1、3.2.1 单调性与最大（小）值最值 再来观察本节的图3.2-2，可以发现，二次函数 的图像上有一个最低点（0，0），即 .当一个函数 的图像有最低点时，我们就说函数 有最小值.)0()(,fxfRx都有你能以函数 为例说明函数的最大值的含义吗?2)(xxf)(xf)(xf2)(xxf函数 的图像如下图所示，在该图像上有一个最高点（0，0），即 则称 有最大值2)(xxf).0()(,fxfRx都有)(xf.0)0(f一般地，设函数 的定义域为 I，如果存在实数M满足：)(xfy.)(,)2(;)()1(00MxfIxMxfIx使得，都有那么，我们称M是函数 的最大值.)(xfy 思考：你能仿
2、照函数最大值的定义，给出函数 的最小值的定义吗？)(xfy 一般地，设函数 的定义域为 I，如果存在实数M满足：)(xfy.)(,)2(;)()1(00MxfIxMxfIx使得，都有那么，我们称M是函数 的最小值.)(xfy 最大值定义最小值定义对函数的最值的理解（1）最值首先是一个函数值，即在函数的定义域 I 内，存在在一个自变量 ，使得 等于最值.（2）对于定义域内任何元素 x，都有 “任意”两个字不可省略.（3）使函数 f（x）取最值的自变量的值有时可能不止一个.（4）函数 f（x）的最大值的几何意义是其图象上最高点的纵坐标；最小值的几何意义是其图象上最低点的纵坐标.0 x)(0 xf，
3、或)()()()(00 xfxfxfxf函数的最值与值域的关系（1）函数的最值和值域反应的是函数的整体性质，针对的是整个定义域；（2）函数的值域一定存在，函数的最值不一定存在；（3）若函数的最值存在，则最值一定是值域中的元素；（4）若函数的值域是开区间，则函数无最值；若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值.例4 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂，如果烟花距地面的高度 h（单位：m）与时间 t（单位：s）之间的关系为 等于那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m）？解：画出函数 的图象（图3.2-4），显然函数
4、图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距离地面的高度.187.149.4)(2ttth由二次函数的知识，对于函数 ，我们有：187.149.4)(2ttth187.149.4)(2ttth时，当5.1)9.4(27.14t.29)9.4(47.1418)9.4(42h函数有最大值于是，烟花冲出1.5s是它 爆裂的最佳时刻，是距地面的高度约为29 m.例5 已知函数 求函数的最大值和最小值.分析分析：由函数 的图象(图3.2-5)可知，函数 在区间2，6上单调递减.所以，函数 在区间2，6的两个端点上分别取得最大值和最小值.解：所以，函数 在区间2，6
5、上单调递减.，)6,2(12)(xxxf,0)1)(1(,0,62211221xxxxxx得由)6,2(12)(xxxf12)(xxf12)(xxf，则，且21216,2,xxxx.)1)(1()(2)1)(1()1()1(2)1111)()(211221212121xxxxxxxxxxxfxf).()(,0)()(2121xfxfxfxf即于是12)(xxf因此，函数 在区间2，6的两个端点上分别取得最大值与最小值.在x=2时，取得最大值，最大值是2；在x=6时，取得最小值，最小值是0.4.12)(xxf总结1、二次函数 在对称轴 处取得最值)0()(2acbxaxxfabx2.44)2(2
6、abacabf.44)2()(0)1(2minabacabfxfa 时，有最小值当.44)2()(0)2(2maxabacabfxfa 时，有最小值当计算时可利用公式 直接计算，也可将 代入函数解析式进行计算.abac442abx22、利用常见的基本初等函数求最值时，单调性可直接说明，不用证明，其他函数则需要先证明其单调性.总结3、常用结论（1）若函数 在区间a,b上单调递增，则)(xfy).(),(maxminbfyafy（2）若函数 在区间a,b上单调递减，则)(xfy).(),(maxminafybfy（3）若函数 在区间a,c上单调递增，在区间c,b上单调递减，则函数在 x=c 处有最
7、大值 f（c），即 如图（1）所示（最小值在 x=a 或 x=b 处取得）.)(xfy,),(baxxfy)(maxcfy（4）若函数 在区间a,c上单调递减，在区间c,b上单调递增，则函数在 x=c 处有最小值 f（c），即 如图（2）所示（最大值在 x=a 或 x=b 处取得）.,),(baxxfy)(mincfy)(xfy 图（1）图（2）练习1.整个上午（8：0012：00）天气越来越暖，中午时分（12：0013：00）一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多，暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山（18：00）才又开始转凉.画出这一天8：0020：00的期间气温作为时间函数的一个可能的图象（示意图
8、），并说出所画函数的单调区间.解：函数的一个可能图象如图（1）所示：单调增区间：8,12)，13,18);单调减区间：12,13)，18,20.图象的形状不是唯一的，只要能反映气温的变化情况即可类型三类型三:二次函数的最值及应用问题二次函数的最值及应用问题2()67(2,46.f xxx求函数在上的 最值二次函数二次函数“轴定区间定轴定区间定”求最值问题，根求最值问题，根据图象的单调性处理据图象的单调性处理（数形结合）（数形结合）类型三类型三:二次函数的最值及应用问题二次函数的最值及应用问题2()2,047.f xxax x求，的最小值求二次函数的最值，可用配方法，用数形结合求二次函数的最值，
9、可用配方法，用数形结合思想，但要思想，但要注意定义域注意定义域二次函数二次函数“轴动区间定轴动区间定”求最值问题，根求最值问题，根据对称轴与区间的据对称轴与区间的 关系分关系分几种情况讨论几种情况讨论考虑二次函数问题，要注意开口方考虑二次函数问题，要注意开口方向对称轴位置区间位置是否过定点向对称轴位置区间位置是否过定点二次函数二次函数“轴定区间动轴定区间动”求最值问题，根求最值问题，根据对称轴与区间的关系分据对称轴与区间的关系分几种情况讨论几种情况讨论求函数在区间t,t+1上的最小值g（t）22)(f2xxx练习2.设函数的定义域为-6，11.如果 在区间-6，2上单调递减，在区间2，11上单
10、调递增，画出 的一个大致的图象，从图象上可以发现 f(-2)函数 f(x)的一个_.解：在区间-6，11上的大致图象如图所示.)(xf)(xf)(xf最小值3.已知函数 ，求函数在区间2，6上的最大值和最小值.xxf1)(解：，则，且21216,2,xxxx所以，函数 在区间2，6上单调递减.)11)()(21122121xxxxxxxfxf).()(,0)()(2121xfxfxfxf即,0,0,62211221xxxxxx得由xxf1)(.61)6()(,21)2()(minmaxfxffxf求函数最值的方法 求函数最值的问题实质上就是求函数的值域问题，因此求函数值域的方法也可用来求函数最值。求函数最值的常用方法如下：（1）配方法：主要适用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围；（2）换元法：用换元法时一定要注意新元的取值范围；（3）数形结合法：对于图像较容易画出的函数的最值问题，可借助图像直观求出（4）利用数的单调性：要注意函数的单调性对函数最值的影响，特别是闭区间上函数的最值.小结作业习题3.2 第4题、第7题.
