1、第1 1课时函数的单调性课标阐释思维脉络1.理解增函数和减函数的定义.(数学抽象)2.理解函数单调性的含义,掌握利用定义证明函数的单调性的方法.(逻辑推理)3.能够利用定义或图象求函数的单调区间,能够利用函数的单调性解决有关问题.(数学运算)激趣诱思知识点拨德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯,对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试,得到了以下一些数据:时间间隔t刚记忆完毕20分钟后60分钟后89小时后1天后 2天后 6天后一个月后记忆量y(百分比)10058.244.235.833.727.825.421.1以上数据表明,记忆量y是时间间隔t的函数,艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾
2、宾浩斯遗忘曲线”,如图.激趣诱思知识点拨问题(1)当时间间隔t逐渐增大时,你能看出对应的函数值y有什么变化趋势吗?通过这个试验,你打算以后如何对待刚学过的知识?(2)“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的,对此,我们如何用数学观点进行解释?激趣诱思知识点拨知识点一、函数单调性的概念1.增函数减函数定义一般地,设函数f(x)的定义域为I,区间DI:如果x1,x2D,当x1x2时,都有f(x1)f(x2)那么就称函数f(x)在区间D上单调递增那么就称函数f(x)在区间D上单调递减图象特征函数f(x)在区间D上的图象是上升的函数f(x)在区间D上的图象是下降的图示激趣诱思知识点拨2.如果函数y=f
3、(x)在区间D上单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.名师点析(1)函数的单调性是函数在某个区间上的性质,这个区间可以是整个定义域,也可以是定义域的一部分,也就是单调区间是定义域的某个子集.(2)对于单独一点,由于它的函数值是唯一确定的常数,没有增减变化,所以不存在单调性问题,因此在书写单调区间时,可以包括端点,也可以不包括端点,但在某些点无意义时,单调区间不能包括这些点.激趣诱思知识点拨微练习1已知四个函数的图象如图所示,其中在定义域内具有单调性的函数是()答案:B 激趣诱思知识点拨微练习2如果(a,b),(c,d)都是
4、函数f(x)的单调递增区间,且x1(a,b),x2(c,d),x1x2,则f(x1)与f(x2)的大小关系是()A.f(x1)f(x2)C.f(x1)=f(x2)D.不能确定解析:根据函数单调性的定义可知,所取的两个自变量的值必须在同一单调区间内才能由函数的单调性比较其函数值的大小,故选D.答案:D激趣诱思知识点拨知识点二、判断函数单调性的步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间M上的单调性的一般步骤:(1)任取x1,x2M,且x10时,该函数在R上是增函数;当k0时,该函数在R上是减函数.(2)二次函数y=ax2+bx+c(a0)的单调性以对称轴x=-为分界线.探究一探究二探究三素养形成当堂
5、检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测延伸探究 已知xR,函数f(x)=x|x-2|,试画出y=f(x)的图象,并结合图象写出函数的单调区间.由图象可知,函数的单调递增区间为(-,1,2,+);单调递减区间为1,2.探究一探究二探究三素养形成当堂检测证明函数的单调性证明函数的单调性例2求证:函数f(x)=x+在区间(0,1)上单调递减.分析x1,x2(0,1),且x1f(x2)即可.探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟 利用定义法证明或判断函数的单调性的步骤 探究一探究二探究三素养形成当堂检测特别提醒作差变形的常用技巧:(1)因式分解.当原函数是多项式函
6、数时,作差后的变形通常进行因式分解.如f(x)=x2-2x-3=(x-3)(x+1).(2)通分.当原函数是分式函数时,作差后往往进行通分,然后对分子进行因式分解.如本例.(3)配方.当所得的差式是含有x1,x2的二次三项式时,可以考虑配方,便于判断符号.(4)分子有理化.当原函数是根式函数时,作差后往往考虑分子有理化.探究一探究二探究三素养形成当堂检测延伸探究 判断并证明本例中的函数f(x)在区间1,+)上的单调性.探究一探究二探究三素养形成当堂检测函数单调性的应用函数单调性的应用例3已知函数f(x)在区间(0,+)上单调递减,试比较f(a2-a+1)与f 的大小.分析要比较两个函数值的大小
7、,需先比较自变量的大小.探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟 函数单调性的应用问题的解题策略(1)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.在利用函数的单调性解决比较函数值大小的问题时,要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上.(2)利用函数的单调性解函数值的不等式就是利用函数在某个区间内的单调性,去掉对应关系“f”,转化为自变量的不等式,此时一定要注意自变量的限制条件,以防出错.探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练已知g(x)是定义在区间-2,2上的增函数,且g(t)g(1-3t),求t的取值范围.探究一探究二探究三素养形成当堂检测分类讨论思想在函数单调性中的分类讨论思想在
8、函数单调性中的应用应用分析要讨论函数的单调性,只需要用定义判定,由于函数中含有参数,因此要注意分类讨论思想的应用.探究一探究二探究三素养形成当堂检测解:设x1,x2是区间(-1,1)内的任意两个自变量,且x10时,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),此时f(x)在区间(-1,1)上单调递减;当a0时,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)0时,函数f(x)在区间(-1,1)上单调递减;当a0时,函数f(x)在区间(-1,1)上单调递增.探究一探究二探究三素养形成当堂检测方法点睛 1.讨论一个含参数的函数的单调性与证明一个函数的单调性的方法类似,都是利用定义,通过运算,判断f(x1
9、)-f(x2)的正负,从而得出结论,若所含参数符号不确定,必须分类讨论.2.本题的规范解答中每一个环节都不能省略,既有开头和结尾形式上的要求,也有对f(x1)-f(x2)的正负判定进行实质性说明.探究一探究二探究三素养形成当堂检测1.函数y=f(x),x-4,4的图象如图所示,则函数y=f(x)的所有单调递减区间为()A.-4,-2B.1,4C.-4,-2,1,4D.-4,-21,4答案:C探究一探究二探究三素养形成当堂检测2.若函数y=(2k+1)x+b在(-,+)上是减函数,则k的取值范围是()解析:当2k+10,即k”“”或“=”)解析:f(x)在区间-2,2上单调递减,且-1f(2).答案:探究一探究二探究三素养形成当堂检测
