1、函数函数y=f(x)方程方程f(x)=0的根的根函数函数f(x)的零点的零点函数函数f(x)的的图象与图象与x轴的交点轴的交点y=x2-3x+2x1=1,x2=21和和2(1,0)(2,0)y=x+1x1=x2=11(1,0)y=x2-2x+3无实数根无实数根无零点无零点无无y=2x-4x=22(2,0)y=lg xx=11(1,0)y=3x-1x=00(0,0)方程方程x24=0的的根根是是2和和-2函数函数f(x)的的图象与图象与x轴的交点横坐标轴的交点横坐标是是2和和-2函数函数f(x)=x24的的零点零点是是2和和-21.函数零点的定义：函数零点的定义：方程方程f(x)=0的实数根的实
2、数根x叫做叫做函数函数f(x)的零点的零点。注：注：零点是数，不是点零点是数，不是点。如：函数如：函数f(x)=x2-2x-3的零点是的零点是-1和和3；函数函数f(x)=lgx的零点是的零点是1.1.1.函数零点的定义函数零点的定义方程方程f(x)=0的的根根函数函数f(x)的的图象与图象与x轴的交点横坐标轴的交点横坐标函数函数f(x)的的零点零点(根的个数根的个数)(零点个数零点个数)(交点个数交点个数)探究：常见函数的零点的共性探究：常见函数的零点的共性)2)(1()(xxxfxxf3log)(11)(xxf在端点在端点a,b的函数值异号，即的函数值异号，即f(a)f(b)0函数在区间函
3、数在区间a,b上有零点：上有零点：零点附近的区间零点附近的区间a,b上的函数图象上的函数图象连续不断连续不断且且“穿过穿过”x轴轴(一上一下一上一下)若函数若函数y=f(x)在区间在区间a,b上的图象是一条上的图象是一条连续不断连续不断的曲线，的曲线，且且f(a)f(b)0，则函数则函数y=f(x)在区间在区间(a,b)内内至少有至少有1个个零点零点.即即存在存在c(a,b)，使得，使得f(c)=0；此时；此时c是方程是方程f(x)=0的根的根.2.2.函数零点存在定理函数零点存在定理判断判断1对于函数对于函数y=x1,在区间在区间(-1,1)上上,有有f(-1)f(1)0,故函数在故函数在(
4、-1,1)内有零点内有零点.()f(x)在在(-1,1)上上不连续不连续判断判断2若函数若函数y=f(x)在区间在区间(a,b)内有零点，则内有零点，则f(a)f(b)0.()0)()(bfaf判断判断3若函数若函数y=f(x)的图象在区间的图象在区间a,b上上连续，且连续，且f(a)f(b)0，则函数，则函数f(x)在在(a,b)内有内有1个零点个零点.()【函数零点存在定理】【函数零点存在定理】条件：条件：f(x)在在a,b连续连续，f(a)f(b)0结论：函数结论：函数f(x)在在(a,b)内内至少有至少有1个个零点零点.2.2.函数零点存在定理函数零点存在定理0)()(bfaf两个条件
5、缺一不可；两个条件缺一不可；若二缺一，则若二缺一，则f(x)在在(a,b)内内可能有可能有零点、也零点、也可能无可能无零点零点.其逆定理不成立其逆定理不成立.即即:若若f(x)在在(a,b)内有零点，内有零点，f(a)f(b)0不一定不一定成立成立.在在(a,b)上单调递增上单调递增(减减)在在(a,b)上只有上只有1个零点个零点函数零点存在定理的运用函数零点存在定理的运用11判断零点所在区间判断零点所在区间已知函数已知函数yf(x),xR的图象连续不断，若的图象连续不断，若f(1)0，f(1.25)0，则可以确定区间则可以确定区间_必有必有零点零点.(1.25,1.5)据表中数据，可判断方程
6、据表中数据，可判断方程exx20必有一个根在区间必有一个根在区间()A(1,0)B(0,1)C(1,2)D(2,3)x10123ex0.3712.727.3920.09x212345f(-1)=0.37-10f(0)=1-20f(1)=2.72-30f(3)=20.09-50C设设f(x)=ex(x+2)函数零点存在定理的运用函数零点存在定理的运用11判断零点所在区间判断零点所在区间例例1方程方程exx20的根所在区间为的根所在区间为().A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D(1,2)(法法1)令令f(x)=exx2，f(0)=e002=-10，f(1)=e112=e30.(法法
7、2)exx20的根的根 ex=x2的根的根y=ex和和y=x2的的交点交点横坐标横坐标f(-2)=e-2+22=e-20，f(-1)=e-1+12=e-1-10，AD画图画图检验检验f(-2)f(-1)0及及f(1)f(2)0的图象的图象.1)(2的交点个数与xyxfy.01)(2的根xxf.1)(2的根xxf函数零点存在定理的运用函数零点存在定理的运用33由零点个数求参数由零点个数求参数例例3.1若函数若函数f(x)3ax2a1在区间在区间(1,1)上存在上存在1个零点个零点，则，则a的取的取值范围是值范围是_.,1)(0无零点时xfa.511,0)15)(1()1()1(,0aaaaffa
8、或得只需时变式变式若函数若函数f(x)3ax22x1在区间在区间(1,1)上存在上存在2个零点个零点，则则a的取值范围是的取值范围是_.00)1(0)1(000)1(0)1(0ffaffa或函数零点存在定理的运用函数零点存在定理的运用33由零点个数求参数由零点个数求参数.,2)()(,0,ln0,)(2.3的范围求个零点存在若例aaxxfxgxxxexfx个根有方程2)(axxf个交点的图象有与2)(axyxfy.1,1aa解得结合图形得01一元二次方程根的分布问题一元二次方程根的分布问题一元二次方程根的分布问题两根与两根与0比较比较(a0)：,)0(0212xxacbxax的两根为设方程两个
9、负根两个负根两个正根两个正根一正根一负根一正根一负根 00200baf 00200baf 000f两个负根两个负根两个正根两个正根一正根一负根一正根一负根两根与两根与0比较比较(a0)：,)0(0212xxacbxax的两根为设方程两根都两根都小于小于k两根都两根都大于大于k一根大于一根大于k一根小于一根小于k 00200baf 00200baf 两根都两根都小于小于k两根都两根都大于大于k一根大于一根大于k一根小于一根小于k两根与两根与k比较比较(a0)：,)0(0212xxacbxax的两根为设方程两根都在两根都在(m,n)内内两根两根仅有一根仅有一根在在(m,n)内内一根一根在在(m,n
10、)内内一根一根在在(p,q)内内x1n00)()(nfmf 0000f mf nfpf q 00f mf nnabmnfmf20)(0)(0检验检验&0)(&0)(nfmf开口系数、开口系数、对称轴、临界点函数值对称轴、临界点函数值检验另一根是否在检验另一根是否在(m,n)内内2.1.0.1.).(3),2,1(),1,0(,21)(.321212DCBAbaxxxxbxaxxf的取值可能为则其中个不等实根有函数.0,01,0,:2121aaxxxx析,0124)2(01)1(01)0(0402bafbaffaba则,12410babaa,0)(243bababaCD-11.,)1,0(,)0
11、,1(,)1(.02.422的取值范围求内一根在内一根在若方程有两根的方程已知关于mmxmxx021)1(0)0(021)1(:22mmfmfmmf依题意得解1104424mmm.021m解得.,1,1)2(的取值范围求内若方程两根在m,11021)1(021)1(0442224mmmfmmfmm依题意得,1112101mmRmmm或即.1021mm或,0)2(时a.61,09616)1(24442aaa时.),1,1(210144)(2符合题意得此时xxxxf;),1,1(4114)(,0)1(符合题意的零点为时xxfa.,131143)(,81,0)1(2符合题意和的零点为时即若xxxfa
12、f.245810)1()1(,61,09616affaa解得由时即.,151145)(,245,0)1(2符合题意和的零点为时即若xxxfaf61245,816124581aa或思考思考1：你能确定下列方程的：你能确定下列方程的解的个数解的个数及及解所在区间解所在区间吗？吗？0732062lnxxxx的交点横坐标和的零点函数的解方程62ln62ln)(062lnxyxyxxxfxx思考思考2：你能求出上述：你能求出上述函数函数f(x)的零点的准确值的零点的准确值吗？吗？内的零点在)3,2(62ln)(xxxf.062ln无法用代数运算求解对数方程 xx在在2424枚枚崭新的金币崭新的金币中，混
13、入了中，混入了一枚一枚外外表相同但重量较轻表相同但重量较轻的的假币假币，现在只有，现在只有一台天平，请问：一台天平，请问：需要称几次就可发需要称几次就可发现这枚假币？现这枚假币？第一次第一次假假假假第二次第二次第三次第三次第四次第四次思想思想:一分为二一分为二,逐步缩小范围逐步缩小范围,逼近准确值逼近准确值思考思考1：你能确定下列方程的：你能确定下列方程的解的个数解的个数及及解所在区间解所在区间吗？吗？对于不能用对于不能用代数运算求解代数运算求解的的高次方程、对数方程、高次方程、对数方程、指数方程指数方程等等，其，其数值解法数值解法随着随着现代计算技术现代计算技术的发的发展得到了广泛的运用，我
14、们通常只能求其展得到了广泛的运用，我们通常只能求其近似解近似解.0732062lnxxxx思考思考2：你能求出上述：你能求出上述函数函数f(x)的零点的准确值的零点的准确值吗？吗？的零点近似值函数的近似解方程)(0)(xfxf二分法：零点所在二分法：零点所在区区间一分为二间一分为二，使所得，使所得区间的两个端点区间的两个端点逐步逐步逼近逼近零点，进而得到零点，进而得到零点近似值零点近似值。内的零点在)3,2(62ln)(xxxf二分法求函数零点近似值二分法求函数零点近似值.1)3,2()(,)(,0)3(,0)2(.1个零点有在为增函数且xfxfff二分法二分法求函数求函数f(x)=lnx+2
15、x-6的的零点近似值零点近似值.1)3,5.2()(,0)3()5.2(:5.2)3,2(.2个零点有在中点取xfff.1)75.2,5.2()(,0)75.2()5.2(:75.2)3,5.2(.3个零点有在中点取xfff.1)625.2,5.2()(,0)625.2()5.2(:625.2)75.2,5.2(.4个零点有在中点取xfff.1)5625.2,5.2()(,0)5625.2()5.2(:5625.2)625.2,5.2(.5个零点有在中点取xfff,1.00625.0|5.25625.2|,1.0若区间精确度5.2)(的零点近似值为xf5625.256.2区间的一个端点区间的一
16、个端点区间内任意一点区间内任意一点区间精确度为区间精确度为：|),(baba满足零点所在区间练习练习1用二分法求函数用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经的一个正实数零点时，经计算计算f(0.64)0，f(0.68)0，则函数的一个，则函数的一个精确度为精确度为0.1的正实数零点的近似值为的正实数零点的近似值为()A.0.9 B.0.7 C.0.5 D.0.4B练习练习2用二分法求方程用二分法求方程2x+3x70在区间在区间(1,3)内的实内的实根根,取区间中点取区间中点x02,则下一个有根区间是则下一个有根区间是_.(1,2)二分法求函数零点近似值二分法求函数零点近似值的零点近似值：用
17、二分法求的零点所在区间为已知函数)()3,2(62ln)(xfxxxf区间区间左端点左端点函数值函数值f(a)区间区间右端点右端点函数值函数值f(b)零点所在区间零点所在区间零点近似值零点近似值(约定区间端点约定区间端点)f(2)0区间区间中点中点函数值函数值f(c)f(2.5)0)3,5.2(f(2.5)0f(2.75)0)75.2,5.2(f(2.5)0f(2.625)0)625.2,5.2(2.52.752.625f(2.5)0f(2.5625)0)5625.2,5.2(2.5625零点零点所在所在范围范围越来越来越小越小通过有限次重复相同的步骤，将零点所在范围缩小到通过有限次重复相同的
18、步骤，将零点所在范围缩小到满足一定满足一定精确度的区间精确度的区间，区间内的任意一点区间内的任意一点都可以作为函数零点的近似都可以作为函数零点的近似值为了方便，我们把值为了方便，我们把区间的一个端点区间的一个端点作为零点的近似值作为零点的近似值1.0065.05.25625.2区间精确度为区间精确度为：|),(baba满足零点所在区间.1)3,2()(,)(,0)3(,0)2(.1个零点有在为增函数且xfxfff二分法二分法求函数求函数f(x)=lnx+2x-6的的零点近似值零点近似值.1)3,5.2()(,0)3()5.2(:5.2)3,2(.2个零点有在中点取xfff.1)75.2,5.2
19、()(,0)75.2()5.2(:75.2)3,5.2(.3个零点有在中点取xfff.1)625.2,5.2()(,0)625.2()5.2(:625.2)75.2,5.2(.4个零点有在中点取xfff.1)5625.2,5.2()(,0)5625.2()5.2(:5625.2)625.2,5.2(.5个零点有在中点取xfff,1.00625.0|5.25625.2|,1.0若区间精确度5.2)(的零点近似值为xf5625.256.2区间的一个端点区间的一个端点区间内任意一点区间内任意一点区间精确度为区间精确度为：|),(baba满足零点所在区间:62ln)(零点近似值的步骤二分法求xxxf零
20、点零点x(2.5,3)初始区间初始区间(2,3)取区间中点取区间中点2.5计算计算f(2.5)f(2.5)f(3)0|2.5-3|零点近似值为零点近似值为3是是初始区间初始区间(2.5,3)零点零点x(2.5,2.75)取区间中点取区间中点2.75计算计算f(2.75)f(2.5)f(2.75)0|2.5-2.75|零点近似值为零点近似值为2.75是是否否练习练习1用二分法求函数用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经的一个正实数零点时，经计算计算f(0.64)0，f(0.68)0，则函数的一个，则函数的一个精确度为精确度为0.1的正实数零点的近似值为的正实数零点的近似值为()A.0.9
21、B.0.7 C.0.5 D.0.4B练习练习2用二分法求方程用二分法求方程2x+3x70在区间在区间(1,3)内的实内的实根根,取区间中点取区间中点x02,则下一个有根区间是则下一个有根区间是_.(1,2)二分法求函数零点近似值二分法求函数零点近似值析：由析：由f(0.68)f(0.72)0得函数的零点所在区间为得函数的零点所在区间为(0.68,0.72)析：令析：令f(x)=2x+3x70，f(1)=20，f(3)=100，f(x)的零点所在区间为的零点所在区间为(1,2)练习练习3下列函数图象与下列函数图象与x轴均有交点，其中轴均有交点，其中不能用二分法不能用二分法求其求其零点的是零点的是()并非所有函数都可以用二分法求其零点并非所有函数都可以用二分法求其零点，只有满足：，只有满足：“在区间在区间a,b上连续不断；上连续不断；f(a)f(b)0.”两个条件两个条件的函数，才可采用二分法求得零点近似值的函数，才可采用二分法求得零点近似值.即：即：有变号零点有变号零点的函数才可用二分法求零点近似值的函数才可用二分法求零点近似值.AC_,4)(42aaxxxf则零点但不能用二分法求出该有零点练习4.4,016:2aa则析FIGHTING
