1、4.3对数4.3.1对数的概念必备知识必备知识自主学习自主学习导思导思1.1.在指数运算在指数运算1.111.11x x=2=2中，怎样计算指数中，怎样计算指数x x？2.2.对数有哪些性质？对数有哪些性质？1.1.对数的概念对数的概念(1)(1)定义：定义：一般地，如果一般地，如果a ax x=N(a0=N(a0，且，且a1)a1)，那么数，那么数x x叫做以叫做以a a为底为底N N的对数，记作的对数，记作x=_x=_，其中，其中a a叫做对数的底数，叫做对数的底数，N N叫做真数叫做真数.(2)(2)特殊对数：特殊对数：常用对数：以常用对数：以1010为底，记作为底，记作_；自然对数：以
2、自然对数：以e e为底，记作为底，记作_._.logloga aN Nlg Nlg Nln Nln N(3)(3)指数与对数的关系：指数与对数的关系：当当a0a0，a1a1时，时，a ax x=N=N_._.x=logx=loga aN N【思考思考】对数式对数式logloga aN N是不是是不是logloga a与与N N的乘积？的乘积？提示：提示：不是，不是，logaN是一个整体，是求幂指数的一种运算，其运算结果是一个实是一个整体，是求幂指数的一种运算，其运算结果是一个实数数.2.2.对数的性质对数的性质(1)(1)负数和负数和0 0没有没有对数；对数；(2)log(2)loga a1=
3、_1=_；(3)log(3)loga aa=_.a=_.0 01 1【思考思考】你能否推导出对数的性质你能否推导出对数的性质(2)(3)(2)(3)？提示：提示：因为因为a0=1，所以，所以loga1=0；因为因为a1=a，所以，所以logaa=1.3.3.对数恒等式：对数恒等式：=_.=_.【思考思考】对数恒等式中指数的底数与对数的底数有什么关系？对数恒等式中指数的底数与对数的底数有什么关系？提示：提示：指数的底数与对数的底数相等指数的底数与对数的底数相等.alog NaN N【基础小测基础小测】1.1.辨析记忆辨析记忆(对的打对的打“”“”，错的打，错的打“”)”)(1)(1)因为因为(-
4、4)(-4)2 2=16=16，所以，所以loglog(-4)(-4)16=2.16=2.()(2)(2)因为因为3 3x x=81=81，所以，所以loglog81813=x.3=x.()(3)log(3)log2 23=log3=log3 32.2.()提示：提示：(1)(1).对数的底数不能为负值对数的底数不能为负值.(2)(2).应为应为loglog3 381=x.81=x.(3)(3).log.log2 23log3log3 32 2，两个是不同的对数值，两个是不同的对数值.2.2.把对数式把对数式x=logx=log2 23232改写为指数式改写为指数式_._.【解析解析】对数式对
5、数式x=logx=log2 23232改写为指数式为改写为指数式为2 2x x=32.=32.答案：答案：2 2x x=32=323.(3.(教材二次开发：练习改编教材二次开发：练习改编)若若ln eln e-2-2=-x=-x，则，则x=_.x=_.【解析解析】因为因为ln eln e-2-2=-x=-x，所以，所以e e-x-x=e=e-2-2，所以，所以x=2.x=2.答案：答案：2 2关键能力关键能力合作学习合作学习类型一对数的概念及应用类型一对数的概念及应用(数学抽象数学抽象)【题组训练题组训练】1.1.若若a a2 0202 020=b(a0=b(a0且且a1)a1)，则，则()A
6、.logA.loga ab=2 020b=2 020B.logB.logb ba=2 020a=2 020C.logC.log2 0202 020a=ba=bD.logD.log2 0202 020b=ab=a2.2.在在M=logM=log(x-3)(x-3)(x+1)(x+1)中，要使式子有意义，中，要使式子有意义，x x的取值范围为的取值范围为()A.(-A.(-，33B.(3B.(3，4)(44)(4，+)+)C.(4C.(4，+)+)D.(3D.(3，4)4)3.(3.(多选题多选题)下列指数式与对数式的互化中，正确的是下列指数式与对数式的互化中，正确的是()A.10A.100 0=
7、1=1与与lg 10=1lg 10=1B.B.与与 C.logC.log3 39=29=2与与 =3=3D.logD.log5 55=15=1与与5 51 1=5=51312732711log33129【解析解析】1.1.选选A.A.若若a a2 0202 020=b(a0=b(a0且且a1)a1)，则则2 020=log2 020=loga ab.b.2.2.选选B.B.由函数的解析式可得由函数的解析式可得 解得解得3x43x4.x4.3.3.选选BD.BD.在在A A中，中，10100 0=1=1lg 1=0lg 1=0，故，故A A错误；错误；在在B B中，中，loglog2727 ，故
8、，故B B正确；正确；在在C C中，中，loglog3 39=29=23 32 2=9=9，故，故C C错误；错误；在在D D中，中，loglog5 55=15=15 51 1=5=5，故，故D D正确正确.x10 x30 x31，1312731133【解题策略解题策略】关于指数式的范围关于指数式的范围利用式子利用式子logloga ab b 求字母的范围求字母的范围.b0a0a1，【补偿训练补偿训练】在在b=logb=loga a(5-a)(5-a)中，实数中，实数a a的取值范围是的取值范围是()A.a5A.a5或或a0a0B.0a1B.0a1或或1a51a5C.0a1C.0a1D.1a5
9、D.1a5【解析解析】选选B.B.由对数的定义可知由对数的定义可知 解得解得0a50a0 x0，所以所以x=x=，所以，所以正确；正确；由由loglog1010100=x100=x得，得，1010 x x=100.=100.所以所以x=2x=2，所以，所以错误；错误；由由-ln e-ln e2 2=x=x得，得，x=-2x=-2，所以，所以正确；正确；所以正确的题号是所以正确的题号是.2323164162角度角度2 2对数性质的应用对数性质的应用【典例典例】已知已知loglog2 2loglog4 4(log(log3 3x)=logx)=log3 3loglog4 4(log(log2 2y
10、)=0y)=0，则，则x+y=_.x+y=_.【思路导引思路导引】由外向内求出由外向内求出x x，y y后求和后求和.【解析解析】由题意可得由题意可得loglog4 4(log(log3 3x)=1x)=1，所以，所以loglog3 3x=4x=4，所以，所以x=3x=34 4=81=81；同理可得；同理可得loglog4 4(log(log2 2y)=1y)=1，所以，所以loglog2 2y=4y=4，所以所以y=2y=24 4=16=16，所以，所以x+y=97.x+y=97.答案：答案：9797【变式探究变式探究】将等式变为将等式变为loglog2 2loglog4 4(log(log
11、3 3x)=logx)=log3 3loglog4 4(log(log2 2y)=1y)=1，试求，试求x+y.x+y.【解析解析】由题意，由题意，log4(log3x)=2，得，得log3x=16，得，得x=316；log4(log2y)=3，得得log2y=64，得，得y=264.所以所以x+y=316+264.【解题策略解题策略】1.1.关于指数式与对数式的互化关于指数式与对数式的互化指数式与对数式的互化关键是掌握以下的对应关系：指数式与对数式的互化关键是掌握以下的对应关系：2.2.对数性质在求值中的应用对数性质在求值中的应用此类题目一般都有多层，解题方法是利用对数的性质，从外向里逐层求
12、值此类题目一般都有多层，解题方法是利用对数的性质，从外向里逐层求值.【题组训练题组训练】1.(20201.(2020乌鲁木齐高一检测乌鲁木齐高一检测)设设m=logm=loga a3 3，logloga a=n=n，则，则a a2m-n2m-n=()【解析解析】选选C.C.因为因为m=logm=loga a3 3，logloga a=n.=n.所以所以a am m=3=3，a an n=.所以所以a a2m-n2m-n=39A.B.C.D.392mna9a2.2.计算计算loglog3 3loglog3 3(log(log2 28)8)等于等于()A.1A.1B.16B.16C.4C.4D.0
13、D.0【解析解析】选选D.D.令令loglog2 28=x8=x，则，则2 2x x=8=8，所以，所以x=3.x=3.所以所以loglog3 3loglog3 3(log(log2 28)=log8)=log3 3loglog3 33=log3=log3 31=0.1=0.【补偿训练补偿训练】若若loglog2 2loglog2 2(log(log2 2x)=0 x)=0，则，则x=x=()A.2A.2B.4B.4C.1C.1D.D.【解析解析】选选B.B.若若loglog2 2loglog2 2(log(log2 2x)=0 x)=0，则则loglog2 2(log(log2 2x)=1x
14、)=1，则，则loglog2 2x=2x=2，解得：，解得：x=4.x=4.14类型三对数恒等式的应用类型三对数恒等式的应用(数学运算数学运算)【典例典例】1.(1.()2.2.若若x=logx=log4 43 3，则，则2424x x+4+4-x-x=_.=_.21 log22 21A.B.2 C.2 D.2 222【思路导引思路导引】1.1.先利用指数运算性质拆分，再利用对数恒等式求值先利用指数运算性质拆分，再利用对数恒等式求值.2.2.利用指数对数互化表示出利用指数对数互化表示出x x，再代入利用对数恒等式求值，再代入利用对数恒等式求值.【解析解析】1.1.选选A.A.2.2.由由x=l
15、ogx=log4 43 3，则则2424x x+4+4-x-x=2 =2=2 =23+3+答案：答案：221 log2log21122222.22 44log 3log 3444log 311196433193【解题策略解题策略】关于对数恒等式的应用关于对数恒等式的应用首先利用指数运算性质变形，变形为首先利用指数运算性质变形，变形为 的形式，再利用对数恒等式计算的形式，再利用对数恒等式计算求值求值.alog ba【跟踪训练跟踪训练】(2020(2020绍兴高一检测绍兴高一检测)若若a=loga=log2 23 3，则，则2 2a a+2+2-a-a=_.=_.【解析解析】因为因为a=log23
16、，所以，所以2a+2-a=3+答案：答案：22log 3log 3)22（2log 311103.233103课堂检测课堂检测素养达标素养达标1.+log1.+log2 22 2等于等于()A.A.B.3B.3C.4C.4D.5D.5【解析解析】选选D.D.原式原式=4+1=5.=4+1=5.21()2122.(20202.(2020杭州高一检测杭州高一检测)已知已知loglogx x8=38=3，则，则x x的值为的值为()A.A.B.2B.2C.3C.3D.4D.4【解析解析】选选B.B.因为因为loglogx x8=38=3，所以，所以x x3 3=8=8，解得，解得x=2.x=2.12
17、3.(3.(教材二次开发：练习改编教材二次开发：练习改编)若若1010m m=，则，则m=_.m=_.【解析解析】因为因为1010m m=，则，则m=lg .m=lg .答案：答案：lglg 33334.ln(lg 10)=_.4.ln(lg 10)=_.【解析解析】ln(lg 10)=ln 1=0.ln(lg 10)=ln 1=0.答案：答案：0 05.5.若对数若对数ln(xln(x2 2-5x+6)-5x+6)存在，则存在，则x x的取值范围为的取值范围为_._.【解析解析】因为对数因为对数ln(xln(x2 2-5x+6)-5x+6)存在，存在，所以所以x x2 2-5x+60-5x+
18、60，所以解得，所以解得x3x3或或x2x2，即即x x的取值范围为：的取值范围为：(-(-，2)(32)(3，+).).答案：答案：(-(-，2)(32)(3，+)对数的概念对数的概念核心知识核心知识方法总结方法总结易错提醒易错提醒核心素养核心素养变形：对于不能够直接应用对数恒变形：对于不能够直接应用对数恒等式求解的情况，需借助指数幂的等式求解的情况，需借助指数幂的运算性质进行变形运算性质进行变形对数式与指数式互化时，注对数式与指数式互化时，注意字母的位置的变化意字母的位置的变化对数式的书写要规范，特别对数式的书写要规范，特别是底数的书写是底数的书写逻辑推理：通过对数概念的逻辑推理：通过对数概念的形成，培养逻辑推理的核心形成，培养逻辑推理的核心素养素养数学运算：通过对数的运算数学运算：通过对数的运算及对数性质的运用，培养数及对数性质的运用，培养数学运算的核心素养学运算的核心素养概念概念对数恒等式对数恒等式性质性质
