1、 3.1.1 3.1.1 函数的概念函数的概念 问题情境：问题情境：1.1.汽车以汽车以6060千米千米/时的速度匀速行驶，行驶路程时的速度匀速行驶，行驶路程y(y(千米千米)与行驶时间与行驶时间x(x(时时)之间的关系之间的关系.2.2.正方形的面积正方形的面积y y（cmcm2 2）与它的边长）与它的边长x(cm)x(cm)之间的关系。之间的关系。3.3.长方形的面积为长方形的面积为1 1（cmcm2 2），它的长），它的长y(cm)y(cm)与宽与宽x x（cmcm）之间的关系之间的关系。y=x2(x0)01xxyy=60 x(x 0)它们属于何种它们属于何种类型的函数？类型的函数？谁能
2、回忆起函数的概念吗谁能回忆起函数的概念吗y=60 xy=x2xy1函数及其表示：函数及其表示：已学过：正比例函数，反比例函数，一次函数，已学过：正比例函数，反比例函数，一次函数，二次函数等具体的函数二次函数等具体的函数.初中函数的概念：假设有两个变量初中函数的概念：假设有两个变量x x与与y y，如果，如果对于对于x x的的每一个值每一个值，y y都有都有唯一唯一的值与它对应，的值与它对应，那么就说那么就说y y是是x x的的函数函数，x x叫做叫做自变量，自变量，y y叫做叫做函函数值（因变量）数值（因变量）.一枚炮弹发射后，经过一枚炮弹发射后，经过26s26s落到地面击中目标落到地面击中目
3、标.炮弹的射高炮弹的射高为为845m845m，且炮弹距地面的高度，且炮弹距地面的高度h(h(单位单位:m):m)随时间随时间(单位单位:t):t)变化的规律是变化的规律是 h=130th=130t5t5t2 2 (*)观察探索：观察探索：1.1.炮弹的射高与时间的变化关系问题炮弹的射高与时间的变化关系问题:这里，炮弹飞行时间这里，炮弹飞行时间t t的变化范的变化范围是数集围是数集A=t|0t26,A=t|0t26,炮弹炮弹距地面的高度距地面的高度h h的变化范围是数的变化范围是数集集B=h|0h845.B=h|0h845.从问题的从问题的实际意义可知，对于数集实际意义可知，对于数集A A中的中
4、的任意一个时间任意一个时间t t，按照对应关系，按照对应关系(*)，在数集，在数集B B中都有中都有唯一唯一的高度的高度h h和它对应。和它对应。2.2.近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题。下图显示了南极上空臭氧层空洞的面积氧层空洞问题。下图显示了南极上空臭氧层空洞的面积从从1979197920012001年的变化情况。年的变化情况。根据下图中曲线可知，时间根据下图中曲线可知，时间t t的变化范围是数集的变化范围是数集A A=t|1979t2001=t|1979t2001，臭氧层空洞面积，臭氧层空洞面积S S的变化范围是
5、数集的变化范围是数集B B=S|0S26.=S|0S26.并且，对于数集并且，对于数集A A中的每一个时刻中的每一个时刻t t，按照图，按照图中曲线，在数集中曲线，在数集B B中都有中都有唯一唯一确定的臭氧层空洞面积确定的臭氧层空洞面积S S和它对和它对应应.观察探索：观察探索：下面我们再看两个非空数集下面我们再看两个非空数集A A，B B的元素之间的元素之间的一些对应关系的例子的一些对应关系的例子.为简明起见，这里为简明起见，这里A A，B B都是有限集合都是有限集合.观察探索：观察探索：函数的概念函数的概念3.3.在图在图(1)(1)中，对应法则是中，对应法则是”乘乘2”2”，即对于集合，
6、即对于集合A A中的每一个数中的每一个数n n，集合，集合B B中都有中都有唯一唯一的一个数的一个数2n2n和它对应：和它对应：观察探索观察探索:函数的概念函数的概念4.4.在图在图(2)(2)中，对应法则是中，对应法则是”求平方求平方”，即对集合，即对集合A A中的每一个数中的每一个数m m，集合，集合B B中都有中都有唯一唯一的一个平方的一个平方数数m m2 2和它对应和它对应:观察探索观察探索:函数的概念函数的概念 观察探索：观察探索：归纳以上四个实例，我们看到，四个实例归纳以上四个实例，我们看到，四个实例中变量之间的关系都可以描述为：中变量之间的关系都可以描述为：对于数集对于数集A A
7、中的任意一个数中的任意一个数x x，按照对应，按照对应关系，在数集关系，在数集B B中都有中都有唯一唯一确定的数确定的数y y和它对应。和它对应。观察探索：观察探索：设设A A、B B是是非空非空的实数集，如果对于集合的实数集，如果对于集合A A中的中的任意任意一个数一个数x x，按照某种确定的对应关系，按照某种确定的对应关系f f，在集合，在集合B B中都有中都有唯一确定的数唯一确定的数y y和它对应，那么就称和它对应，那么就称f f：ABAB为从集合为从集合A A到集合到集合B B的一个的一个函数。函数。一、函数的有关概念一、函数的有关概念1.1.函数的概念：函数的概念：记作：记作：y=f
8、(x)y=f(x)，xAxA 其中，其中，x x叫做叫做自变量自变量，x x的取值范围的取值范围A A叫做函数的叫做函数的定义域。定义域。与与x x的值相对应的的值相对应的y y值叫做值叫做函数值函数值，函数值的集合，函数值的集合f(x)|xAf(x)|xA叫做函数的叫做函数的值域。值域是集合值域。值域是集合B B的子集。的子集。1.1.下列图像中不能作为函数的是（下列图像中不能作为函数的是（）（）（）（）（）（）（）（）（）2.注意：注意：（1）函数是一种对应，且可以一对一或）函数是一种对应，且可以一对一或多对一，但是不能一对多多对一，但是不能一对多 学以致用：学以致用：函数的概念：函数的概
9、念：对于集合对于集合A A中的中的任意一个数任意一个数x x，按照某种确定，按照某种确定的对应关系的对应关系f f，在集合，在集合B B中都有中都有唯一唯一确定的数确定的数y y和它对应。和它对应。3 32 2-2-2-3-31 1-1-14 42 26 65 52.2.判断下列是否表示集合判断下列是否表示集合A A到集合到集合B B的函数的函数1 13 32 2A AB B乘乘2 2（1 1）9 94 41 1A AB B开方开方（2 2）是是不是不是1 13 32 2A AB B乘乘2 2（3 3）2 24 46 64 4不是不是 学以致用：学以致用：2.注意：注意：（1）函数是一种对应，
10、且可以一对一或）函数是一种对应，且可以一对一或多对一，但是不能一对多多对一，但是不能一对多函数的概念：函数的概念：对于集合对于集合A A中的中的任意一个数任意一个数x x，按照某种确定，按照某种确定的对应关系的对应关系f f，在集合，在集合B B中都有中都有唯一唯一确定的数确定的数y y和它对应。和它对应。求下列函数的定义域和值域求下列函数的定义域和值域1.,(0)kykx2.,(0)yaxb a23.,(0)yaxbxc a|0 x x Rx且 定义域定义域是是值域值域是是定义域定义域是是值域值域是是|0yRyy且|Rxx|Ryy定义域定义域：R R值域值域：当当a a0 0时时,值域为值域
11、为：244ac bay y当当a a0 0时时,值域为值域为：244ac bay y 设设A A、B B是是非空非空的实数集，如果对于集合的实数集，如果对于集合A A中的中的任意任意一个数一个数x x，按照某种确定的对应关系，按照某种确定的对应关系f f，在集合，在集合B B中都有中都有唯一确定的数唯一确定的数y y和它对应，那么就称和它对应，那么就称f f：ABAB为从集合为从集合A A到集合到集合B B的一个的一个函数。函数。一、函数的有关概念一、函数的有关概念1.1.函数的概念：函数的概念：记作：记作：y=f(x)y=f(x)，xAxA 其中，其中，x x叫做叫做自变量自变量，x x的取
12、值范围的取值范围A A叫做函数的叫做函数的定义域。定义域。与与x x的值相对应的的值相对应的y y值叫做值叫做函数值函数值，函数值的集合，函数值的集合f(x)|xAf(x)|xA叫做函数的叫做函数的值域。值域是集合值域。值域是集合B B的子集。的子集。2.注意：注意：（1）函数是一种对应，且可以一对一或）函数是一种对应，且可以一对一或多对一，但是不能一对多多对一，但是不能一对多（2 2）有时给出的函数没有明确说明定义域）有时给出的函数没有明确说明定义域,这时它的这时它的定义域就是自变量允许的取值范围定义域就是自变量允许的取值范围.（3 3）f(a)f(a)表示函数表示函数y=f(x)y=f(x
13、)当当x=ax=a时的函数值时的函数值.2.2.注意注意例例2 2：已知函数：已知函数（1 1）求函数的定义域；）求函数的定义域；（2 2）求）求 的值；的值；（3 3）当）当a a0 0时，求时，求 的值的值.1()32f xxx2(3),()3ff(),(1)f af a（4 4）几类函数的定义域：）几类函数的定义域：如果如果f(x)f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集是整式，那么函数的定义域是实数集R R如果如果f(x)f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合于零的实数的集合 .如果如果f(x)f(x)是二次根式，那么函数的定义
14、域是使根号是二次根式，那么函数的定义域是使根号 内的式子大于或等于零的实数的集合内的式子大于或等于零的实数的集合.如果如果f(x)f(x)是由几个数学式子构成的，那么函数定义域是是由几个数学式子构成的，那么函数定义域是使各式子都有意义的实数集合（即求各集合的交集）使各式子都有意义的实数集合（即求各集合的交集）2.2.注意：注意：请看课本请看课本P67P67练习：第练习：第1 1，2 2题题若已知函数若已知函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为aa，bb，其复合函数，其复合函数fg(x)fg(x)的定义域应由不等式的定义域应由不等式a ag(x)bg(x)b解出解出 2.2.注意：注意：值域值
15、域（5 5）构成函数的三要素是：构成函数的三要素是：定义域，定义域，对应关系，对应关系，（6 6）两个函数相同）两个函数相同必须是它们的必须是它们的定义域和对应关定义域和对应关系系分别完全相同分别完全相同.例例3 3：下列函数中哪个与函数下列函数中哪个与函数y=xy=x是同一个函数？是同一个函数？（1 1）y=y=（2 2）u=u=（3 3）y=y=（4 4）m=m=2()x33v2x2nn（7 7）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。思考：思考：f(x)=
16、x f(x)=x2 2 与与f(t)=tf(t)=t2 2是否为同一函数是否为同一函数?是是 2.2.注意注意值域值域（5 5）构成函数的三要素是：构成函数的三要素是：定义域，定义域，对应关系，对应关系，（6 6）两个函数相同）两个函数相同必须是它们的必须是它们的定义域和对应关定义域和对应关系系分别完全相同分别完全相同.请看课本请看课本P67P67练习：第练习：第3 3题题满足不等式满足不等式axbaxb的实数的实数x x的集合叫做的集合叫做闭区间闭区间，表示为表示为aa，bb设设a a，b b是两个实数，而且是两个实数，而且abab，我们规定：，我们规定：满足不等式满足不等式axbaxb的实
17、数的实数x x的集合叫做的集合叫做开区间开区间，表示为表示为(a(a，b)b)满足不等式满足不等式axbaxb或或axbaxb的实数的实数x x的集合叫做的集合叫做半开半闭区间半开半闭区间，表示为，表示为aa，b b）或（）或（a a，bb这里的实数这里的实数a a，b b叫做叫做相应区间的端点相应区间的端点 二、区间的概念二、区间的概念定义定义名称名称符号符号数轴表示数轴表示x|axbx|axb 闭区间闭区间 a,b a,b a ba bx|axbx|axb 开区间开区间（a,ba,b）a b a bx|axbx|axb半开半闭区间半开半闭区间a,ba,b）a b a b x|axbx|aaxbxb（，b（，b）（a，+）a，+）区区间间是是集集合合；2 2.区区间间的的左左端端点点必必定定小小于于右右端端点点；3 3.任任何何区区间间均均可可在在数数轴轴上上表表示示出出来来；4 4.以以“-或或”为为区区间间的的一一端端时时，这这一一端端必必须须是是 小小括括号号。1.*注意：注意：思考题：思考题：若若f(0)=1,f(n)=nf(n1),nN求求f(4).24
