1、高三数学第一轮总复习七：不等式高三数学第一轮总复习七：不等式不等式的性质及比较法证明不等式用综合法、分析法证明不等式算术平均数与几何平均数不等式的解法不等式的综合应用 要点疑点考点 课 前 热 身 能力思维方法 延伸拓展 误 解 分 析第1课时 不等式的性质及比较法证明不等式1.不等式的性质是证明不等式和解不等式的理论基础，通不等式的性质是证明不等式和解不等式的理论基础，通过本节复习，要求理解不等式的性质，会讨论有关不等式过本节复习，要求理解不等式的性质，会讨论有关不等式命题的充分性和必要性，正确判断命题的真假命题的充分性和必要性，正确判断命题的真假.不等式有如下不等式有如下8条性质：条性质：
2、1.ab ba.(反身性反身性)2.ab，bc=ac.(传递性传递性)3.ab a+cb+c.(平移性平移性)4.ab，c0=acbc；ab，c0=acbc.(伸缩性伸缩性)5.ab0=，nN，且，且n2.(乘方性乘方性)6.ab0=anb，nN，且，且n2.(开方性开方性)7.ab，cd=a+cb+d.(叠加性叠加性)8.ab0，cd0=acbd.(叠乘性叠乘性)nnba 返回返回2.掌握用比较法证明不等式的方法，熟悉它的变形过程掌握用比较法证明不等式的方法，熟悉它的变形过程.用用比较法证明不等式的步骤是：作差比较法证明不等式的步骤是：作差变形变形定号定号.其中其中的的“变形变形”可以变成平
3、方和，也可以变成因式的积或常数；可以变成平方和，也可以变成因式的积或常数；有关指数式的比较法通常用作商法，步骤是作商有关指数式的比较法通常用作商法，步骤是作商变变形形与与1比较大小比较大小.1.设设a0，-1b0，则则a，ab，ab2三者的大小关系为三者的大小关系为_.2.设设A=1+2x4，B=2x3+x2，xR且且x1，则，则A，B的大小关系为的大小关系为A_B.3.若若n0，用不等号连接式子，用不等号连接式子 _ 3-n24n课课 前前 热热 身身aab2ab4.若若0a1，则下列不等式中正确的是，则下列不等式中正确的是()(A)(1-a)(1/3)(1-a)(1/2)(B)log(1-
4、a)(1+a)0(C)(1-a)3(1+a)2 (D)(1-a)1+a1 返回返回5.已知三个不等式：已知三个不等式：ab0，-ca-db，bcad.以其以其中两个作条件，余下一个作结论，则可组成中两个作条件，余下一个作结论，则可组成_个正确的命个正确的命题题.A31.比较比较xn+1+yn+1和和xny+xyn(nN，x，yR+)的大小的大小.【解题回顾解题回顾】作差法的关键步骤是差式的变形，常利用因作差法的关键步骤是差式的变形，常利用因式分解、配方等方法，目的是使差式易于定号，一般四项式分解、配方等方法，目的是使差式易于定号，一般四项式的分解常用分组分解法式的分解常用分组分解法.2.设设a
5、0，b0，求证：，求证：2121212212baabba【解题回顾解题回顾】(1)用比较法证明不等式，步骤是：作差用比较法证明不等式，步骤是：作差(商商)变形变形判断符号判断符号(与与“1”比较比较)；常见的变形手段是通分、；常见的变形手段是通分、因式分解或配方等；常见的变形结果是常数、若干个因式的因式分解或配方等；常见的变形结果是常数、若干个因式的积或完全平方式等积或完全平方式等.应注意的是，商比法只适用于两个正数比应注意的是，商比法只适用于两个正数比较大小较大小.(2)证法证法2的最后一步中，也可用基本不等式来完成：的最后一步中，也可用基本不等式来完成：12abab-ababab-ba【解
6、题回顾解题回顾】在使用放缩技巧时，一定要注意方向，保持在使用放缩技巧时，一定要注意方向，保持一致一致.3.已知已知x0，y0，求证：，求证：xyyxyxyx41212返回返回【解题回顾解题回顾】用定义法证明函数的单调性，多用到比较法，用定义法证明函数的单调性，多用到比较法，特别是作差比较，要切实掌握比较法的推理过程，注意推理特别是作差比较，要切实掌握比较法的推理过程，注意推理的严密性的严密性.返回返回 4.设设0a1，根据函数的单调性定义，证明函数，根据函数的单调性定义，证明函数f(x)=logax+logxa在在 上是增函数上是增函数.a11，(1)(1)应变形到最佳形式再判断符号，否则既繁
7、琐又易出错应变形到最佳形式再判断符号，否则既繁琐又易出错.(2)(2)应熟练掌握对数的性质来判断对数的符号，所以对数性应熟练掌握对数的性质来判断对数的符号，所以对数性质的应用是解决本题的关键质的应用是解决本题的关键.返回返回 要点疑点考点 课 前 热 身 能力思维方法 延伸拓展 误 解 分 析第2课时 用综合法、分析法证明不等式2.综合法的难点在于从何处出发进行论证并不明确，因此我们常常用分析法寻找解题的思路，再用综合法表述.分析法是“执果索因”，综合法是“由因导果”.要注意用分析法证明不等式的表述格式.对于较复杂的不等式的证明，要注意几种方法的综合使用.1.不等式证明的分析法和综合法是从整体
8、上处理不等式的不同形式.分析法的实质是从欲证的不等式出发寻找使之成立的充分条件.综合法是把整个不等式看成一个整体，根据不等式的性质、基本不等式，经过变形、运算，导出欲证的不等式.返回22752xxxxa3.若 恒成立.则常数a的取值范围是_.1.当a1，0b1时，logab+logba的取值范围是_.课 前 热 身(-，-23a2.设 ，则函数 的最小值是_，此时x=_.21x128-xxy29254.设a、b、cR+，则三个数的值()(A)都大于2 (B)至少有一个不大于2 (C)都小于2 (D)至少有一个不小于2 accbba111，D5.设abc且a+b+c=0，求证：(1)b2-ac0
9、；(2)b2-ac3a.返回1.已知a，b，c都是正数，且ab，a3-b3=a2-b2，求证：1a+b 343434【解题回顾】(1)先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为待证的不等式，既是运用基本不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法.(2)注意条件中1的代换与使用.2.(1)设a，b，c都是正数，求证：(2)已知a、b、cR+，且a+b+c=1.求证：cbacabbcaabc6111cc-bb-aa-【解题回顾】利用|a|2a2(aR)是证有关绝对值问题的好方法，证一就是利用这一方法，证二采用的是有理化分子，证三、证四是将数量关系的问
10、题转化为图形的性质问题，充分地考察数学问题的几何背景，常可使问题得以简化.3.证明：若f(x)1+x2，ab，则|f(a)-f(b)|a-b|.【解题回顾】有趣的是，这个双边不等式，我们能够同时进行证明.返回4.已知ab0，求证：bb-aabbaab-a82822【解题回顾】原不等式从左边到右边的变化是消去a1、a2，因此设法产生a1+a2是变形的目标.5.设a1，a2R+，a1+a21，1，2R+，求证：21221221122114aaaa返回误解分析1.不等式中所含字母较多，分不清它们的关系是出错的主要原因.返回2.把握不住证题方向，会导致证题出现混乱.要点疑点考点 课 前 热 身 能力思
11、维方法 延伸拓展 误 解 分 析第3课时 算术平均数与几何平均数1.复习并掌握“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”的定理.了解它的变式：(1)a2+b22ab(a，bR)；(2)(a，bR+)；(3)(ab0)；(4)(a，bR).以上各式当且仅当ab时取等号，并注意各式中字母的取值要求.abba22baab22222baba2.理解四个“平均数”的大小关系；a，bR+，则 其中当且仅当ab时取等号.2222babaabbaab2返回3.在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，应把握三点：“一正、二定、三相等、四最值”.当条件不完全具备时，应创造条件.4
12、.已知两个正数x，y，求x+y与积xy的最值.(1)xy为定值p，那么当xy时，x+y有最小值 ；(2)x+y为定值s，那么当xy时，积xy有最大值 .p2241s1.“a0且b0”是“”成立的()(A)充分而非必要条件 (B)必要而非充分条件 (C)充要条件 (D)既非充分又非必要条件 2.甲、乙两车从A地沿同一路线到达B地，甲车一半时间的速度为a，另一半时间的速度为b；乙车用速度a行走了一半路程，用速度b行走了另一半路程，若ab，则两车到达B地的情况是()(A)甲车先到达B地 (B)乙车先到达B地 (C)同时到达 (D)不能判定 abba2课 前 热 身AA4.已知lgx+lgy1，的最小
13、值是_.yx253下列函数中，最小值为4的是()(A)(B)(C)(D)xxxy0sin4sin-xxeey 4103loglog3xxyxxxy4C2返回5.某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10公里处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站()(A)5公里 (B)4公里 (C)3公里 (D)2公里 C【解题回顾】三项重新组合成三组后利用基本不等式，是利用基本不等式证明不等式的一种常用技巧.若另加条件a，b，c不全相等，则等号不成立.1.设a，b，c都
14、是正数，求证：baaccbcba1112121212.(1)若正数x、y满足x+2y1.求 的最小值；(2)若x、yR+，且2x+8y-xy0.求x+y的最小值.yx11【解题回顾】第(1)题常有以下错误解法：错误的原因在两次运用平均不等式的时候取等号的条件矛盾.(第一次须x2y，第二次须xy).求条件极值的问题，基本思想是借助条件化二元函数为一元函数，代入法是最基本的方法，代换过程中应密切关注字母隐含的取值范围，也可用三角代换的方法.241211221xyyxxy，xyyx22213.已知正数a、b满足a+b1.(1)求ab的取值范围；(2)求 的最小值.abab1【解题回顾】函数f(x)x
15、+a/x(a0)是一个重要的函数，应了解它的变化.f(x)x+a/x(a0)在(0，a上是减函数，在a，+)上是增函数.在研究此函数的过程中，应先确定它的定义域，若xa/x成立，则可由极值定理求极值；若xa/x不成立，则应在定义域内研究f(x)的单调性.【解题回顾】用不等式解决有关实际应用问题，一般先要将实际问题数学化，建立所求问题的代数式，然后再据此确定是解不等式，还是用不等式知识求目标函数式的最值.返回4.如图，为处理含有某种杂质的矿水，要制造一底宽为2米的无盖长方形沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab
16、成反比.现有制箱材料60平方米，问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔的面积忽略不计).【解题回顾】本题应用了命题的等价转化思想，即“如果A是B成立的充要条件，那么B也是A成立的充要条件”.返回5.设a、b为正数，求证：不等式a+1b 成立的充要条件是：对于任意实数x1，有ax+x/(x-1)b.(2)不能把恒成立问题转化成最值问题，变形无方向、易错.(1)不能灵活使用充要条件的概念进行转化，造成证题混乱、易错.返回 要点疑点考点 课 前 热 身 能力思维方法 延伸拓展 误 解 分 析第5课时 不等式的解法1.掌握无理不等式的解法.解的过程注意两点：(1)保证
17、根式有意义；(2)在利用平方去掉根号时，不等式两边要为非负值.2.掌握绝对值不等式的解法.最简绝对值不等式分两类：(1)|f(x)|a(a0)等价于f(x)-a或f(x)a；(2)|f(x)|a(a0)等价于-af(x)a.3.掌握指数、对数不等式的基本解法基本型(axb，logaxb)，同底型(af(x)ag(x)、logaf(x)logag(x)，或利用换元法或通过函数的单调性将其转化为代数不等式.转化过程中，应充分关注函数定义域，保证变形的同解性.在转化为不等式组的解时，应注意区别“且”、“或”，涉及到最后几个不等式的解集是“交”还是“并”.返回1.方程 的解集是()(A)(-1，0)(
18、3，+)(B)(-，-1)(0，3)(C)(-1，03，+)(D)(-，-1)0，3 33-33-22-xxx-xxx课 前 热 身CC3.不等式 的解集为_01-aaxaxaxx212.不等式5-xx+1的解集是()(A)x|-4x1 (B)x|x-1 (C)x|x1 (D)x|-1x1 返回5.不等式lg(x2+2x+2)1的解集是_.4.不等式 的解集是_xx2-8-3312x|-2x4.x|-4x21.设3-xx-1，x2-(a+1)x+a0的解集为A、B.(1)若AB，求a的取值范围；(2)若AB，求a的取值范围；(3)若AB为仅含一个元素的集合，求a的值.【解题回顾】此题所用的等价
19、转化思想在解不等式中常常用到，如将无理不等式转化为等价的有理不等式(组)，是这种数学思想的体现.解二利用图形解决问题是数形结合的思想，即作出相应函数图象，将式子之间的不等关系转化为图形之间的关系，使问题简化.解一则是运用了分类讨论思想.这三种数学思想以及函数与方程思想均是高考常考内容.2.设a0，解不等式a(a-x)a-2x.变题 设aR，解不等式a(a-x)a-2x.3.已知a0，不等式|x-4|+|x-3|a在实数集R上的解集不是空集，求a的取值范围.【解题回顾】此题所用的构造函数及数形结合的方法，是行之有效的常用方法.变题1 若不等式|x-4|+|x-3|a对于一切实数x恒成立，求a的取
20、值范围.变题2 若不等式|x-4|-|x-3|a的解集在R上不是空集求a的取值范围.变题3 不等式|x-4|-|x-3|a在R上恒成立，求a的取值范围.【解题回顾】指数、对数不等式的常规解法中主要体现等价转化思想.第(1)题化为同底型，2f(x)2g(x)；第(2)题换元化为二次不等式；第(3)题分解因式；第(4)题换底化为二次不等式或分式不等式，解的过程中注意字母系数a的取值对解的影响.返回4.解下列不等式：10loglog4222-230823422141321log2-log3131aaaxaaxax-xxxxxxx，)()()()(为正常数为正常数返回【解题回顾】本题亦为含有参数的不等
21、式，但不是常见的就参数的取值讨论不等式的解，而是就不等式成立这一结论，去研究参数的范围.两者各尽其妙，不可偏废.此外，通过本题，可培养学生研究问题的意识、方法与习惯，应予关注.5.一位同学写了一个不等式：(1)他发现当c1、2、3时不等式都成立，试问：不等式是否对任意的正数c都成立?为什么?(2)对于已知的正数c，这位同学还发现，把不等式右边的“”改成某些值，如-c，0等，不等式总是成立的，试求出所有这些值的集合M.R1122xcccxcxcc1(1)直接作差，造成运算量较大，容易出现错误.(2)在运用基本不等式时，不考虑等号是否取得.即不讨论c的取值范围，致使结果不全.返回 要点疑点考点 课
22、 前 热 身 能力思维方法 延伸拓展 误 解 分 析第6课时 不等式的综合应用1.1.近几年的高考试题中，不等式的应用已渗透到函数、三角、近几年的高考试题中，不等式的应用已渗透到函数、三角、数列、解析几何、立体几何等内容中，涉及的深度、范围也在数列、解析几何、立体几何等内容中，涉及的深度、范围也在提高和增大，体现了不等式内容的重要性、思想方法的独特性提高和增大，体现了不等式内容的重要性、思想方法的独特性.既有一般的解不等式既有一般的解不等式(组组)和证明不等式的题，也有将其作为数和证明不等式的题，也有将其作为数学工具应用的试题学工具应用的试题.2.本课时的重点是通过不等式应用的复习，提高综合运
23、用各种本课时的重点是通过不等式应用的复习，提高综合运用各种数学知识的能力，以及通过建立不等式模型解应用题数学知识的能力，以及通过建立不等式模型解应用题,提高分析提高分析问题和解决问题的能力问题和解决问题的能力.不等式的应用是不等式的重点内容，它在中学数学有着广泛不等式的应用是不等式的重点内容，它在中学数学有着广泛的应用，主要表现在：的应用，主要表现在：(1)求函数的定义域、值域；求函数的定义域、值域；(2)求函数的最值；求函数的最值；(3)讨论函数的单调性；讨论函数的单调性；(4)研究方程的实根分布；研究方程的实根分布；(5)求参数的取值范围；求参数的取值范围；(6)解决与不等式有关的应用题解
24、决与不等式有关的应用题.3.用题中有一类是寻找最优化结果的，通常是把问题转化为不用题中有一类是寻找最优化结果的，通常是把问题转化为不等式表示的模型，再求出极值等式表示的模型，再求出极值.返回返回2.数数yx2+1-x2的值域是的值域是()(A)12，1 (B)1，54 (C)1，1+234 (D)32，1 课课 前前 热热 身身1.果函数果函数ylog(1/3)(x2-2ax+a+2)的单调递增区间是的单调递增区间是(-，a，那，那么实数么实数a的取值范围是的取值范围是_.-1a2B3.若关于若关于x的方程的方程9x+(4+a)3x+40有解，则实数有解，则实数a的取值范围的取值范围是是()(
25、A)(-，-80，+)(B)(-，-4)(C)-8，4)(D)(-，-8 D4.设设a，b，cR，ab2且且ca2+b2恒成立，则恒成立，则c的最大值为的最大值为_.返回返回45.不等式不等式ax2-bx+c0的解集是的解集是(-1/2，2)，对于，对于a、b、c有以下有以下结论：结论：a0；b0；c0；a+b+c0；a-b+c0.其中正确结论的序号是其中正确结论的序号是_、【解题回顾解题回顾】本题采取分离变量，将问题转化为求函数值域的本题采取分离变量，将问题转化为求函数值域的问题问题.若转化为一元二次方程根的分布问题求解，则较繁若转化为一元二次方程根的分布问题求解，则较繁.1.已知关于已知关
26、于x的方程的方程loga(x-3)-1+loga(x+2)+loga(x-1)有实根，求有实根，求实数实数a的取值范围的取值范围.2.已知等比数列已知等比数列an的首项的首项a10，公比，公比q-1，且，且q1，前，前n项项和为和为Sn；在数列；在数列bn中，中，bnan+1-kan+2，前，前n项和为项和为Tn.(1)求证：求证：Sn0；(2)证明若证明若TnkSn对一切正整数对一切正整数n成立，则成立，则k-1/2.【解题回顾解题回顾】(1)等比数列的前等比数列的前n项求和公式的运用时注意公比项求和公式的运用时注意公比q的讨论的讨论.(2)第第2小题是从小题是从Tn中变形出中变形出Sn，利
27、用，利用(1)中中Sn0可简化运算，再可简化运算，再转化为求函数的最值问题转化为求函数的最值问题.3.若抛物线若抛物线c：yax2-1上总存在关于直线上总存在关于直线l：x+y0成轴对称的成轴对称的两点，试求实数两点，试求实数a的取值范围的取值范围.【解题回顾解题回顾】上面的解法是由判别式导出上面的解法是由判别式导出a的不等式的，本的不等式的，本题还可以由均值不等式或由点与曲线的位置关系导出题还可以由均值不等式或由点与曲线的位置关系导出a的不的不等式等式.【解题回顾解题回顾】(1)本小题是利用本小题是利用x+1/x与与x2+1/x2，x4+1/x4之间的之间的关系用配凑法求得关系用配凑法求得.
28、(2)通过换元，利用一元二次方程的实根分布知识求解通过换元，利用一元二次方程的实根分布知识求解.(3)把恒成立问题转化为求函数的最值，本题利用函数的单调把恒成立问题转化为求函数的最值，本题利用函数的单调性求最大值性求最大值.4.设设xlogst+logts，ylogs4t+logt4s+m(logs2t+logt2s)，其中，其中，s1，t1，mR.(1)将将y表示成表示成x的函数的函数yf(x)，并求，并求f(x)的定义域；的定义域；(2)若关于若关于x的方程的方程f(x)0，有且仅有一个实数根，求，有且仅有一个实数根，求m的取值的取值范围；范围；(3)若若f(x)0恒成立，求恒成立，求m的
29、取值范围的取值范围.返回返回【解题回顾解题回顾】本题是函数与不等式的综合题，对于本题是函数与不等式的综合题，对于(3)是已知是已知两参数两参数a、x的范围，求另一参数的范围，求另一参数m的范围的范围.此类题的做法是先此类题的做法是先消去一参消去一参x，后求，后求m范围范围.返回返回5.已知已知f(x)是定义在是定义在-1，1上的奇函数，且上的奇函数，且 f(1)1，若，若a，b-1，1，a+b0有有(1)判断函数判断函数f(x)在在-1，1上是增函数，还是减函数，并证明你上是增函数，还是减函数，并证明你的结论；的结论；(2)解不等式解不等式(3)若若f(x)m2-2am+1，对所有，对所有x-1，1，a-1，1恒成立，恒成立，求实数求实数m的取值范围的取值范围.0babfaf1121-xfxf 不等式问题大多需要不等式问题大多需要“等价转化等价转化”，而能否确保转化，而能否确保转化“等等价价”是解题成败的关键是解题成败的关键.返回返回
