1、建立函数模型解决实际问题第四章指数函数与对数函数目录知识讲解 知识讲解我们知道用函数构建数学模型解决实际问题时，首先要对实际问题中的变化过程进行分析，析出其中的常量、变量及其相互关系；明确其运动变化的基本特征，从而确定它的运动变化类型然后根据分析结果，选择适当的函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题；再通过运算、推理，求解函数模型最后利用函数模型的解说明实际问题的变化规律，达到解决问题的目的在构建函数模型时，经常会遇到没有现成数据可用的情况，这时就需要先收集数据知识讲解1观察实际情景，发现和提出问题中国茶文化博大精深茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关经验表明，某种绿茶用 85 的水泡制
2、，再等到茶水温度降至 60 时饮用，可以产生最佳口感那么在 25 室温下，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？显然，如果能建立茶水温度随时间变化的函数模型，那么就能容易地解决这个问题为此，需要收集一些茶水温度随时间变化的数据，再利用这些数据建立适当的函数模型一数学建模活动的一个实例知识讲解2收集数据我们可以利用秒表、温度计等工具（若用计算机、数据采集器、温度传感器等信息技术更好），收集茶水温度随时间变化的数据例如，某研究人员每隔 1 min 测量一次茶水温度，得到表 1 的一组数据79.1974.7571.1968.19时间/min水温/0123485.00表 165.105
3、知识讲解3分析数据茶水温度是时间的函数，但没有现成的函数模型为此，可以先画出散点图，利用图象直观分析这组数据的变化规律，从而帮助我们选择函数类型设茶水温度从 85 开始，经过 x min 后的温度为 y 根据表 1，画散点图（图 1）知识讲解观察散点图的分布状况，并考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，可选择函数 ykax25(kR，0a1，x0)来近似地刻画茶水温度随时间变化的规律xyO图 170903458012知识讲解4建立模型根据实际情况可知，当 x0 时，y85，可得 k60为了求出温度的衰减比例 a，可从第 2 min 的温度数据开始，计算每分(y25)的值与上一分(y25)值的
4、比值，列出表 254.1949.7546.1943.19xy250123460.00表 240.1050.918 1 0.928 4 0.935 1 0.928 5比值0.903 2知识讲解 能否直接将表1 中的一组数据代入 y60ax25 求a？这与用比值的平均值作为 a 建立函数模型有什么差异？知识讲解5检验模型将已知数据代入式，或画出函数的图象（图 2），可以发现，这个函数模型与实际数据基本吻合，这说明它能较好地反映茶水温度随时间的变化规律xyO图 270903458012知识讲解知识讲解上述过程可以概括为：符合实际不符合实际发现和提出问题观察实际情景收集数据选择函数模型求解函数模型实际
5、问题的解检验知识讲解请同学们仿照上述过程开展一次建立函数模型解决实际问题的活动可以继续研究不同室温下泡制一杯最佳口感茶水所需的时间，也可以从下列选题中选择一个：1应在炒菜之前多长时间将冰箱里的肉拿出来解冻？2根据某一同学的身高和体重，判断该同学是否超重3用微波炉或电磁炉烧一壶开水，找到最省电的功率设定方法4估计阅读一本书所需要的时间也可以根据自己的兴趣，与老师协商后确定一个课题进行研究二数学建模活动的选题知识讲解1组建合作团队数学建模活动需要团队协作首先，在班级中组成 35 人的研究小组，每位同学参加其中一个小组在小组内，要确定一个课题负责人，使每位成员都有明确的分工拟定研究课题、确定研究方案
6、、规划研究步骤、编制研究手册，然后在班里进行一次开题报告2开展研究活动根据开题报告所规划的研究步骤，通过背景分析、数据收集、数据分析、数学建模、获得结论等过程，完成课题研究在研究过程中，可以借助信息三数学建模活动的要求知识讲解技术解决问题3撰写研究报告以小组为单位，撰写一份研究报告4交流展示（1）对同一个课题，先由 34 个小组进行小组交流，每个小组都展示自己的研究成果，相互借鉴、取长补短在小组研究报告的基础上形成大组的研究报告选定代表，制作向全班汇报的演示文稿（2）与老师一起进行全班研究成果展示和交流，在各组代表作研究报告的基础上，通过质疑、辩论、评价，总结成果，分享体会，分析不足开展自我评价、同学评价和老师评价，完成本次数学建模活动知识讲解建立函数模型解决实际问题四数学建模活动研究报告的参考形式_年_班完成时间：1课题名称2课题组成员及分工3选题的意义4研究计划（包括对选题的分析，解决问题的思路等）知识讲解5研究过程（收集数据、分析数据、建立模型、求解模型的过程，以及过程中出现的难点及解决方案等）6研究结果7收获与体会8对此研究的评价（由评价小组或老师填写）
