1、 在研究三角函数时，我们还常常遇到这样的问题：已知任意角在研究三角函数时，我们还常常遇到这样的问题：已知任意角、的三角函数值，如何求的三角函数值，如何求+、或或 2的三角函数值？下面我们的三角函数值？下面我们先引出先引出平面内两点间的距离公式平面内两点间的距离公式，并从两角差的余弦公式谈起，并从两角差的余弦公式谈起.在坐标平面内的任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),|P1Q|=|M1M2|=|x1x2|，|QP2|=|N1N2|=|y1y2|，由勾股定理，可得|P1P2|2=|P1Q|2+|QP2|2=(x1x2)2+(y1y2)2,由此得到平面内P1(x1,y1),P2(x2,y
2、2)两点间距离公式：预备知识xyOP1(x1,y1)P2(x2,y2)M1(x1,0)M2(x2,0)N1(0,y1)N2(0,y2)Q22121212|()()PPxxyy.情境引入 我们在初中时就知道我们在初中时就知道 cos45o=,cos30o=，由此我们能否得到，由此我们能否得到cos 15o=cos(45o30o)=?大家可以猜想，是不是大家可以猜想，是不是等于等于cos 45o cos30o呢呢?2221下面我们就一起探讨两角差的余弦公式下面我们就一起探讨两角差的余弦公式cos(-)=?有人认为cos()cos cos，你认为正确吗，试举例说明思考:cos()cos cos 两角
3、差余弦公式的探索探究新知xyO终边终边A(1,0)A1P1P终边终边-下面，我们来探究cos(-)与角，的正弦、余弦之间的关系.如图，设单位圆于x轴的正半轴相交于点A(1,0)，以x轴非负半轴为始边作角,-，它们的终边分别与单位圆相交于点P1(cos,sin)，A1(cos,sin)，P(cos(-),sin(-).连接A1P1，AP.若把扇形OAP绕着点O旋转角，则点A，P分别与点A1，P1重合.根据圆的旋转对称性可知，与 重合，从而 ，所以AP=A1P1.AP11A P11APA P 不妨令2k+,kZ.两角差余弦公式的探索探究新知根据两点间的距离公式，得cossincoscossinsi
4、n222210化简得coscoscossinsin当=2k+,kZ时，容易证明上式仍然成立.所以，对于任意角，有，此公式给出了任意角，的正弦、余弦与其差角-的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作 .CAP=A1P1A(1,0)，P(cos(-),sin(-)，P1(cos,sin)，A1(cos,sin)，cos cos(cos+)sin sin(C()cos 45cos 45sin 45sin 45 ；cos 60cos 30sin 60sin 30 ；cos 30cos 120sin 30sin 120 ；cos 150cos 210sin 150sin 210 说明公式可以正用、逆
5、用：逆用：cos cos sin sin ；正用：1cos 0cos 300cos(90)cos(60)cos()cos()cos cos sin sin 两角差余弦公式的初步感知探究新知)2cos(sinsin10sin2sincos2cos ，即即 sin)2cos(这里，等号两边的角的和为这里，等号两边的角的和为.2)2sin(cos 典例分析cos cos(cos+)sin sin(C()例1 利用公式C()证明：.sin)2cos(证明：这就是说，诱导公式这就是说，诱导公式 的确成立的确成立.cos)2sin(sin)2cos(思考：思考：你会证你会证 吗？吗？cos-)cos(3)
6、(3)公式两边符号相反公式两边符号相反.coscos cossin sin()C 口诀：余余正正符号反口诀：余余正正符号反两角差的余弦公式注意：注意：(1)(1)公式中的公式中的,是是任意角任意角；(2)(2)公式的结构特点：左边是公式的结构特点：左边是“两角差的余弦值两角差的余弦值”，右边是右边是“这两角余弦积与正弦积的和这两角余弦积与正弦积的和”；例2 利用两角差的余弦公式求：cos15=cos(45cos1530)cos45 cos30+sin45 sin3023212222624 解法解法1：解法解法2：=cos(60cos1545)cos60 cos45+sin60 sin45123
7、22222264思考：思考：你会求你会求 的值吗？的值吗？sin75典例分析1.cos45 cos15sin45 sin152312.2222ABCD的值为()B2.cos40 cos70cos20 cos50_=cos40 cos70sin70 sin40cos(7040)cos30分析：原式32巩固练习4sin,(,)5253sin1cos2)cos(sinsincoscos35412()()()513513 5cos,13 又是第三象限角，解：解：1312cos1sin26533典例分析cos()例3 已知 ，是第三象限角，求 的值.45sincos5213，(,),巩固练习cos()1.已知 ，求 的值.2333sincos3242，(,),，(,2)35sin1cos2 47cos1sin2 3527273 5cos()()()433412 ()=变角变角:解：解：coscos()cos()cossin()sin54123()135135 由已知，得312sin,sin(+)513 典例分析45cos,cos(+)513 例3 已知,是锐角，求cos的值.1665思考：思考：你会求你会求cos(2+)的值吗？的值吗？
