1、1.4.1 1.4.1 充分条件与必要条件充分条件与必要条件 逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具，学习一些常用逻辑用语，可以使我们正确理解数学概念、合理论证数学结论、准确表达数学内容.逻辑用语也是日常交往、学习和工作中必不可少的工具，正确使用逻辑用语是每一位公民应具备的基本素养.本章我们将通过常用逻辑用语的学习，理解使用逻辑用语表达数学对象、进行数学推理的方法，体会逻辑用语在表述数学内容和论证数学结论中的作用，学会使用集合和逻辑语言表达和交流数学问题，提升交流的逻辑性和准确性.命题：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.命题的真假：判断为真
2、的语句是真命题，判断为假的语句是假命题.命题的形式：许多命题可以写成“若p则q”，“如果p，那么q”等形式，其中p称为命题的条件，q称为命题的结论.命题的概念练习:下列语句中，命题的个数为（）（1）中国航天人真伟大！（2）空集是任何集合的真子集；（3）（4）把门关上；（5）自然数是偶数；（6）垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？（7）在2030年之前，人类能登上火星.;023x(1)是感叹句，不能判断真假，不是命题(2)可以判断真假，是命题(3)其中含有未知数x不能判断真假，不是命题(4)是祈使句，不能判断真假，不是命题(5)可以判断真假，是命题(6)是疑问句，不能判断真假，不是命题(7)虽然
3、目前还不能确定真假，但随着时间的推移，总能判断他的真假，故也是命题3个命题的真假是确定的，一个命题要么为真，要么为假，不能无法判断思考下列“若p，则q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？（1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；（2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；（3）（4）若平面内两条直线a和b均垂直于直线l，则a/b.；则若1,0342xxx在命题（1）（4）中由条件p通过推理可以得出结论q，所以它们是真命题；在命题（2）（3）中由条件p不能得出结论q，所以它们是假命题。概念：一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时我们就说由
4、p可以推出q，记作 ，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件；如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，记作 .此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件.qp qp/必要条件：如果q不成立，则p一定不成立，所以q对于p成立而言是必要的，请举例说明必要条件的含义.上述命题（1）（4）中的p是q的充分条件，q是p的必要条件，而命题（2）（3）中的p不是q的充分条件，q不是p的必要条件.注意：不能将“若p，则q”与“”混为一谈，只有若p，则q”为真命题时，才有“”.qp qp 例1 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？（1）若四边形的两组对角分别
5、相等，则这个四边形是平行四边形；（2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似；（3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；（4）（5）若a=b，则ac=bc；（6）若x，y为无理数，则xy为无理数.；则若1,12xx解：（1）这是一条平行四边形的判定定理，所以p是q的充分条件；（2）这是一条相似三角形的判定定理，所以p是q的充分条件；（3）这是一条菱形的性质定理，所以p是q的充分条件；（4）由于 ，所以 p不是q的充分条件；（5）由等式的性质知，所以p是q的充分条件；（6）为无理数，但 为有理数，所以p不是q的充分条件.qp qp qp，但）（11112/qp qp 2222举反
6、例是判断一个命题是假命题的重要方法.思考：例1中命题（1）给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件，即“四边形的两组对角分别相等”.这样的充分条件唯一吗？如果不唯一，那么你能再给出几个不同的充分条件吗？我们说p是q的充分条件，是指由条件p可以推出结论q，但这并不意味着只能由这个条件才能推出结论q.一般来说对给定结论q，使得q成立的条件p是不唯一的.例如，我们知道，下列命题均为真命题：（1）若四边形的两组对边分别相等，则这个四边形是平行四边形；（2）若四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形；（3）若四边形的两条对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形.所以,”四边形的两组对边分别
7、相等”，”四边形的一组对边平行且相等”，”四边形的两条对角线互相平分”，都是”四边形是平行四边形”的充分条件.不唯一，如四边形的两组对边分别平行；四边形的两条对角线互相平分.事实上，例1中命题（1）及上述命题均是平行四边形的判定定理.所以，平行四边形的每一条判定定理都给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件，即这个条件能充分保证四边形是平行四边形.类似地，平行线的每一条判定定理都给出了“两直线平行”的一个充分条件，例如，“内错角相等”这个条件就充分保证了“两条直线平行”.一般地，数学中的每一个判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件.例2 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q
8、是p的必要条件？（1）若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等；（2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例；（3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形；（4）（5）若ac=bc，则a=b；（6）若xy为无理数，则x，y为无理数.解：（1）这是平行四边形的一条性质定理，所以q是p的必要条件；（2）这是三角形相似的一条性质定理，所以q是p的必要条件；（3）如图1.4-1，四边形ABCD的对角线互相垂直，但它不是菱形，所以q不是p的必要条件；（4）显然 ，所以q是p的必要条件；（5）由于（-1）0=10，但-11，所以q不是p的必要条件；（6）由于 为无理数，但1，不全是
9、无理数，所以q不是p的必要条件.qp qp qp qp qp；则若1,12xx/2212/qp 图1.4-1 一般地，要判断“若p，则q”形式的命题中q是否为p的必要条件，只需判断是否有 “”，即“若p，则q”是否为真命题.思考:例2中命题（1）给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件，即“这个四边形的两组对角分别相等”.这样的必要条件是唯一的吗？如果不唯一，你能给出“四边形是平行四边形”的几个其他必要条件吗？qp 我们说q是p的必要条件，是指以p为条件可以推出结论q，但这并不意味着由条件p只能推出结论q.一般来说，给定条件p，由p可以推出的结论q是不唯一的.例如，下列命题都真命题：若四边形
10、是平行四边形，则这个四边形的两组对边分别相等；若四边形是平行四边形，则这个四边形的一组对边平行且相等；若四边形是平行四边形，则这个四边形的两条对角线互相平分.不唯一，如四边形的两组对边分别相等；四边形的两组对比分别平行.这表明，“四边形的两组对边分别相等”，“四边形的一组对边平行且相等”，“四边形的两条对角线互相平分”都是“四边形是平行四边形”的必要条件.我们知道,例2中命题(1)及上述命题均为平行四边形的性质定理.所以，平行四边形的每条性质定理都给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件.类似地，平行线的每条性质定理都给出了“两直线平行”的一个必要条件，例如“同位角相等”是“两直线平行”的必
11、要条件，也就是说，如果同位角不相等，那么就不可能有“两直线平行”.一般地，数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件.练习1.下列若p，则q形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件?（1）若平面内点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB；（2）若两个三角形的两边及一边所对的角分别相等，则这两个三角形全等；（3）若两个三角形相似，则这两个三角形的面积比等于周长比的平方.2.下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？（1）若直线l与圆O有且仅有一个交点，则l为圆O的一条切线；（2）若 是无理数，则 也是无理数.x2x（1）是（2）不是（3）是（1）l为圆O的一条切线是直线l与圆O有且仅有一个交点的必要条件；（2）是无理数不是 是无理数的必要条件；2xx练习3.如图，直线a与b被直线l所截，分别得到了1，2，3和4.请根据这些信息写出几个“a/b”的充分条件和必要条件.（1）充分条件：4=1，1=2，1+3=180均为a/b的充分条件（2）必要条件：4=1，1=2，1+3=180也是a/b的必要条件小结作业习题1.4 第1题、第2题
