1、3.2.1 函数的单调性 (第一课时)20202020年伊始，新型冠状病毒肆虐全球，年伊始，新型冠状病毒肆虐全球，中国人民团结一致全国上下打响疫情防控中国人民团结一致全国上下打响疫情防控阻击战阻击战,个人、集体都在为控制疫情努力着。个人、集体都在为控制疫情努力着。据据某某大学大学科研团队利用我国科研团队利用我国1 1月月1717日至日至2 2月月1515日的数据构建日的数据构建数学模型显示：数学模型显示：备注：备注：红色确诊和疑似黄色感染病例蓝色日增量绿色治愈总数紫色日恢复量白色死亡总数实线模型拟合虚线预计发展空心点实际数据实心点预测数据思考思考1 1：观察该曲线，：观察该曲线，你能了解到什么
2、？你能了解到什么？备注：备注：黄色 感染病例函数的单调性如如:我们可发现随着时间我们可发现随着时间t t（20202020年年1 1月月1717日至日至20202020年年2 2月月1515日）的发展，日）的发展，感染病例感染病例从开始逐渐从开始逐渐增加增加，到后来有逐渐减少的趋势。，到后来有逐渐减少的趋势。函数是描述函数是描述事物运动变化规事物运动变化规律的数学模型律的数学模型.如如果了解了函数的果了解了函数的变化规律，那么变化规律，那么也就掌握了相应也就掌握了相应事物的变化规律事物的变化规律.在事物变化过程在事物变化过程中，保持不变的中，保持不变的特征就是这个事特征就是这个事物的性质物的性
3、质.设函数的定义域为设函数的定义域为I,区间区间DI.在区间在区间D上，若函数的上，若函数的图像图像（从左（从左至右看）总是至右看）总是上升上升的，则称函数在的，则称函数在区间区间D上是上是单调递增单调递增的，区间的，区间D称称为函数的单调递增区间；为函数的单调递增区间；若函数的若函数的图像（从左至右看）总是下降的，图像（从左至右看）总是下降的，则称函数在区间则称函数在区间D上是单调递减的，上是单调递减的，区间区间D称为函数的单调递减区间称为函数的单调递减区间.5图象在图象在区间区间D逐渐上升逐渐上升区间区间D内随着内随着x的增大，的增大，y也增大也增大x0y对区间对区间D内内 任意任意 x1
4、，x2，当当x1x2时，时，都有都有 f(x1)f(x2)x1 1f(x1)f(x2)x2 2定义定义如果对于如果对于区间区间D上上的的任意任意两个自变量的值两个自变量的值x1,x2,当当x1x2时时,都有都有f(x1)f(x2),那么那么一般地一般地,设函数设函数y=f(x)的的定义域为定义域为I,区间区间D I:D称为称为 f(x)的单调递的单调递增增区间区间.就称就称函数函数 f(x)在区间在区间D上上 单调递单调递增增,思考思考3：如何用数学符号语言定义函：如何用数学符号语言定义函数的单调性？数的单调性？O 0O 00 如果如果函数函数 y =f(x)在区间在区间D D上单调递增或单调
5、递减上单调递增或单调递减，那么那么就说函数就说函数 y =f(x)在区间在区间D D上具有上具有(严格的严格的)单调性。单调性。一般地一般地,设函数设函数y=f(x)的定义的定义域为域为I,区间区间DI：如果如果x1,x2D,当当x1x2时时,都都有有f(x1)那么那么就说就说f(x)在这个在这个区间上是单调区间上是单调递递 函数函数，D D称为称为f(x)的的单调递单调递 区间区间.减减减减单调单调区间区间Oyx1x2f(x1)f(x2)类比单调增函数的研究方法定义单调减函数类比单调增函数的研究方法定义单调减函数Oxyx1x2f(x1)f(x2)一般地一般地,设函数设函数y=f(x)的定义的
6、定义域为域为I,区间区间DI：如果如果x1,x2D,当当x1x2时时,7例例1 根据定义，研究函数根据定义，研究函数 f(x)=kxb(k0)的的单调性单调性设设 x1，x2 是是 R上任意两个实数，且上任意两个实数，且x1x2 证明：证明：则则 f(x1)-f(x2)=(kx1+b)-(kx2+b)=k(x1-x2)由由 x1x2 ，得，得 x1-x20时，时，f(x1)-f(x2)0即即 f(x1)0时，时，f(x)=kx+b是增函数；是增函数；当当k0即即 f(x1)f(x2)当当k0时，时，f(x)=kx+b是减函数是减函数.当函数在其定当函数在其定义域上单调递义域上单调递增（减）时，
7、增（减）时，我们就称它是我们就称它是增（减）函数增（减）函数.用定义证明函数单调性用定义证明函数单调性的步骤的步骤：（1）任取值）任取值:在所给区间上任意设两个实在所给区间上任意设两个实 数数 1212,.x xxx且（2）比大小：）比大小：判断判断f(x1 1)-)-f(x2 2)的符号的符号.（4）下结论：）下结论：并作出单调性的结论并作出单调性的结论.（3）定符号）定符号：常常通过通过“因式分解因式分解”、“通分通分”、“配方配方”等手段将差式变形为因式乘、等手段将差式变形为因式乘、除或平方和除或平方和形式形式.常用：常用：f(x1 1)-)-f(x2 2)例例2、物理学中的玻意耳定律、
8、物理学中的玻意耳定律 告诉我们告诉我们，对于一定量的气体，当其体积，对于一定量的气体，当其体积V减小减小 时时，压强压强p将增大将增大.试试对此对此用用函数的函数的单调性证明单调性证明.)(为正常数kVkp 罗伯特罗伯特波意耳波意耳（Robert Boyle，16271691），），英国化学家，英国化学家，化学史家都把化学史家都把1661年作为年作为近代化学的开始年代，因为这一年有一本对化学发近代化学的开始年代，因为这一年有一本对化学发展产生重大影响的著作出版问世，这本书就是展产生重大影响的著作出版问世，这本书就是怀怀疑派化学家疑派化学家The Skeptical Chemist，它的作者，它
9、的作者是英国科学家罗伯特是英国科学家罗伯特波意耳波意耳。革命。革命导师马克思、导师马克思、恩格斯也恩格斯也同意这一观点，他们誉称同意这一观点，他们誉称“波意耳波意耳把化学把化学确立为科学确立为科学”。波意耳定律（波意耳定律（Boyles law）：是）：是由英国化学由英国化学家家波意耳波意耳（Boyle），在），在1662年根据实验结果提出：年根据实验结果提出：“在密闭容器中的定量气体，在密闭容器中的定量气体，在恒温下在恒温下，气体的压，气体的压强和体积成反比关系。强和体积成反比关系。”。这是人类历史上第一个这是人类历史上第一个被发现的被发现的“定律定律”。131.任取值;2.比大小;3.定符
10、号;4.下结论.24.),0(,.,00.0,;0),0(.,),0(,212112212121211221212121将增大时，压强减小也就是说，当体积是减函数的定义，函数所以，根据函数单调性即，于是又得由，得，由则任意两个实数，且上的是定义域义，设证明：根据单调性的定pVVVkpppppkVVVVVVVVVVVVkVkVkppVVVVxx1y 例例3、根据定义证明函数、根据定义证明函数 在区间在区间(1,+)上单调递增上单调递增.xxy1 1 )()()()(21212211211111xxxxxxxxyy).)()()(1212121211221xxxxxxxxxxxx.,),(,1112121xxxx得由0112121xxxx,所以.,02121xxxx得又由.,）上单调递增在区间（函数所以11xxy有上的任意两个实数，且，是证明：设,)1(,2121xxxx.0)1(21212121yyxxxxxx，即于是拓展拓展探究探究 讨论函数讨论函数 的单调性，并作出其大致的的单调性，并作出其大致的图象图象.xxy1课堂小结课堂小结函数的函数的单调性单调性增函数增函数减函数减函数数形结合数形结合图象法图象法(直观想象直观想象)定义定义法法(数学运算数学运算)作作 业业P P8686.习题习题3.2 3.2 2,32,3；
