1、第二节 直线的交点坐标与距离公式三年三年2 2考考 高考指数高考指数:1.1.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；2.2.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离行直线间的距离.1.1.两点间距离公式、点到直线的距离公式两点间距离公式、点到直线的距离公式,两平行线间的距离公两平行线间的距离公式是高考的重点；式是高考的重点；2.2.常与圆、椭圆、双曲线、抛物线交汇命题；常与圆、椭圆、双曲线、抛物线交汇命题；3.3.多以选择题和填空题为主，有时与其他知识点交汇，在解答多
2、以选择题和填空题为主，有时与其他知识点交汇，在解答题中考查题中考查.1.1.两条直线的交点两条直线的交点直线直线l1 1：A A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1=0=0与与l2 2：A A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0=0的公共点的坐标与方的公共点的坐标与方程组程组 的解一一对应的解一一对应.相交相交方程组有方程组有_，交点坐标就是方程组的解；，交点坐标就是方程组的解；平行平行方程组方程组_；重合重合方程组有方程组有_.111222A xB yC0A xB yC0唯一解唯一解无解无解无数组解无数组解【即时应用即时应用】(1)(1)思考：如何用两直线的交点判断两直线的位
3、置关系？思考：如何用两直线的交点判断两直线的位置关系？提示：提示：当两直线有一个交点时，两直线相交；没有交点时，两当两直线有一个交点时，两直线相交；没有交点时，两直线平行；有无数个交点时，两直线重合直线平行；有无数个交点时，两直线重合.(2)(2)直线直线l1 1：5x+2y-6=05x+2y-6=0与与l2 2：3x-5y-16=03x-5y-16=0的交点的交点P P的坐标是的坐标是_._.【解析解析】由直线由直线l1 1与与l2 2所组成的方程组所组成的方程组得：得：，直线直线l1 1：5x+2y-6=05x+2y-6=0与与l2 2：3x-5y-16=03x-5y-16=0的交点的交点
4、P P的的坐标是坐标是(2,-2).(2,-2).答案：答案：(2,-2)(2,-2)5x2y603x5y 160 x2y2(3)(3)直线直线l1 1：5x+2y-6=05x+2y-6=0与与l2 2：5x+2y-16=05x+2y-16=0的位置关系是的位置关系是_._.【解析解析】由直线由直线l1 1与与l2 2所组成的方程组所组成的方程组 无解，无解，直线直线l1 1与与l2 2平行平行.答案：答案：平行平行5x2y605x2y 1602.2.距离距离两条平行线两条平行线Ax+By+CAx+By+C1 1=0 0与与AxAx +ByBy+C C2 2 =0 0间的距离间的距离点点P P
5、0 0(x x0 0,y y0 0)到直线到直线l:AxAx +By+C+By+C=0 0的距的距离离点点P P1 1(x x1 1,y y1 1),),P P2 2(x x2 2,y y2 2)之间的距之间的距离离22122121PP(x -x)(y -y)0022 Ax By Cd A B1222C -Cd A B【即时应用即时应用】(1)(1)原点到直线原点到直线x+2y-5=0 x+2y-5=0的距离是的距离是_；(2)(2)已知已知A(a,-5)A(a,-5)，B(0,10)B(0,10)，|AB|=17|AB|=17，则，则a=_a=_；(3)(3)两平行线两平行线y=2xy=2x
6、与与2x-y=-52x-y=-5间的距离为间的距离为_._.【解析解析】(1)(1)因为因为d=d=(2)(2)依题设及两点间的距离公式得：依题设及两点间的距离公式得：=17,=17,解得：解得：a=a=8 8；(3)(3)因为两平行线方程可化为：因为两平行线方程可化为：2x-y=02x-y=0与与2x-y+5=0.2x-y+5=0.因此，两平行线间的距离为：因此，两平行线间的距离为：d=d=答案：答案：(1)(2)(1)(2)8 (3)8 (3)2202 055.12 22a05 10 22505.2155 两直线的交点问题两直线的交点问题【方法点睛方法点睛】1.1.两直线交点的求法两直线交
7、点的求法求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点方程组的解为坐标的点即为交点.2.2.过直线过直线A A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1=0=0与与A A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0=0交点的直线系方程交点的直线系方程A A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1+(A+(A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2)=0.()=0.(不包括直线不包括直线A A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0)=0)【例例1 1】(1)(2012 (1)(2012 广州模
8、拟广州模拟)经过点经过点(2(2，3)3)且经过两条直线且经过两条直线l1 1:x+3y-4=0,:x+3y-4=0,l2 2:5x+2y+6=0:5x+2y+6=0的交点的直线方程为的交点的直线方程为_._.(2)(2)已知两直线已知两直线l1 1：mx+8y+n=0mx+8y+n=0与与l2 2：2x+my-1=02x+my-1=0，若，若l1 1与与l2 2相交，相交，求实数求实数m m、n n满足的条件满足的条件.【解题指南解题指南】(1)(1)可求出两直线的交点坐标，用两点式解决；也可求出两直线的交点坐标，用两点式解决；也可用过两直线交点的直线系解决；可用过两直线交点的直线系解决；(
9、2)(2)两直线相交可考虑直线斜两直线相交可考虑直线斜率之间的关系，从而得到率之间的关系，从而得到m m、n n满足的条件满足的条件.【规范解答规范解答】(1)(1)方法一：解方程组方法一：解方程组 ,得得l1 1与与l2 2的交点是的交点是(-2(-2，2)2)，由两点式得所求直线的方程为，由两点式得所求直线的方程为 ,即即x-4y+10=0.x-4y+10=0.方法二：由于点方法二：由于点(2,3)(2,3)不在直线不在直线5x+2y+6=05x+2y+6=0上，故设所求直线方上，故设所求直线方程为：程为：x+3y-4+(5x+2y+6)=0(R)x+3y-4+(5x+2y+6)=0(R)
10、点点(2(2，3)3)在直线上，在直线上，2+32+33-4+(53-4+(52+22+23+6)=0,3+6)=0,x3y405x2y60y3x22322 7.22 x2.y2 故所求直线方程为故所求直线方程为x+3y-4+(-)(5x+2y+6)=0,x+3y-4+(-)(5x+2y+6)=0,即即x-4y+10=0.x-4y+10=0.(2)(2)因为两直线因为两直线l1 1：mx+8y+n=0mx+8y+n=0与与l2 2：2x+my-1=02x+my-1=0相交，相交，因此，当因此，当m=0m=0时，时，l1 1的方程为的方程为 ，l2 2的方程为的方程为x=x=，两直，两直线相交，
11、此时，实数线相交，此时，实数m m、n n满足的条件为满足的条件为m=0m=0，nRnR；当；当m0m0时，时，两直线相交，两直线相交，解得，解得mm4 4，此时，实数，此时，实数m m、n n满足满足的条件为的条件为mm4 4，nR.nR.722ny8 12m82m【互动探究互动探究】本例本例(1)(1)中的中的“经过点经过点(2,3)”(2,3)”改为改为“与直线与直线2x-2x-y=0y=0垂直垂直”,求该直线方程求该直线方程.【解析解析】方法一：因为两直线方法一：因为两直线l1 1与与l2 2的交点坐标为的交点坐标为(-2(-2，2).2).由题意可知所求直线的斜率由题意可知所求直线的
12、斜率故所求直线方程为：故所求直线方程为：，即，即x+2y-2=0.x+2y-2=0.方法二：设所求直线为方法二：设所求直线为x+3y-4+(5x+2y+6)=0(R),x+3y-4+(5x+2y+6)=0(R),即即(1+5)x+(3+2)y-4+6=0.(1+5)x+(3+2)y-4+6=0.又因为此直线与直线又因为此直线与直线2x-y=02x-y=0垂直，所以所求直线的斜率垂直，所以所求直线的斜率1k.2 1y2(x2)2 1k.2 即有即有解得解得所求直线方程为所求直线方程为x+2y-2=0.x+2y-2=0.答案：答案：x+2y-2=0 x+2y-2=01 51.322 1.8【反思反
13、思感悟感悟】1.1.本例本例(1)(1)中是求直线方程中是求直线方程,其关键是寻找确定其关键是寻找确定直线的两个条件直线的两个条件,可以直接求交点可以直接求交点,利用两点式得出方程利用两点式得出方程,此法要此法要注意两点的纵注意两点的纵(或横或横)坐标相同时坐标相同时,两点式方程不适用两点式方程不适用,也可以利也可以利用直线系方程求解用直线系方程求解,其关键是利用已知点求其关键是利用已知点求的值的值;2.2.考查两直线相交的条件考查两直线相交的条件,即斜率不等或有一条直线的斜率不存即斜率不等或有一条直线的斜率不存在在.【变式备选变式备选】当当m m为何值时，三条直线为何值时，三条直线l1 1：
14、4x+y-3=04x+y-3=0与与l2 2：x+y=0,x+y=0,l3 3：2x-3my-4=02x-3my-4=0能围成一个三角形能围成一个三角形?【解析解析】三条直线能围成三角形即三条直线两两相交且不共三条直线能围成三角形即三条直线两两相交且不共点，所以点，所以 解得：解得：m m 且且m m ；又因为又因为l1 1：4x+y-3=04x+y-3=0与与l2 2：x+y=0 x+y=0的交点为的交点为(1,-1)(1,-1)，所以，所以2+3m-2+3m-4040，解得，解得2m43(m0)213m ，16232m3；当当m=0m=0时，时，l3 3:2x-4=0,:2x-4=0,l1
15、 1:4x+y-3=0,:4x+y-3=0,l2 2:x+y=0,:x+y=0,l1 1与与l3 3的交点为的交点为(2,-5)(2,-5)，l1 1与与l2 2的交点为的交点为(1,-1),(1,-1),l2 2与与l3 3的交点为的交点为(2,-2)(2,-2)，能构成三角形，符合题意能构成三角形，符合题意.综上可知：综上可知：且且12m,m63 2m.3 距离公式的应用距离公式的应用【方法点睛方法点睛】1.1.两点间的距离的求法两点间的距离的求法设点设点A(xA(xA A,y,yA A),B(x),B(xB B,y,yB B)，|AB|=|AB|=特例：特例：ABxABx轴时，轴时，|A
16、B|=|y|AB|=|yA A-y-yB B|AByABy轴时，轴时，|AB|=|x|AB|=|xA A-x-xB B|.|.22ABABxxyy.2.2.点到直线的距离的求法点到直线的距离的求法可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式必须为一般式.3.3.两平行直线间的距离的求法两平行直线间的距离的求法(1)(1)利用利用“化归化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离意一点到另一条直线的距离.(2)(2)利用两平行线间的距离公式利用两平行线间的
17、距离公式.【提醒提醒】应用两平行线间的距离公式求距离时应用两平行线间的距离公式求距离时,要注意两平行直要注意两平行直线方程中线方程中x x、y y的系数必须相等的系数必须相等.【例例2 2】已知三条直线已知三条直线l1 1:2x-y+a=0(a:2x-y+a=0(a0),0),l2 2:-4x+2y+1=0:-4x+2y+1=0和和l3 3:x+y-1=0:x+y-1=0，且，且l1 1与与l2 2的距离是的距离是(1)(1)求求a a的值；的值；(2)(2)能否找到一点能否找到一点P,P,使使P P同时满足下列三个条件：同时满足下列三个条件：P P是第一象限的点；是第一象限的点；P P点到点
18、到l1 1的距离是的距离是P P点到点到l2 2的距离的的距离的P P点到点到l1 1的距离与的距离与P P点到点到l3 3的距离之比是的距离之比是 .若能，求若能，求P P点坐点坐标；若不能，说明理由标；若不能，说明理由.7 5.101;225【解题指南解题指南】(1)(1)由由l1 1与与l2 2的距离及两平行线之间的距离公式，可的距离及两平行线之间的距离公式，可得关于得关于a a的方程，解方程即可得出的方程，解方程即可得出a a的值；的值；(2)(2)由点由点P(xP(x0 0,y,y0 0)满足条件可得出关于满足条件可得出关于x x0 0、y y0 0的方程组，解方的方程组，解方程组，
19、即可求出点程组，即可求出点P P的坐标，注意验证是否适合条件的坐标，注意验证是否适合条件.【规范解答规范解答】(1)(1)l2 2为为l1 1与与l2 2的距离为的距离为d=d=aa0,a=3.0,a=3.(2)(2)设存在第一象限的点设存在第一象限的点P(xP(x0 0,y,y0 0)满足条件满足条件,则则P P点在与点在与l1 1、l2 2平平行的直线行的直线l:2x-y+c=0:2x-y+c=0上且上且12xy0,2221|a()|7 52.1021 1|c|c312,255即即c=c=或或 或或若若P P点满足条件，由点到直线的距离公式有：点满足条件，由点到直线的距离公式有：即即|2x
20、|2x0 0-y-y0 0+3+3=|x=|x0 0+y+y0 0-1|,-1|,xx0 0-2y-2y0 0+4=0+4=0或或3x3x0 0+2=0.+2=0.PP在第一象限，在第一象限，3x3x0 0+2=0+2=0不可能不可能.13211c,600132xy0200112xy0.600002xy3xy12,552联立方程联立方程 和和x x0 0-2y-2y0 0+4=0,+4=0,解得解得由由 ，得，得存在存在P()P()同时满足条件同时满足条件.00132xy0200 x3,1y2 舍去，0000112xy06x2y40001x937y18，1 37,9 18【反思反思感悟感悟】在
21、解答本题时，首先要根据题设条件，由点到在解答本题时，首先要根据题设条件，由点到直线的距离公式、两平行线间的距离公式得出方程直线的距离公式、两平行线间的距离公式得出方程(组组)，这是，这是很关键的问题；另外，还要注意每种距离公式所要求的条件，很关键的问题；另外，还要注意每种距离公式所要求的条件，以防漏解、错解以防漏解、错解.【变式训练变式训练】已知已知A(4,-3),B(2,-1)A(4,-3),B(2,-1)和直线和直线l:4x+3y-2=0:4x+3y-2=0，在坐标，在坐标平面内求一点平面内求一点P P，使，使PAPA=|PB|=|PB|，且点，且点P P到直线到直线l的距离为的距离为2.
22、2.【解析解析】设点设点P P的坐标为的坐标为(a,b).(a,b).A(4A(4，-3)-3)，B(2,-1)B(2,-1)，线段线段ABAB的中点的中点M M的坐标为的坐标为(3(3，-2)-2)，线段线段ABAB的垂直平分线方程为的垂直平分线方程为y+2=x-3,y+2=x-3,即即x-y-5=0.x-y-5=0.由题意知点由题意知点P(a,b)P(a,b)在上述直线上，在上述直线上，a-b-5=0.a-b-5=0.又点又点P(a,b)P(a,b)到直线到直线l：4x+3y-2=04x+3y-2=0的距离为的距离为2 2，,即即4a+3b-2=4a+3b-2=10,10,联立可得联立可得
23、 或或所求点所求点P P的坐标为的坐标为(1(1，-4)-4)或或().().4a3b225a1b4 27a7.8b7 278,77【变式备选变式备选】过点过点P(-1,2)P(-1,2)引一直线，两点引一直线，两点A(2,3)A(2,3)，B(-4,5)B(-4,5)到到该直线的距离相等，求这条直线的方程该直线的距离相等，求这条直线的方程.【解析解析】方法一：当斜率不存在时，过点方法一：当斜率不存在时，过点P(-1,2)P(-1,2)的直线方程为：的直线方程为：x=-1x=-1，A(2,3)A(2,3)到到x=-1x=-1的距离等于的距离等于3 3，且，且B(-4,5)B(-4,5)到到x=
24、-1x=-1的距离也的距离也等于等于3 3，符合题意；，符合题意；当直线的斜率存在时，设斜率为当直线的斜率存在时，设斜率为k k，过点，过点P(-1,2)P(-1,2)的直线方程为：的直线方程为：y-2=k(x+1)y-2=k(x+1)，即，即kx-y+k+2=0kx-y+k+2=0，依题设知：依题设知：解上式得：解上式得：所以，所求直线方程为：所以，所求直线方程为：x+3y-5=0 x+3y-5=0；综上可知综上可知,所求直线方程为所求直线方程为x=-1x=-1或或x+3y-5=0.x+3y-5=0.方法二：依题设知：符合题意的直线共有两条，一条是过点方法二：依题设知：符合题意的直线共有两条
25、，一条是过点P(-1,2)P(-1,2)与与ABAB平行的直线，另一条是过点平行的直线，另一条是过点P P及及ABAB中点的直线中点的直线.因为因为A(2,3)A(2,3)，B(-4,5)B(-4,5)，所以，所以222k3k24k5k2,k1k1 1k3 ，AB351k243，因此，过点因此，过点P P与与ABAB平行的直线的方程为：平行的直线的方程为：即即x+3y-5=0;x+3y-5=0;又因为又因为A(2,3)A(2,3)，B(-4,5)B(-4,5)的中点坐标的中点坐标D(-1,4)D(-1,4)，所以过点所以过点P P及及ABAB中点的直线方程为中点的直线方程为x=-1x=-1；综
26、上可知综上可知,所求直线方程为所求直线方程为x=-1x=-1或或x+3y-5=0.x+3y-5=0.1y2x1,3 对称问题对称问题【方法点睛方法点睛】1.1.对称中心的求法对称中心的求法若两点若两点A(xA(x1 1,y,y1 1)、B(xB(x2 2,y,y2 2)关于点关于点P(a,b)P(a,b)对称，则由中点坐标公对称，则由中点坐标公式求得式求得a a、b b的值，即的值，即1212xxyyab22，；2.2.轴对称的两个公式轴对称的两个公式若两点若两点M(xM(x1 1,y,y1 1)、N(xN(x2 2,y,y2 2)关于直线关于直线l：Ax+By+C=0(A0)Ax+By+C=
27、0(A0)对称，对称，则线段则线段MNMN的中点在对称轴的中点在对称轴l上，而且连接上，而且连接MNMN的直线垂直于对称轴的直线垂直于对称轴l.故有故有12121212xxyyA()B()C0 22.yyB xxA3.3.对称问题的具体应用对称问题的具体应用(1)(1)在直线上求一点，使它到两定点距离之和最小问题在直线上求一点，使它到两定点距离之和最小问题当两定点分别在直线的异侧时，两点连线与直线的交点即为当两定点分别在直线的异侧时，两点连线与直线的交点即为所求所求;当两定点在直线的同一侧时，可借助于点关于直线对称，将当两定点在直线的同一侧时，可借助于点关于直线对称，将问题转化为情形来解决问题
28、转化为情形来解决.(2)(2)在直线上求一点，使它到两定点距离之差的绝对值最大问题在直线上求一点，使它到两定点距离之差的绝对值最大问题当两定点在直线的同一侧时，利用三角形的两边之差小于第当两定点在直线的同一侧时，利用三角形的两边之差小于第三边，可知两定点的连线与直线的交点即为所求三边，可知两定点的连线与直线的交点即为所求;当两定点分别在直线的异侧时，可借助于点关于直线对称，当两定点分别在直线的异侧时，可借助于点关于直线对称，将问题转化为情形解决将问题转化为情形解决.【例例3 3】求直线求直线a a：2x+y-4=02x+y-4=0关于直线关于直线l：3x+4y-1=03x+4y-1=0对称的直
29、线对称的直线b b的方程的方程.【解题指南解题指南】本题实质上是求直线的方程，可设法找到两个点本题实质上是求直线的方程，可设法找到两个点的坐标，再由两点式即可求出方程；本题还可利用求曲线方程的坐标，再由两点式即可求出方程；本题还可利用求曲线方程的方法求解，设所求曲线上任意一点，由该点关于直线的方法求解，设所求曲线上任意一点，由该点关于直线l的对称的对称点在已知曲线上，即可求得点在已知曲线上，即可求得.【规范解答规范解答】方法一：由方法一：由 解得直线解得直线a a与与l的交点的交点E(3,-2)E(3,-2)，E E点也在直线点也在直线b b上上.在直线在直线a a：2x+y-4=02x+y-
30、4=0上取一点上取一点A(2,0)A(2,0)，设，设A A点关于直线点关于直线l的对称点的对称点B B的坐标为的坐标为(x(x0 0,y,y0 0)，由由解得解得2xy403x4y 10 0000y04x23,2x0y341022 48B().55，由两点式得直线由两点式得直线b b的方程为的方程为即即2x+11y+16=0.2x+11y+16=0.方法二：设直线方法二：设直线b b上的动点上的动点P(x,y)P(x,y)关于关于l：3x+4y-1=03x+4y-1=0的对的对称点为称点为Q(xQ(x0 0,y,y0 0).).则则y2x3842355 ，0000yy4xx3,xxyy341
31、022 解上式得：解上式得：由于由于Q(xQ(x0 0,y,y0 0)在直线在直线a a：2x+y-4=02x+y-4=0上，则上，则化简得化简得2x+11y+16=02x+11y+16=0是所求的直线是所求的直线b b的方程的方程.007x24y6x25,24x7y8y257x24y624x7y8240,2525【反思反思感悟感悟】1.1.此题是求直线关于直线对称的直线方程问题，此题是求直线关于直线对称的直线方程问题，通过求解本题，我们可体会到求直通过求解本题，我们可体会到求直(曲曲)线的对称直线的对称直(曲曲)线方程线方程时可以转化为求点的对称点坐标来求解时可以转化为求点的对称点坐标来求解
32、.2.2.利用两点式求直线方程要注意两点横坐标相等或纵坐标相等利用两点式求直线方程要注意两点横坐标相等或纵坐标相等的情形，此时可直接写出直线方程的情形，此时可直接写出直线方程.【变式训练变式训练】(1)(1)在直线在直线l：3x-y-1=03x-y-1=0上求一点上求一点P P，使得使得P P到到A(4,1)A(4,1)和和B(0,4)B(0,4)的距离之差最大；的距离之差最大；(2)(2)在直线在直线l：3x-y-1=03x-y-1=0上求一点上求一点Q Q，使得，使得Q Q到到A(4A(4，1)1)和和C(3C(3，4)4)的距离之和最小的距离之和最小.【解析解析】(1)(1)如图甲所示，
33、设点如图甲所示，设点B B关于关于l的对称点为的对称点为BB，连接，连接ABAB并延长交并延长交l于于P P，此时的，此时的P P满足满足|PA|-|PB|PA|-|PB|的值最大的值最大.设设BB的坐标为的坐标为(a,b),(a,b),则则即即a+3b-12=0,a+3b-12=0,又由于线段又由于线段BBBB的中点坐标为的中点坐标为(),(),且在直线且在直线l上，上，BBkk1.lb431,aa b4,22 ,即即3a-b-6=0.3a-b-6=0.联立，解得联立，解得a=3,b=3,B(3,3).a=3,b=3,B(3,3).于是于是ABAB的方程为的方程为即即2x+y-9=0,2x+
34、y-9=0,解解 得得所求所求P P点的坐标为点的坐标为(2(2，5).5).ab431022 y 1x43 134，3xy 10,2xy90 x2,y5(2)(2)如图乙所示，设如图乙所示，设C C关于关于l的对称点为的对称点为CC，连接，连接ACAC与与l交交于点于点Q Q，此时的，此时的Q Q满足满足|QA|+|QC|QA|+|QC|的值最小的值最小.设设CC的坐标为的坐标为(x,y),(x,y),解得解得 C().C().由两点式得直线由两点式得直线ACAC的方程为的方程为y431x3.x3y431022 3x5.24y5 3 24,55y 1x4.2431455即即19x+17y-9
35、3=0.19x+17y-93=0.解解 ,得得所求所求Q Q点的坐标为点的坐标为().().19x17y9303xy 10 11x7.26y711 2677，【创新探究创新探究】新定义下的直线方程问题新定义下的直线方程问题【典例典例】(2012(2012上海模拟上海模拟)在平面直角坐标系中，设点在平面直角坐标系中，设点P(x,y)P(x,y)，定义定义OP=|x|+|y|OP=|x|+|y|，其中，其中O O为坐标原点为坐标原点.对于以下结论：符合对于以下结论：符合OP=1OP=1的点的点P P的轨迹围成的图形的面积的轨迹围成的图形的面积为为2 2；设设P P为直线为直线 x+2y-2=0 x
36、+2y-2=0上任意一点，则上任意一点，则OPOP的最小值为的最小值为1 1；其中正确的结论有其中正确的结论有_(_(填上你认为正确的所有结论的序号填上你认为正确的所有结论的序号).).5【解题指南解题指南】根据新定义，讨论根据新定义，讨论x x的取值，得到的取值，得到y y与与x x的分段函的分段函数关系式，画出分段函数的图象，即可求出该图形的面积；认数关系式，画出分段函数的图象，即可求出该图形的面积；认真观察直线方程，可举一个反例，得到真观察直线方程，可举一个反例，得到OPOP的最小值为的最小值为1 1是假命是假命题题.【规范解答规范解答】由由OP=1OP=1，根据新定义得：，根据新定义得
37、：|x|+|y|=1,|x|+|y|=1,上式可化为：上式可化为：y=-x+1(0 x1)y=-x+1(0 x1)，y=-x-1(-1y=-x-1(-1x0)x0)，y=x+1(-1x0)y=x+1(-1x0)，y=x-1(0 x1),y=x-1(0 x1),画出图象如图所示：画出图象如图所示：根据图形得到：四边形根据图形得到：四边形ABCDABCD为边长是为边长是 的正方形，所以面积等的正方形，所以面积等于于2 2，故正确；，故正确；当点当点P P为为(，0)0)时，时，OP=|x|+|y|=+0OP=|x|+|y|=+01,1,所以所以OPOP的的最小值不为最小值不为1 1，故错误；，故错
38、误；所以正确的结论有：所以正确的结论有：.答案：答案：22525【阅卷人点拨阅卷人点拨】通过对本题的深入研究，我们可以得到以下创通过对本题的深入研究，我们可以得到以下创新点拨和备考建议：新点拨和备考建议：创创新新点点拨拨本题有以下两处创新点本题有以下两处创新点(1)(1)考查内容的创新，对解析几何问题与函数知识巧考查内容的创新，对解析几何问题与函数知识巧妙结合进行考查妙结合进行考查.(2)(2)考查对新定义、新概念的理解与运用的同时考查考查对新定义、新概念的理解与运用的同时考查思维的创新思维的创新,本题考查了学生的发散思维，思维方向本题考查了学生的发散思维，思维方向与习惯思维有所不同与习惯思维
39、有所不同.备备考考建建议议解决新概念、新定义的创新问题时，要注意以下几点：解决新概念、新定义的创新问题时，要注意以下几点：(1)(1)充分理解概念、定理的内涵与外延；充分理解概念、定理的内涵与外延；(2)(2)对于新概念、新结论要具体化，举几个具体的例对于新概念、新结论要具体化，举几个具体的例子，代入几个特殊值；子，代入几个特殊值；(3)(3)注意新概念、新结论正用怎样，逆用又将如何，注意新概念、新结论正用怎样，逆用又将如何，变形将会如何变形将会如何.1.(20121.(2012珠海模拟珠海模拟)直线直线l1 1的斜率为的斜率为2,2,l1 1l2 2，直线，直线l2 2过点过点(-1,1)(
40、-1,1)且与且与y y轴交于点轴交于点P P，则，则P P点坐标为点坐标为()()(A)(3(A)(3，0)(B)(-30)(B)(-3，0)(C)(00)(C)(0，-3)(D)(0-3)(D)(0，3)3)【解析解析】选选D.D.点点P P在在y y轴上，轴上，设设P(0,y),P(0,y),又又y=3,P(0,3).y=3,P(0,3).112k2,lll2y 1ky 12,01 l2.(20122.(2012韶关模拟韶关模拟)若三条直线若三条直线l1 1:x+y=7,:x+y=7,l2 2:3x-y=5,:3x-y=5,l3 3:2x+y+c=0:2x+y+c=0不能围成一个三角形，
41、则不能围成一个三角形，则c c的值为的值为_._.【解析解析】l1 1、l2 2、l3 3的斜率都不相等，的斜率都不相等，l1 1、l2 2、l3 3中的任两条都不平行中的任两条都不平行.又又l1 1、l2 2、l3 3不能围成一个三角形，不能围成一个三角形，l1 1、l2 2、l3 3相交于一点相交于一点.由由 ,得得2 23+4+c=03+4+c=0，解得解得c=-10.c=-10.答案：答案：-10-10 xy73xy5x3y4，3.(20123.(2012广州模拟广州模拟)设直线设直线l经过点经过点A(-1,1)A(-1,1)，则当点，则当点B(2,-1)B(2,-1)与与直线直线l的
42、距离最远时，直线的距离最远时，直线l的方程为的方程为_._.【解析解析】当当l与过两点的直线垂直时，与过两点的直线垂直时，B(2,-1)B(2,-1)与直线与直线l的距离最的距离最远，因为远，因为k kABAB=，所以，所以 ,因此所求直线的方程因此所求直线的方程为：为：y-1=(x+1)y-1=(x+1)，即，即3x-2y+5=0.3x-2y+5=0.答案：答案：3x-2y+5=03x-2y+5=01 12123 3k2l324.(20114.(2011安徽高考安徽高考)设直线设直线l1 1:y=k:y=k1 1x+1x+1，l2 2:y=k:y=k2 2x-1x-1，其中实数，其中实数k
43、k1 1，k k2 2满足满足k k1 1k k2 2+2=0.+2=0.(1)(1)证明证明l1 1与与l2 2相交；相交；(2)(2)证明证明l1 1与与l2 2的交点在椭圆的交点在椭圆2x2x2 2+y+y2 2=1=1上上.【解题指南解题指南】(1)(1)注意两直线相交的定义，可用反证法；先假设注意两直线相交的定义，可用反证法；先假设l1 1与与l2 2不相交不相交,之后推出矛盾之后推出矛盾.(2).(2)可以求出交点，代入方程；也可可以求出交点，代入方程；也可消去参数消去参数k k1 1、k k2 2，得出椭圆方程，得出椭圆方程.【证明证明】(1)(1)(反证法反证法)假设假设l1
44、1与与l2 2不相交，则不相交，则l1 1与与l2 2平行，有平行，有k k1 1k k2 2，代入代入k k1 1k k2 2+2=0+2=0，得，得此与此与k k1 1为实数的事实相矛盾为实数的事实相矛盾.从而从而k k1 1kk2 2，即，即l1 1与与l2 2相交相交.(2)(2)方法一：由方程组方法一：由方程组 得得得交点得交点P P的坐标的坐标(x,y)(x,y)为为而而21k20.12yk x1yk x12121212xkkkkykk212121kk2(,)kkkk2222212121kk22xy2()()kkkk此即表明交点在椭圆此即表明交点在椭圆2x2x2 2+y+y2 2=1=1上上.方法二方法二：交点：交点P P的坐标的坐标(x,y)(x,y)满足满足 ，显然，显然x0 x0，从而，从而 ，代入，代入k k1 1k k2 2+2=0+2=0，得，得 ，整理得：，整理得：2x2x2 2+y+y2 2=1,=1,所以交点所以交点P P在椭圆在椭圆2x2x2 2+y+y2 2=1=1上上.222221121222222112128kk2k kkk41,kk2k kkk412yk x1yk x112y 1kxy1kxy 1 y120 xx
