1、人教人教A A版版 必修必修 第一册第一册第第二二章章 一元二次函数、方程和不等式一元二次函数、方程和不等式1.1.掌握基本不等式的形式以及推导过程，会用基本掌握基本不等式的形式以及推导过程，会用基本 不等式解决简单问题。不等式解决简单问题。2.2.经历基本不等式的推导与证明过程，提升逻辑推经历基本不等式的推导与证明过程，提升逻辑推 理能力。理能力。3.3.在猜想论证的过程中，体会数学的严谨性。在猜想论证的过程中，体会数学的严谨性。1.1.数学抽象：数学抽象：基本不等式的形式以及推导过程；基本不等式的形式以及推导过程；2.2.逻辑推理：逻辑推理：基本不等式的证明基本不等式的证明；3.3.数学运
2、算：数学运算：利用基本不等式求最值；利用基本不等式求最值；4.4.数据分析数据分析：利用基本不等式解决实际问题；利用基本不等式解决实际问题；5.5.数学建模：数学建模：利用函数的思想和基本不等式解决实利用函数的思想和基本不等式解决实 际问题，提升学生的逻辑推理能力际问题，提升学生的逻辑推理能力。，当且仅当时，当且仅当时，等号成立等号成立.这个不等式，这个不等式，它的左边是两个数的平方的和，右边它的左边是两个数的平方的和，右边是这两个数的乘积的是这两个数的乘积的2 2倍倍Rba,ba abba222+重要不等式重要不等式问题问题1 1 特别地，如果特别地，如果 ,我们用我们用 分别代替分别代替上
3、式中的上式中的 可以得到怎样的式子？可以得到怎样的式子？解：解：,.，ba0,0baba,),0,0(时取等当且仅当baba 结论：结论：当且仅当当且仅当 时，等号成立时，等号成立.通常称不等式为通常称不等式为基本不等式基本不等式.其中，其中，叫做正数叫做正数 的的 算术平均数算术平均数，叫做正数的叫做正数的几何平均数几何平均数.基本不等式表明：基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数2baab+，0,0baba 2baba,abba,基本不等式基本不等式问题问题2 2能否直接利用不等式的性质证明出基本不等式呢？能否直接利用不等式的性
4、质证明出基本不等式呢？当然，我们可以用作差比较法证明基本不等式当然，我们可以用作差比较法证明基本不等式.2baab+，0,0ba 要证要证 ，只要证只要证 .要证，只要证要证，只要证 .要证，只要证要证，只要证 .要证，只要证要证，只要证 .显然，成立，当且仅当显然，成立，当且仅当 时，中的等号成立时，中的等号成立只要把上述过程倒过来，就能直接推出基本不等式了只要把上述过程倒过来，就能直接推出基本不等式了.ba 问题问题2 22baab+，0,0ba分分 析析 法：法：从要证明的结论出从要证明的结论出发，逐步寻求使发，逐步寻求使它它成立的充分条件成立的充分条件分分 析析 法法 分析法是一种分析
5、法是一种“执果索因执果索因”的证明方法，即从要证明的结论出发，的证明方法，即从要证明的结论出发，逐步寻求使逐步寻求使它它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理）为止一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理）为止.分析法的证明格式分析法的证明格式 由于分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条由于分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，所以分析法在书写过程中必须有相应的文字说明：件，所以分析法在书写过程中必须有相应的文字说明：一般每一步的推理都用一般每一步的
6、推理都用“要证要证”“”“只要证只要证”的格式，当推导的格式，当推导到一个明显成立的条件之后，指出显然到一个明显成立的条件之后，指出显然成立。成立。同学们同学们,经过从前面基本不等式的代数解释经过从前面基本不等式的代数解释,你是否能联想到从几何角度你是否能联想到从几何角度基本不等式也有背景对应呢基本不等式也有背景对应呢？下面我们一起来探究一下下面我们一起来探究一下.问题问题3 3在图在图2.2-12.2-1中，中，AB是圆的直径，点是圆的直径，点C是是AB上一点上一点AC=a,BC=b.过点过点C做垂直于做垂直于AB的弦的弦DE，连接，连接AD,BD你能你能在这个图中找到和分别是哪条线段的长吗
7、？你能在这个图中找到和分别是哪条线段的长吗？你能从这里得出基本不等式的几何解释吗？从这里得出基本不等式的几何解释吗？2baab 如图如图2.2-12.2-1，可证，可证 即即可得可得 ,因而因而 .由于由于 小于或等于圆的半小于或等于圆的半 径，用不等式表示为径，用不等式表示为 显然，当且仅当点显然，当且仅当点C与圆心重合，即当与圆心重合，即当 时，上述不等式的等号成立时，上述不等式的等号成立.,DCBACDabCD abCD 2CD2baab+ba 问题问题3 3 解：由图可知，圆的半径长为；那么哪条线解：由图可知，圆的半径长为；那么哪条线段的长为呢？段的长为呢？2ba ab适用范围适用范围
8、文字叙述文字叙述“=”成立条件成立条件222abab2ababa=ba=b两个正数的算术平均数不两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数小于它们的几何平均数两数的平方和不两数的平方和不小于它们积的小于它们积的2 2倍倍 a,bRa0,b0 例例1 1 已知已知 ，求的最小值，求的最小值 分析：分析：求求 的最小值，就是要求一个的最小值，就是要求一个 使使 都有都有 观察观察 ,发现发现 联系基本不等式，可以利用正联系基本不等式，可以利用正数数 的算术平均数与几何平均数的关系得到的最的算术平均数与几何平均数的关系得到的最小值是小值是.xx1和.11xxxx1和xx1xx1+0 x,0 x),1
9、(000 xxy.10yxx+xx1 例例1 1 已知已知 解：因为解：因为 所以所以 .当且仅当当且仅当 ,即即 ，等号成立等号成立.因此所求最小值为因此所求最小值为2.2.的最小值求xxx1,0,0 x2121xxxxxx112=x1=x思考：思考：当当 时，时，成立吗？成立吗？这时能说这时能说 是是 （）的的最小值吗最小值吗.10yxx+20y0yxx1,0 x例例2 2 已知已知x,y都是正数，求证：都是正数，求证：（）如果积（）如果积xy 等于定值等于定值P，那么当，那么当x=y时，和时，和x+y有最小有最小值值 ；证明：证明：因为因为x,y 都是正数，所以都是正数，所以 所以所以
10、，当且仅当当且仅当x=y时，上式等号成立时，上式等号成立 于是，当于是，当x=y时，和时，和x+y有最小值有最小值 ；P2xyyx2+Pyx2+P2简记简记“积定和最小积定和最小”.例例2 2 已知已知x,y都是正数，求证：都是正数，求证：（）如果和（）如果和x+y等于定值等于定值S，那么当，那么当x=y时，积时，积xy有最大值有最大值 .证明：证明：当和当和 x+y 等于定值等于定值S时，时，所以，所以 当且仅当当且仅当x=y时，上式等号成立时，上式等号成立 当当x=y时，积时，积 xy 有最大值有最大值241S2Sxy241Sxy241S简记简记“和定积最大和定积最大”.1 1基本不等式就
11、是基本不等式就是“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平。两个正数的算术平均数不小于它们的几何平。均数均数”，即对于，即对于 ,都有都有 当且仅当当且仅当 时时 等号成立等号成立2 2用分析法利用不等式的性质证明基本不等式；并且在圆中利用用分析法利用不等式的性质证明基本不等式；并且在圆中利用 已知线段的大小关系记住基本不等式的几何特征已知线段的大小关系记住基本不等式的几何特征3 3利用基本不等式求代数式的最值时，首先明确代数式是否能转利用基本不等式求代数式的最值时，首先明确代数式是否能转 化为两个正数的和或积的形式，它们的和或者积是否是一个定化为两个正数的和或积的形式，它们的和或者积是否是一个
12、定 值，不等式中的等号是否能取到，通俗的说就是值，不等式中的等号是否能取到，通俗的说就是“一正、二定、一正、二定、三相等三相等”0,0baba.2baab+基本不等式的拓展基本不等式的拓展基本不等式的推广基本不等式的推广三元不等式：三元不等式：n元基本不等式：元基本不等式：解：解：的最小值为定值时，求和当积常用变形：baababba2解解：819(81)218()2(222的最大值为故时取等）当且仅当abbabaabbaab的最大值为定值时，可以求积当和常用变形：abbabaab2)2(1210,()xf xxx=+例、（）已知求函数的最小值.22)1()(2)()(1)(:时有最小值即当且仅
13、当解1xx1xx1xxxxxxf有最值，并求其最值。为何值时，函数当函数）已知、（例xxxyx,31,3225331)3(233-x1)3-x(31y3xxxxx。最小值为时，函数有最小值，即当且仅当54,313xxx解：解：的最大值。求函数）若、（例)21(,21032xxyxy=x(1-2x)=2x(1-2x)12 22x+(1-2x)21218=.当且仅当当且仅当 时时,取取“=”号号.2x=(1-2x),即即 x=1430,4(32)2xyxx=-练习：1.设求函数的最大值。）时取等，（即当且仅当解：2304323229)2232(2)23(220232302xxxxxxxyxx-22
14、1()22f xxx=+2.函数能否用基本不等式求最小值？解解：基本不等式求最小值。能的，故此函数不能用时取等，而这是不可即当且仅当由基本不等式知12212221222122222222xxxxxxx利用基本不等式求最值的条件：利用基本不等式求最值的条件：一正、二定、三相等。一正、二定、三相等。达标检测达标检测1 1、重要不等式与基本不等式的内容：、重要不等式与基本不等式的内容：时取等），当且仅当、baRbaabba(222时取等）当且仅当babaabba,0,0(22 2、基本不等式的应用条件：、基本不等式的应用条件：一正、二定、三相等一正、二定、三相等3 3、基本不等式的应用：、基本不等式的应用：求最值求最值课堂小结课堂小结当堂练习当堂练习
