1、4.2指数函数第四章指数函数与对数函数目录二、知识讲解 三、小结四、练习一、上节回溯 一、上节回溯有理数指数幂n 次方根整数指数幂无理数指数幂实数指数幂运算性质二、知识讲解对于幂 ax(a0)，我们已经把指数 x 的范围拓展到了实数上一章学习了函数的概念和基本性质，通过对幂函数的研究，进一步了解了研究一类函数的过程和方法下面继续研究其他类型的基本初等函数二、知识讲解问题1随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式由于旅游人数不断增加，A，B 两地景区自2001 年起采取了不同的应对措施，A 地提高了景区门票价格，而 B 地则取消了景区门票表 4.2-1 给出
2、了 A，B 两地景区 2001 年至 2015 年的游客人次以及逐年增加量4.2.1指数函数的概念二、知识讲解309117022003A 地景区年增加量/万次20092005609200666120082007631201520012002200464162060065020112010201220142013表 4.2-1B 地景区年增加量/万次671681691711721732743101199111010101191011113443832784274755285886557298119031 0051 1181 2444435314853606774829210211312639二、
3、知识讲解比较两地景区游客人次的变化情况，你发现了怎样的变化规律？为了有利于观察规律，根据表 4.2-1，分别画出 A，B 两地景区采取不同措施后的 15 年游客人次的图象（图 4.2-1 和图 4.2-2）20032001200520072009201120132015时间/年30050070090011001300人次/万次图 4.2-120032001200520072009201120132015时间/年30050070090011001300人次/万次图 4.2-2二、知识讲解观察图象和表格，可以发现，A 地景区的游客人次近似于直线上升（线性增长），年增加量大致相等（约为 10 万次）
4、；B 地景区的游客人次则是非线性增长，年增加量越来越大，但从图象和年增加量都难以看出变化规律探究二、知识讲解二、知识讲解二、知识讲解x 年后，游客人次是 2001 年的 1.11x 倍如果设经过 x 年后的游客人次为 2001 年的 y 倍，那么y1.11x(x0，)这是一个函数，其中指数 x 是自变量二、知识讲解问题2当生物死亡后，它机体内原有的碳 14 含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过 5 730 年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”按照上述变化规律，生物体内碳 14 含量与死亡年数之间有怎样的关系？设死亡生物体内碳 14 含量的年衰减率为 p，如果把刚死亡的生物体内
5、碳 14 含量看成 1 个单位，那么死亡 1 年后，生物体内碳 14 含量为(1p)1；死亡 2 年后，生物体内碳 14 含量为(1p)2；死亡 3 年后，生物体内碳 14 含量为(1p)3；二、知识讲解二、知识讲解二、知识讲解二、知识讲解例2（1）在问题 1 中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来 1 000 元门票之外的收入，A 地景区的门票价格为 150 元，比较这 15 年间 A，B 两地旅游收入变化情况（2）在问题 2 中，某生物死亡 10 000 年后，它体内碳 14 的含量衰减为原来的百分之几？解：（1）设经过 x 年，游客给 A，B 两地带来的收入分别为 f(x)和 g(x)
6、，则f(x)1 150(10 x600)，g(x)1 0002781.11x利用计算工具可得，二、知识讲解当 x0 时，f(0)g(0)412 000当 x10.22 时，f(10.22)g(10.22)结合图 4.2-3 可知：当 xg(x)，当 x10.22 时，f(x)g(x)，但 g(x)的增长速度大于 f(x)；Oxy2204046068081001014012f(x)1412016g(x)图 4.2-3二、知识讲解二、知识讲解在实际问题中，经常会遇到类似于例 2（1）的指数增长模型：设原有量为 N，每次的增长率为 p，经过 x 次增长，该量增长到 y，则 yN(1p)x(xN)形如
7、 ykax(kR，且 k0，a0，且 a1)的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型二、知识讲解下面我们类比研究幂函数性质的过程和方法，进一步研究指数函数首先画出指数函数的图象，然后借助图象研究指数函数的性质先从简单的函数 y2x 开始请同学们完成 x，y 的对应值表 4.2-2，并用描点法画出函数 y2x 的图象（图 4.2-4）4.2.2指数函数的图象和性质二、知识讲解为了得到指数函数 yax(a0，且 a1)的性质，我们还需要画出更多的具体指数函数的图象进行观察xy1.5210.50.5011.520.350.711.412.83表 4.2-2xyO图 4.2-4-1-
8、2-321312345678y2x二、知识讲解探究二、知识讲解yxOy2xPP11图 4.2-5 二、知识讲解选取底数 a(a0，且 a1)的若干个不同的值，在同一直角坐标系内画出相应的指数函数的图象观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性？由此你能概括出指数函数 yax(a0，且 a1)的值域和性质吗？探究二、知识讲解如图 4.2-6，选取底数 a 的若干值，用信息技术画图，发现指数函数 yax的图象按底数 a 的取值，可分为 0a1 两种类型因此，指数函数的性质也可以分 0a1 两种情况进行研究yxOy2x1图 4.2-6 y3xy4x二、知识讲解一般地，指数函数的图象和性质如
9、表 4.2-3 所示xyOy1yax(0，1)xyOy1yax(0，1)定义域图象值域性质（2）减函数（1）过定点(0，1)，即 x0 时，y1（2）增函数(0，)R0a1表 4.2-3二、知识讲解二、知识讲解例4如图 4.2-7，某城市人口呈指数增长（1）根据图象，估计该城市人口每翻一番所需的时间（倍增期）；（2）该城市人口从 80 万人开始，经过 20 年会增长到多少万人？分析：（1）因为该城市人口呈指数增长，而同一指数函数的倍增期是相同的，所以可以从图象中选取适当的点计算倍增期（2）要计算 20 年后的人口数，关键是要找到 20 年与倍增期的数量关系x/年y/万人20O1030 40 50 60 70802010304050607080图 4.2-7 三、小结图象指数函数概念性质四、练习四、练习四、练习yxO1y3x四、练习5体内癌细胞初期增加得很缓慢，但到了晚期就急剧增加，画一幅能反映体内癌细胞数量随时间变化的示意图答案：可用指数函数 SS0at 来刻画体内癌细胞数量 S 随时间 t 变化的规律，其中初始量 S00，增长比例 a1，t0四、练习StOS0SS0at
