1、3.2.1 单调性与最大（小）值最值 再来观察本节的图3.2-2，可以发现，二次函数 的图像上有一个最低点（0，0），即 .当一个函数 的图像有最低点时，我们就说函数 有最小值.)0()(,fxfRx都有你能以函数 为例说明函数的最大值的含义吗?2)(xxf)(xf)(xf2)(xxf函数 的图像如下图所示，在该图像上有一个最高点（0，0），即 则称 有最大值2)(xxf).0()(,fxfRx都有)(xf.0)0(f一般地，设函数 的定义域为 I，如果存在实数M满足：)(xfy.)(,)2(;)()1(00MxfIxMxfIx使得，都有那么，我们称M是函数 的最大值.)(xfy 思考：你能仿
2、照函数最大值的定义，给出函数 的最小值的定义吗？)(xfy 一般地，设函数 的定义域为 I，如果存在实数M满足：)(xfy.)(,)2(;)()1(00MxfIxMxfIx使得，都有那么，我们称M是函数 的最小值.)(xfy 最大值定义最小值定义对函数的最值的理解（1）最值首先是一个函数值，即在函数的定义域 I 内，存在在一个自变量 ，使得 等于最值.（2）对于定义域内任何元素 x，都有 “任意”两个字不可省略.（3）使函数 f（x）取最值的自变量的值有时可能不止一个.（4）函数 f（x）的最大值的几何意义是其图象上最高点的纵坐标；最小值的几何意义是其图象上最低点的纵坐标.0 x)(0 xf，
3、或)()()()(00 xfxfxfxf函数的最值与值域的关系（1）函数的最值和值域反应的是函数的整体性质，针对的是整个定义域；（2）函数的值域一定存在，函数的最值不一定存在；（3）若函数的最值存在，则最值一定是值域中的元素；（4）若函数的值域是开区间，则函数无最值；若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值.例4 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂，如果烟花距地面的高度 h（单位：m）与时间 t（单位：s）之间的关系为 等于那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m）？解：画出函数 的图象（图3.2-4），显然函数
4、图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距离地面的高度.187.149.4)(2ttth由二次函数的知识，对于函数 ，我们有：187.149.4)(2ttth187.149.4)(2ttth时，当5.1)9.4(27.14t.29)9.4(47.1418)9.4(42h函数有最大值于是，烟花冲出1.5s是它 爆裂的最佳时刻，是距地面的高度约为29 m.例5 已知函数 求函数的最大值和最小值.分析分析：由函数 的图象(图3.2-5)可知，函数 在区间2，6上单调递减.所以，函数 在区间2，6的两个端点上分别取得最大值和最小值.解：所以，函数 在区间2，6
5、上单调递减.，)6,2(12)(xxxf,0)1)(1(,0,62211221xxxxxx得由)6,2(12)(xxxf12)(xxf12)(xxf，则，且21216,2,xxxx.)1)(1()(2)1)(1()1()1(2)1111)()(211221212121xxxxxxxxxxxfxf).()(,0)()(2121xfxfxfxf即于是12)(xxf因此，函数 在区间2，6的两个端点上分别取得最大值与最小值.在x=2时，取得最大值，最大值是2；在x=6时，取得最小值，最小值是0.4.12)(xxf总结1、二次函数 在对称轴 处取得最值)0()(2acbxaxxfabx2.44)2(2
6、abacabf.44)2()(0)1(2minabacabfxfa 时，有最小值当.44)2()(0)2(2maxabacabfxfa 时，有最小值当计算时可利用公式 直接计算，也可将 代入函数解析式进行计算.abac442abx22、利用常见的基本初等函数求最值时，单调性可直接说明，不用证明，其他函数则需要先证明其单调性.总结3、常用结论（1）若函数 在区间a,b上单调递增，则)(xfy).(),(maxminbfyafy（2）若函数 在区间a,b上单调递减，则)(xfy).(),(maxminafybfy（3）若函数 在区间a,c上单调递增，在区间c,b上单调递减，则函数在 x=c 处有最
7、大值 f（c），即 如图（1）所示（最小值在 x=a 或 x=b 处取得）.)(xfy,),(baxxfy)(maxcfy（4）若函数 在区间a,c上单调递减，在区间c,b上单调递增，则函数在 x=c 处有最小值 f（c），即 如图（2）所示（最大值在 x=a 或 x=b 处取得）.,),(baxxfy)(mincfy)(xfy 图（1）图（2）练习1.整个上午（8：0012：00）天气越来越暖，中午时分（12：0013：00）一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多，暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山（18：00）才又开始转凉.画出这一天8：0020：00的期间气温作为时间函数的一个可能的图象（示意图
8、），并说出所画函数的单调区间.解：函数的一个可能图象如图（1）所示：单调增区间：8,12)，13,18);单调减区间：12,13)，18,20.图象的形状不是唯一的，只要能反映气温的变化情况即可练习2.设函数的定义域为-6，11.如果 在区间-6，2上单调递减，在区间2，11上单调递增，画出 的一个大致的图象，从图象上可以发现 f(-2)函数 f(x)的一个_.解：在区间-6，11上的大致图象如图所示.)(xf)(xf)(xf最小值3.已知函数 ，求函数在区间2，6上的最大值和最小值.xxf1)(解：，则，且21216,2,xxxx所以，函数 在区间2，6上单调递减.)11)()(211221
9、21xxxxxxxfxf).()(,0)()(2121xfxfxfxf即,0,0,62211221xxxxxx得由xxf1)(.61)6()(,21)2()(minmaxfxffxf求函数最值的方法 求函数最值的问题实质上就是求函数的值域问题，因此求函数值域的方法也可用来求函数最值。求函数最值的常用方法如下：（1）配方法：主要适用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围；（2）换元法：用换元法时一定要注意新元的取值范围；（3）数形结合法：对于图像较容易画出的函数的最值问题，可借助图像直观求出（4）利用数的单调性：要注意函数的单调性对函数最值的影响，特别是闭区间上函数的最值.小结作业习题3.2 第4题、第7题.
