1、1.4.2 充要条件充要条件人 教 A 版 必 修 第 一 册复习回顾 充分充分充分充分必要必要必要必要二、集合的思想：二、集合的思想：小范围小范围 大范围大范围逆命题：逆命题：将命题将命题“若若p，则，则q”中的条件中的条件p和结和结论论q互换，就得到一个新的命题形式的命题，互换，就得到一个新的命题形式的命题，“若若q，则，则p”，称这个命题为原命题的逆命题，称这个命题为原命题的逆命题.在两个命题中，如果第一个命题的条件在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个的结论是第是第二个命题的结论，而第一个的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做二个命题的条件，那么这两个命题
2、叫做互逆互逆命题命题.如果其中一个命题叫做如果其中一个命题叫做原命题原命题，那么另，那么另一个命题就叫做它的一个命题就叫做它的逆命题逆命题.思考：下列下列“若若p p，则，则q q”形式的命题中，哪些命题形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？与它们的逆命题都是真命题？（1）若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；（2）若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；（3）若一元二次方程 有两个不相等的实数根，则ac0，q:x0，y0；(4)p:x=1是一元二次方程是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根，的一个根，q:a+b+c=0(a0).(2)因为因为“若
3、若p，则，则q”是相似三角形的性质定理，是相似三角形的性质定理，“若若q，则，则p”是相似三角形的判定定理，所以它们是相似三角形的判定定理，所以它们均为真命题均为真命题,即即p q,所以所以p是是q充要条件充要条件.(4)因为因为“若若p，则，则q”与与“若若q，则，则p”均为真命题均为真命题,即即p q,所以所以p是是q充要条件充要条件.形如“若p，则q”的命题中存在以下四种关系：条件条件p与结论与结论q的关系的关系结论结论pq，但，但q pp是是q的充分不必要条件的充分不必要条件qp，但，但pqp是是q的必要不充分条件的必要不充分条件pq且且qp，即，即pqp与与q互为充要条件互为充要条件
4、pq，且且qpp是是q的既不充分也不必要条件的既不充分也不必要条件练习(1)(1)p p:四边形是正方形，四边形是正方形，q q:四边形的对角线互相垂直平分；四边形的对角线互相垂直平分；例例1(3)(4)1(3)(4)小题中，小题中，p是是q的什么条件？的什么条件？例例2 2 下列各组语句中，下列各组语句中，p p是是q q的什么条件？的什么条件？（1 1）p p：a a0 0，b b0 0，q q：a ab b0 0；（2 2）p p：四边形的四条边相等，：四边形的四条边相等，q q：四边形是正方形；：四边形是正方形；（3 3）p p：|x|x|1 1，q q：1 1x x1 1；（4 4）
5、p p：a ab b，q q：a a2 2b b2 2.充分不必要条件充分不必要条件必要不充分条件必要不充分条件充要条件充要条件既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件1、直接用定义判断、直接用定义判断判断充分条件、必要条件的方法判断充分条件、必要条件的方法|Ax xBx x设：满足条件p满足条件q设：满足条件p满足条件qABBA4）若且，既A=B，则称p是q的充要条件4）若且，既A=B，则称p是q的充要条件BA1)AB2)AB3 )A =B4 )ABBA1）若且，则称p是q的充分不必要条件1）若且，则称p是q的充分不必要条件ABBA2）若且，则称p是q的必要不充分条件2）若且，则称p是q的必
6、要不充分条件2、利用集合的关系判定、利用集合的关系判定3 3）若）若 且且 ，则称，则称p p是是q q的既不充分也不必要条件的既不充分也不必要条件A B B A 练习1 对任意实数a，b，c，下列命题：“ab”是“acbc”的充分条件；“a1是无理数”是“a是无理数”的必要条件；“a5”是“a0”是“x0”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件A例例3 x是实数是实数,则则x2的一个必要不充分条件是（的一个必要不充分条件是（）A x1 B x1 C x3 D x3 A例例4 已知已知p是是r的充分不必要条件，的充分不必要条件，s是是r的必要条件，的
7、必要条件，q是是s的必要条件，那么的必要条件，那么p是是q成立的（成立的（）充分非必要条件必要非充分条件充分非必要条件必要非充分条件充要条件既非充分又非必要条件充要条件既非充分又非必要条件例5 充要条件的应用 设设Ax|1x3，Bx|1xm1，xR，若，若xB成成立的一个充分不必要条件是立的一个充分不必要条件是xA，则实数，则实数m的取值范围是的取值范围是_m2设设p：x1，q：xa，若若p是是q的充分不必要条件，的充分不必要条件，求实数求实数a的取值范围的取值范围.练习4解设设Ax|x1，Bx|xa.因为因为p是是q的充分不必要条件，的充分不必要条件，所以所以A B，a1.例6 已知：O的半
8、径为r，圆心O到直线l的距离为d，求证:d=r是直线l与O相切的充要条件.证明：设p：d=r，q：直线l与O相切.（1）充分性（）：作OPl于点P，则OP=d.若d=r，则点p在O上.在直线l上任取一点Q（异于点P），连接OQ.在RtOPQ中，OQOP=r，所以，除点P外，直线l上的点都在O的外部，即直线l与O仅有一个公共点P.所以直线l与O相切.qp（2）必要性（）：若直线l与O相切，不妨设切点为P，则OPl.因此d=OP=r.pq 由（1）（2）可得d=r是直线l与O相切的充要条件.练习5 求证：关于x的方程ax2bxc0有一个根为1的充要条件是abc0.证明：（1）充分性（）：方程ax2
9、bxc0有一个根为1 abc0.(2)必要性()：abc0，cab，代入方程，可得(x1)(axab)0.故方程ax2bxc0有一个根为1.综上（1）（2），方程ax2bxc0有一个根为1的充要条件是abc0.qp pq 充分条件与必要条件的几种判断方法：1、定义法：定义法是判断充要条件最根本，最适用的方法，步骤如下：即判断“若p，则q”及“若q，则p”的真假；知识小结2、集合法：若命题p对应集合A，命题q对应集合B，则从逻辑观点看从集合观点看p是q的充分条件（）p是q的必要条件（）P是q的充分不必要条件（pq，但，但q p）A Bp是q的必要不充分条件（qp，但，但pq）B Ap是q的充要条件（）A=BBABA qp pq qp
