1、3.1.2（2）函数的解析式）函数的解析式 1、y = f (x) (xR) 和和 y = f (t) ( t R )是同一函数吗？是同一函数吗？ 2、y = kx + b 经过点经过点 ( 1 , 0 )，( 0 , 1 )，则，则 y = _ 3、求满足下列条件的二次函数、求满足下列条件的二次函数 f (x) 的解析式：的解析式： （1）顶点坐标为）顶点坐标为 ( 2 , 3 )，且图象经过，且图象经过 ( 3 , 1 ) 点，点， 则则 f (x) = _ （2）f (1) = 3，f (2) = 6，f (3) = 13，则，则 f (x) = _ 4、已知、已知 y = f (x)
2、的图象如右图的图象如右图 则则 f (x) = _ 是是 x y o 1 1 1 1 x 1 2( x 2 ) 2 + 3 2x 2 3x + 4 x x1 1,0( 0,1 x x 例例1、已知、已知 f (x) 是一次函数，且是一次函数，且 f f (x) = 4x 1， 求求 f (x) 的解析式。的解析式。 解：设解：设 f (x) = kx + b 则则 f f (x) = f ( kx + b ) = k ( kx + b ) + b = k 2 x + kb + b = 4x 1 1 4 2 bkb k 则有则有 12 2 12 2 bb k bb k 或或 1 2 3 1 2
3、b k b k 或或 12)( 3 1 2)( xxfxxf或或 步骤：设解析式，列方程组待定系数。步骤：设解析式，列方程组待定系数。 一、待定系数法一、待定系数法. 212)( 212)( xxfxxf或或 12)(xxff 练习练习 23)( xxf 2.若若 ，求一次函数，求一次函数 的解析式的解析式 2627)(xxfff( )f x ( )f x1.若若 ，求一次函数，求一次函数 的解析式的解析式 12)(xxff( )f x 二、换元法二、换元法 1 t 1 1 t 1 )( 22 t t tf 1 )( 2 x x xf )0( x 例例2.若若 则则 2 1 () 1 x f
4、xx ( )_f x 解：设解：设 ，则，则 代入原式得代入原式得 1 t x 1 (0)xt t ) 1( , 1)( 2 xxxxf 1)( 2 uuuf 练习练习 ) 1( , 1 1 , 1 u u x u x x 解：令解：令 则则 1、已知、已知 ，求，求 xx x x x f 11 ) 1 ( 2 2 ( )f x 2、已知、已知 f ( 4x + 1 ) = ，求，求 f (x) 116 64 2 x x 解：设解：设 t = 4x + 1 4 1 t x则则 1) 4 1 (16 6 4 1 4 )( 2 t t tf即即 1)1( 5 2 t t 1)1( 5 )( 2 x
5、 x xf 例例3、（、（1）已知）已知f (x) = x 2 + x + 1，求，求 f ( x 1) （2）已知）已知 f ( + 1 ) = x + 2 ， 求求 f (x) xx （1）解：）解：f ( x 1 ) = ( x 1 ) 2 + ( x 1 ) + 1 = x 2 x + 1 = ( + 1 ) 2 1 x （2）解：）解： f ( + 1 ) = ( ) 2 + 2 + 1 1 xxx f ( x ) = x 2 1 f ( t ) = t 2 1 步骤：变形解析式与步骤：变形解析式与f（）中的变量相同，再用整体换元。（）中的变量相同，再用整体换元。 ) 1( x 三、
6、配凑法三、配凑法 ).(, 11 ) 1 (1 2 2 xf xx x x x f求求、已知、已知 练习练习 2、已知、已知 f ( 4x + 1 ) = ，求，求 f (x) 116 64 2 x x :(1999)( ) 1 ( )(),0, ,1,( )_ f x af xfax xRx x aaf x 例例4年4年重重庆庆 若若函函数数满满足足方方程程 且且 为为常常数数 且且则则 四、构造方程法四、构造方程法 )1() 1 ()(: ax x fxaf解解 得得换成换成把把 x x 1 :)() 1 (得得为未知数的联立方程可为未知数的联立方程可和和解以解以xf x f )0,( )
7、1( )1( )( 2 2 xRx xa axa xf且且 )2()() 1 ( x a xf x af _)(,3)(2)(1 2 xfxxxfxf、 、则则已知已知 _)( ,) 1 ()(3),(2 2 xf x x fxfxf、 、 则则 满足满足已知函数已知函数 xx3 3 1 2 2 2 2 1 2 3 x x 练习：练习： 利用题设中自变量互为倒数或互为利用题设中自变量互为倒数或互为 相反数的特征相反数的特征,用原自变量的倒数或用原自变量的倒数或 相反数代入原式即可得另一方程相反数代入原式即可得另一方程,与与 原方程组成二元方程组原方程组成二元方程组,求解即可求解即可. .)(
8、)12()()(, , 1)0(,)(5 的表达式的表达式求求 有有实数实数 且对任意且对任意满足满足上的函数上的函数是是、设、设例例 xf yxyxfyxfyx fRxf 五五.特殊值法特殊值法 ),1(1)( )1()0()0(, 0: yyyf yyfyfx得得令令解解 1)1(1)( ),( 2 xxxxxf RyRxyx代入上式得代入上式得令令 例例6、一直角三角形、一直角三角形ABC，AC = 3，BC = 4，动点，动点 P 从直角从直角 顶点顶点C 出发沿出发沿CB、BA、AC 运动回到运动回到C，设，设P点运动的路程点运动的路程 为为 x ，写出线段，写出线段AP的长度与的长
9、度与 x 的函数式的函数式 F ( x ). A B C P x 解：当解：当 0 x 4 时时 22 3 xy 9 2 x 当当 4 x 9 时时 P y = 9 x 当当 9 x 12 时时 P y = x 9 9 9 9 2 x x x y 129 94 40 x x x 六、分类讨论法六、分类讨论法 2 2 12 (1) (0) ()()() (2) ( )( ) . (3)( ). 1 ( )( ) yaxbxc a ya xhkya xxxx f g xf x f x f xf x 求函数解析式常见的题型有： 解析式题型已知的，如（1），一般用待定系数法，对于 二次函数问题要注意：
10、一般式 顶点式和两根式的选择。 已知求型问题方法一是用配凑法；方法二是 用换元法。如（2）（3） 函数方程问题，需建立关于的方程组，如（4） 若方程 中同时出现、， 1 x x 则一般 用代换，构造另一方程。 特别需要指出的是，求函数解析式均应严格考虑函数的特别需要指出的是，求函数解析式均应严格考虑函数的 定义域。定义域。 1、已知、已知 f ( x + 1 ) = x 2 2x 15，求，求 f (x). 2、已知、已知 f ( x ) = x 2 + ，求，求 f (x) 及及 f ( x + 1) 3、已知函数、已知函数 f (x) 是一次函数，且满足关系式是一次函数，且满足关系式 3 f ( x + 1 ) 2 f ( x 1 ) = 2x + 17 ，求，求f ( x ) . 4、已知、已知 2 f ( x ) + f ( ) = 4x + + 3，求，求 f ( x ). 5、正方形、正方形ABCD，AB = 2，动点，动点 P 从从 B 点出发沿点出发沿BC、 CD、DA、AB 运动回到运动回到 B，设，设 P点运动的路程为点运动的路程为 x，写，写 出线段出线段 AP 的长度与的长度与 x 的函数式的函数式 F ( x ). x 1 2 1 x x 1 x 2
