AC边右侧作RtAMC，连接BM，N为BM的中点，连接DN若AB24，CD8，当DN取最小值时，请直接写出BDN的面积24（12分）已知抛物线yx2+bx+c（bc0）的顶点为D，与x轴交于A，B两点（A在B左边）（1）若该抛物线的顶点D坐标为（1，4），求其解析式；（2）如图（1），已知抛物线的顶点D
9、在直线l：yx+3上滑动，且与直线l交于另一点E，若ADE的面积为158，求抛物线顶点D的坐标；（3）如图（2），在（1）的条件下，P，Q为y轴上的两个关于原点对称的动点，射线BP，BQ分别与抛物线交于M，N两点，求MN与PQ满足的数量关系2021-2022学年湖北省武汉市汉阳区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1（3分）将一元二次方程3x22x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（）A3，2B3，0C3，1D3，1【解答】解：3x22x，移项得：3x2x20，二次项系数和一次项系数分别是3和1，故选：D2（3分）用配方法解方程x26x+50，
10、配方后所得的方程是（）A（x+3）24B（x3）24C（x+3）24D（x3）24【解答】解：x26x+50，x26x5，则x26x+95+9，即（x3）24，故选：D3（3分）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A赵爽弦图B科克曲线C笛卡尔心形线D斐波那契螺旋线【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；B、既是中心对称图形又是轴对称图形，故此选项符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意故选：B4（3分）若x1，x2是一元二次方程x23x20的两个根，
11、则x1x2的值是（）A3B2C3D2【解答】解：根据题意得x1x22故选：B5（3分）已知O的半径等于5，圆心O到点P的距离为3，那么点P与O的位置关系是（）A点P在O外B点P在O内CP在O上D无法确定【解答】解：圆O的半径为5，P到圆心的距离为3，35，点P在圆O的内部，故选：B6（3分）在育红学校开展的课外阅读活动中，学生人均阅读量从七年级的每年100万字增加到九年级的每年121万字设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，根据题意，所列方程正确的是（）A100（1+x）2121B1002（1+x）121C100（1+2x）121D100（1+x）+100（1+x）2121【解答】解：设该
12、校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，根据题意即可列出方程：100（1+x）2121故选：A7（3分）如图，在ABC中，BAC108，将ABC绕点A按逆时针方向旋转得到ABC，若点B恰好落在BC边上，ABCB，则C的度数为（）A18B20C22D24【解答】解：ABCB，CCAB，ABBC+CAB2C，将ABC绕点A按逆时针方向旋转得到ABC，CC，ABAB，BABB2C，B+C+CAB180，3C180108，C24，CC24，故选：D8（3分）在平面直角坐标系中，抛物线yx2+4x经变换后得到抛物线yx24x，则这个变换可以是（）A向左平移4个单位B向右平移4个单位C向左平移8个单位D向右
13、平移8个单位【解答】解：yx2+4x（x+2）24，顶点坐标是（2，4）yx24x（x2）24，顶点坐标是（2，4）所以将抛物线yx2+4x向右平移4个单位得到抛物线yx24x，故选：B9（3分）设x1，x2是一元二次方程x2+x30的两根，则x134x22+20等于（）A1B5C11D13【解答】解：x1，x2是一元二次方程x2+x30的两根，x12+x130，x22+x230，x12x1+3，x22x2+3，x13x1（x1+3）x12+3x1（x1+3）+3x14x13，x134x22+204x134（x2+3）+204（x1+x2）+5，x1，x2是一元二次方程x2+x30的两根，x1
14、+x21，x134x22+204（1）+51故选：A10（3分）如图，ABC是圆O的内接正三角形，弦EF过BC的中点D，且EFAB，若AB4，则DE的长为（）A1B5-1C3D2【解答】解：方法一：如图过C作CNAB于N，交EF于M，EFAB，CMEF根据圆和等边三角形的性质知：CN必过点OEFAB，D是BC的中点，DG是ABC的中位线，DG=12AB2；CGD是等边三角形，CMDG，DMMG；OMEF，由垂径定理得：EMMF，DEGF弦BC、EF相交于点D，BDDCDEDF，即DE（DE+2）4；解得DE=5-1（负值舍去）方法二：如图，连接OA，OE，OA2（23-OA）2+22，OA=4
15、33EFAB，D是BC的中点，DG是ABC的中位线，DG=12AB2；CGD是等边三角形，CMDG，DMMG1，CD2，CM=22-12=3，OEOCOA=433，OMOCCM=33，EM=OE2-OM2=5，DEEMDM=5-1故选：B二、填空题（每小题3分，共18分）11（3分）在平面直角坐标系中，点（2，3）关于原点对称的点的坐标是 （2，3）【解答】解：点（2，3）关于原点对称的点的坐标为（2，3）故答案是：（2，3）12（3分）一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡56张，则这个小组共有 8人【解答】解：设这小组有x人由题意得：x（x1）56，解得x18，x27（不合题意，舍
16、去）答：这个小组共有8人故答案为：813（3分）如图，将O的劣弧AB翻折，D为优弧AB上一点，AD交翻折后的弧AB于点C，若AOB80，则DCB的大小是 40【解答】解：作C点关于AB的对称点C，连接AC、BC，作AB所对的圆周角APB，如图，C点和C关于AB对称，ACBACB，ACB+DCB180，ACB+APB180，DCBP，P=12AOB=128040，DCB40故答案为：4014（3分）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数表达式y0.2x2+1.5x2，则最佳加工时间为3.75min【解答】解：根据题意：y
17、0.2x2+1.5x2，当x=-1.52(-0.2)=3.75时，y取得最大值，则最佳加工时间为3.75min故答案为：3.7515（3分）关于抛物线yax22x+1（a0），给出下列结论：当a0时，抛物线与直线y2x+2没有交点；若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间；若抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）围成的三角形区域内（包括边界），则a1其中正确结论的序号是 【解答】解：由y=2x+2y=ax2-2x+1，消去y得到，ax24x10，16+4a，a0，的值可能大于0，抛物线与直线y2x+2可能有交点，故错误抛物线与x轴有两个交点，44
18、a0，a1，抛物线经过（0，1），且x1时，ya10，抛物线与x轴一定有一个交点在（0，0）与（1，0）之间故正确，抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）围成的三角形区域内（包括边界），2-22a0且-1a+24a-44a0，解得，a1，故正确，故答案为：16（3分）如图，等腰ABC中，BAC120，ABAC，D是AB上一点，AD2，BD4，E是边BC上的动点，若点E绕点D逆时针旋转30的对应点是F，连CF，则CF的最小值是 33-2【解答】解：如图，将DB逆时针旋转30得到DM，连接BM，作射线MF，过点A作AQBC于Q，过点C作CHMF于H，设DM交BC于G，MF交BC于K，过
19、点G作GNAB于N，BAC120，ABACAD+BD2+46，AQBC，ABC30，AQ=12AB3，BQCQ=62-32=33，BC2BQ63，BDMEDF30，BDM+MDEMDE+EDF，即BDEMDF，DBDM，DEDF，DBEDMF（SAS），DBEDMF30，DMBDBM=180-BDM2=75，BKMCKH30，BDGDBG30，即点F在射线MF上移动，当且仅当CFMF时，CF的值最小，GNBD，BNDN2，设GNx（x0），则BG2x，BN2+GN2BG2，22+x2（2x）2，解得：x=233，BGDG=433，GM4-433=GK，BKBG+GK4，CKBCBK63-4，在
20、RtCKH中，CKH30，CH=12CK=12（63-4）33-2，CF的最小值为33-2；故答案为33-2三、解答题（共8小题，共72分）17（8分）已知关于x的一元二次方程x2+5xm0的一个根是2，求m的值及方程的另一个根【解答】解：设方程的另一个根为t，根据根与系数的关系得，2+t5，2tm，解得t7，m14，即m的值为14，方程的另一个根为718（8分）二次函数yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，对称轴为直线x1，图象交x轴于A（3，0）、B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），根据图象解答下列问题：（1）直接写出方程ax2+bx+c0的两个根；（2）直接写出不等式ax2+b
21、x+c0的解集；（3）直接写出不等式ax2+bx+c3的解集【解答】解：（1）二次函数yax2+bx+c（a0）的图象交x轴于A（3，0）、B（1，0）两点，ax2+bx+c0的两个根为x13、x21；（2）由图象可知，不等式ax2+bx+c0的解集是1x3；（3）点C（0，3），点C关于对称轴的对称点为：（2，3），不等式ax2+bx+c3的解集为x0或x219（8分）如图，某农户准备盖一所小型的矩形鸡场，其中一面靠墙，墙足够长，另外三面分别采用木栅栏和新型材料，两种材料一共购进20米，其中新型材料至少购进8米，若鸡场的面积为42平方米，求新型材料的长度？【解答】解：设木栅栏购进x米，则新型
22、材料购进（20x）米，依题意，得：12x（20x）42，整理，得：x220x+840，解得：x16，x214，新型材料至少购进8米，20x8，x12，x214（不合题意，舍去），答：新型材料的长度为6米20（8分）已知正方形ABCD，点E是CD的中点，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）（1）在图（1）中，分别画出另外三边的中点；（2）在图（2）中，连接AE，将AED绕着点A顺时针旋转90，画出旋转后的三角形【解答】解：（1）如图（1），F，G，H即为所求；（2）如图（2），ABM即为旋转后的三角形21（8分）如图，在半径为5的中，AB为O的直径，OD弦AC交O于D，垂足是H，BD交
23、AC于E，过点E作EFEB交O于F，且EFEB，连接OF，AF，BF（1）求证：OFEODE；（2）若EH1，求AF的长【解答】（1）证明：连接OE在OEF和OEB中，OE=OEEF=EBOF=OB，OEFOEB（SSS），OFEOBE，OBOD，OBEODE，OFEODE（2）AB是直径，AFB90，EFBE，BEF90，EFEB，EFBEFA45，OEFOEB，OEFOEB45，AFEOEF45，AFOE，OFEODE，FOHDEF90，ODAC，AOFAHD90，AOAE，四边形AEOF是平行四边形，OFAE5，AFOE，EH1，AHAEEH4，OH=AO2-AH2=52-42=3，OE
24、=OH2+EH2=32+12=10，AF=1022（10分）某公司电商平台，在2021年国庆长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）（x为正整数）的一次函数，如表仅列出了该商品的售价x，周销售量y，周销售利润W（元）的三组对应值数据 x407090y1809030W360045002100（1）该商品进价 20（元/件），y关于x的函数解析式是 y3x+300（不要求写出自变量的取值范围）；（2）在销售过程中要求售价不低于进价，售价x为多少时，周销售利润W最大，并求出此时的最大利润；（3）因该商品原料涨价，进价提高了m（元/件）（m0的
25、整数），该商品在今后的销售中，公司发现当售价为63元/件时，周销售利润最大，请直接写出m的值【解答】解：（1）由x40，y180，w3600可得商品进价为40360018020（元），设ykx+b，由题意有：40k+b=18070k+b=90，解得k=-3b=300，y关于x的函数解析式为y3x+300；故答案为：20，y3x+300；（2）由（1）可得W（3x+300）（x20）3x2+360x60003（x60）2+4800，30当x60时，W最大，最大值为4800，售价为60元时，周销售利润W最大，最大利润为4800元；（3）由题意W（3x+300）（x20m）3x2+（360+3m）x
26、6000300m，对称轴x60+m2，当售价为63元/件时，周销售利润最大，60+m2=63，解得：m6m的值为623（10分）如图，ABC为等边三角形，D为BC边上一点，连接AD（1）如图（1），将AD绕点A顺时针旋转60得到AE连接DE，BE，求证：ABEACD；（2）如图（2），将AD绕点A顺时针旋转120得到AE，连接CE交AB于F，猜想AF与BD存在的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图（3），以AC为斜边向AC边右侧作RtAMC，连接BM，N为BM的中点，连接DN若AB24，CD8，当DN取最小值时，请直接写出BDN的面积【解答】（1）证明：如图1中，ABC是等边三角形，BAAC，
27、EADBAC60，EABDAC，在ABE和ACD中，AE=ADEAB=DACAB=AC，ABEACD（SAS）；（2）解：如图2中，延长EA至H，使AHAE，连接DH，CH，ADAE，EAD120，AHAD，DAH60，ADH是等边三角形，AHDADH60，ABC是等边三角形，ACB60，ACBAHD，点A、D、C、H共圆，ACHADH60，ACHBAC60，AFCH，EAAH，EFCF，CH2AF，ABC，ADH都是等边三角形，同法可证BADCAH（SAS），BDCH，BD2AF；（3）解：如图3中，取AC的中点O，连接OB，取OB的中点J，连接JN，过点J作JKBC于点K，连接DJ，OMA
28、BC是等边三角形，OAOC，ABACBC24，OAOC12，BOAC，OB=AB2-AO2=242-122=123，BJOJ63，JBK30，JKBD，JK33，BK9，CD8，BDBCCD24816，BK9，DK7JD=(33)2+72=219，AMC90，OAOC，OM=12AC12，BNNM，BLJO，NJ=12OM6，DNDJJN219-6，当点N落在线段DJ上时，DN的值最小，此时SBDN=121633219（219-6）242-72381924（12分）已知抛物线yx2+bx+c（bc0）的顶点为D，与x轴交于A，B两点（A在B左边）（1）若该抛物线的顶点D坐标为（1，4），求其解
29、析式；（2）如图（1），已知抛物线的顶点D在直线l：yx+3上滑动，且与直线l交于另一点E，若ADE的面积为158，求抛物线顶点D的坐标；（3）如图（2），在（1）的条件下，P，Q为y轴上的两个关于原点对称的动点，射线BP，BQ分别与抛物线交于M，N两点，求MN与PQ满足的数量关系【解答】解：（1）抛物线顶点坐标为D（1，4），二次项系数a1，y（x1）2+4x2+2x+3，该抛物线的解析式为yx2+2x+3；（2）设点D、E的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则x1=b2，将抛物线与直线l解析式联立得：x+3x2+bx+c，整理得：x2（b+1）x+3c0，x1+x2b+1，x1x2
30、3c，x2=b2+1，b2（b2+1）3c，y1y2x1+3（x2+3）x2x1=b2+1-b2=1，设直线l与x轴的交点为G，则G（3，0），SADESADGSAEG=12AG（y1y2）=12AG，SADE=158，12AG=158，AG=154，A（-34，0），将A（-34，0）代入yx2+bx+c，得：-916-34b+c0，联立方程组，得-916-34b+c=0b2(b2+1)=3-c，解得：b1=32，b2=-132（舍去），b=32，D（34，94）；（3）如图2，设P（0，m），P，Q为y轴上的两个关于原点对称的动点，Q（0，m），PQ2m，由（1）知：yx2+2x+3，令y0，则x2+2x+30，解得：x13，x21，B（3，0），设直线BP的解析式为ykx+d，则：3k+d=0d=m，解得：k=-m3d=m，直线BP的解析式为y=-m3x+m，联立方程组，得：y=-m3x+my=-x2+2x+3，解得：x1=3y1=0（舍去），x2=m3-1y2=-m29+4m3，M（m3-1，-m29+4m3），同理可得：N（-m3-1，-m29-4m3），MN=(m3-1)-(-m3-1)2+(-m29+4m3)-(-m29-4m3)2=2173m，MNPQ=2173m2m=173第23页（共23页）
