1、一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面二、曲面的切平面与法线二、曲面的切平面与法线第七节第七节 多元微分学的几何应用多元微分学的几何应用第十章第十章 多元函数微分学多元函数微分学一、一、空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 定义定义 设 是空间曲线 上的一个定点。引割线 ，当点 沿曲线 趋向 时，割线 的极限位置 (如果极限存在的话)称为曲线 在点 处的切线。过点 且垂直于切线的平面N，称为曲线 在点 处的法平面。下面求空间曲线 的切线和法平面的方程。0M01M M1M0M0M T0M0M0M考察空间曲线考察空间曲线)()(:ttrr其中 ，在 上存在，且不同时为零。)(
2、),(),()(),(tztytxtrzyxr(),(),()x ty tz tt 考察曲线 上对应 的点为 及对应于 的点 ，则割线 的方程为0tt0000(,)Mxyz0ttt1000(,)Mxx yy zz01M M000 xxyyzzxyz上式的分母各除以 ，得t000 xxyyzzxyzttt它仍为割线 的方程，令 (这时 )，对上式各取极限，即得曲线在点 处的切线方程为01M M10MM0t 0M000000()()()xxyyzzx ty tz t 如果上式的个别分母在 处为零，那么按空间解析几何中有关直线的对称式方程的说明来理解。0t 由法平面的定义可知，它是过点 且以 为法向
3、量 的平面，于是曲线在点的法平面方程为 0MT0M000000()()()()()()0 x txxy tyyz tzz0)(),(00trrtr或表示为例例1 求螺旋线：在 对应的点处的切线和法平面方程(a，b为常数)。cos,sin,xat yat zbt2t22222()sin,()cos0,().tttttx tatay tatz tb 20bzxyaab即2220axbzb解解 2t0(0,)2bMa0M当 时，对应点是 ，因此在 处切线方程为(),()()yy xzz xaxb如果空间曲线 的方程由的形式给出。此时，可以把它看成以 作为参数的参数方程形式x,(),()()xxyy
4、xzz xaxb设 在 处可导，根据上面的讨论，可知道曲线 在点 处的切线方程为(),()y xz x0 xx0000(,)Mxyz000001()()xxyyzzy xz x其中 。在点 处的法平面方程为 0000(),()yy xzz x0M00000()()()()()0 xxy xyyz xzz例例2 求曲线 在点 处切线及法平面方程。2226,0 xyzxyz(1,2,1)1dydzyzxdxdxdydzdxdx 由此得1111,1111xzyxdyzxdzxyyzyzdxyzdxyz解解 x(),()yy x zz zx在方程组中把 看作自变量，而 ，将所给方程组的两边对 求导并移
5、项，得(1,2,1)(1,2,1)0,1dydzdxdx 从而得到切向量T1,0,1故所求切线方程为法平面方程为 即 。121101xyz(1)1(1)0 xz0 xz故若 在 上具有连续导数，且 那么 在其上每一点处有切线，而且切向量 在 上是连续变化的，我们称这样的曲线为光滑光滑曲线曲线。(),(),()x ty tz tt 222()()()0 xtytzt(),(),()x ty tz tTt 设 为空间曲线：(),(),()xx tyy tzz tt 二、曲面的切平面与法线二、曲面的切平面与法线000000000000(,)()(,)()(,)()0 xyzF x y zxxF x
6、y zyyF x y zzz000000000000(,)(,)(,)xyzxxyyzzF xy zF xy zF xy z(,)0F x y z 设曲面 的方程为(,)F x y z0000(,)Mxyz 为曲面 上的定点，并设 在该点的偏导数连续且不同时为零。0M 则曲面 上在过点 的切平面的方程为0000(,)Mxyz通过点 且垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线.法线的方程为其中 和z是法线上动点的坐标。,x y垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量法向量。向量000000000(,),(,),(,)xyzF xyzF xyzF xyzn特别地，曲面 的方程为(,)zf x y令(
7、,)(,)F x y zzf x y0M就是曲面 在点 处的一个法向量。可见(,)(,)xxF x y zfx y(,)(,)yyF x y zfx y(,)1zF x y z 0000000(,)()(,)()xyzzfxyxxfxyyy法线方程为0000000(,)(,)1xyxxyyzzfxyfxy于是，当函数 的偏导数 在点 处连续时，曲面 在点 的切平面方程为(,)f x y(,),(,)xyfx yfx y00(,)xy0000(,)Mxyz(,)zf x y在点 处法向量为0000(,)Mxyz0000000(,)(,),(,),1xynF xyzfxyfxy 如果用 表示法线的
8、方向角，则法向量的方向余弦为,22cos1xxyfff22cos1yxyfff221cos1xyff其中 分别表示 .由上式可知 ，表示法向量与z轴的正向夹角为锐角，法向量的方向是向上的。,xyff0000(,)(,)xyfxyfxy、cos0例例3 求椭球面 在点 处的切平面和法线方程。222131227xyz0(1,2,3)M222(,)131227xyzF x y z 2(,)3xF x y zx1(,)6yF x y zy2(,)27zF x y zz000212,339xyzMMMFFF解解设 得02 1 2,3 3 9Mn因此，在点 处的切平面方程为 0M212(1)(2)(3)0339xyz63218xyz即123632xyz法线方程为例例4 求旋转抛物面 在点 处的切平面及法线方程。221zxy0(2,1,4)M22(,)1f x yxy2,2xyfx fy2,2,1xy n04,2,1M n4(2)2(1)(4)0 xyz解解设 得0M因此，在点 处的切平面方程为法线方程为即 。4260 xyz214421xyz(,)0F x y z(,)xyzFF F F n一般来说，对曲面 ：2220 xyzFFF若F有连续偏导数且 ，那么 上的每点都有切平面，而且法向量是连续变化的，称这样的曲面为光滑曲面光滑曲面。
