1、 微专题 51 等差等比数列综合问题 一、基础知识： 1、等差数列性质与等比数列性质： 等差数列 n a 等比数列 n b 递推公式 1nn aad nN 1n n b q nN b 通项公式 1 1 n aand 1 n n bb q 等差（比）中项 12 2 nnn aaa 2 12nnn bb b mnpq mnpq aaaa mnpq b bb b 等间隔抽项 仍构成等差数列 仍构成等比数列 相邻k项和 232 , nnnnn S SS SS成等差数列 232 , nnnnn S SS SS成等比数列 2、等差数列与等比数列的互化： （1）若 n a为等差数列，0,1cc，则 n a
2、c成等比数列 证明：设 n a的公差为d，则 1 1 n nn n a aad a c cc c 为一个常数 所以 n a c成等比数列 （2）若 n a为正项等比数列，0,1cc，则logc n a成等差数列 证明：设 n a的公比为q，则 1 1 loglogloglog n cncncc n a aaq a 为常数 所以logc n a成等差数列 二、典型例题： 例 1：已知等比数列 n a中，若 132 4 ,2a aa成等差数列，则公比q （ ） A. 1 B. 1或2 C. 2 D. 1 思路：由“ 132 4 ,2a aa成等差数列”可得： 312312 2422aaaaaa，再
3、由等比数列 定义可得： 2 3121 ,aa q aa q，所以等式变为： 2 2qq解得2q 或1q ，经检验均 符合条件 答案：B 例 2：已知 n a是等差数列，且公差d不为零，其前n项和是 n S，若 348 ,a a a成等比数列， 则（ ） A. 14 0,0a ddS B. 14 0,0a ddS C. 14 0,0a ddS D. 14 0,0a ddS 思路：从“ 348 ,a a a成等比数列”入手可得： 2 2 438111 327aa aadadad， 整 理 后 可 得 ： 2 1 35a dd ， 所 以 1 3 5 da ， 则 2 11 3 0 5 a da ，
4、 且 2 1 41 6 460 25 a dSdad ，所以B符合要求 答案：B 小炼有话说：在等差数列（或等比数列）中，如果只有关于项的一个条件，则可以考虑将涉 及的项均用 1, a d（或 1, a q）进行表示，从而得到 1, a d（或 1, a q）的关系 例3 ： 已 知 等 比 数 列 n a中 的 各 项 均 为 正 数 ， 且 5 1011912 2a aa ae， 则 1220 lnlnlnaaa_ 思路：由等比数列性质可得： 1011912 a aa a，从而 5 1011912 a aa ae，因为 n a为等比数列， 所 以ln n a为 等 差 数 列 ， 求 和
5、可 用 等 差 数 列 求 和 公 式 ： 1011 12201011 lnln lnlnln2010ln50 2 aa aaaa a 答案：50 例 4：三个数成等比数列，其乘积为512，如果第一个数与第三个数各减2，则成等差数列， 则这三个数为_ 思路：可设这三个数为, , a a aq q ，则有 3 =512512 a a aqa q ，解得8a ，而第一个数 与第三个数各减 2，新的等差数列为 8 2,8,82q q ，所以有： 8 16282q q ，即 2 2 252520qqq q ，解得2q 或者 1 2 q ，2q 时，这三个数为4,8,16，当 1 2 q 时，这三个数为
6、16,8,4 答案： 4,8,16 小炼有话说：三个数成等比（或等差）数列时，可以中间的数为核心。设为, , a a aq q （或 , ,ad a ad） ，这种“对称”的设法便于充分利用条件中的乘积与和的运算。 例 5：设 n a是等差数列， n b为等比数列，其公比1q ，且01,2,3, i bin，若 111111 ,ab ab，则有（ ） A. 66 ab B. 66 ab C. 66 ab D. 66 ab或 66 ab 思路：抓住 111 ,a a和 111 ,b b的序数和与 66 ,a b的关系，从而以此为入手点。由等差数列性质出 发， 111111111111 ,ab a
7、baabb，因为 1116 2aaa，而 n b为等比数列，联想到 111 b b与 6 b有关，所以利用均值不等式可得： 2 1111 1166 222bbbbbb（1q 故 111 bb，均值不等式等号不成立）所以 11111166 22aabbab即 66 ab 答案：B 小炼有话说：要熟悉等差数列与等比数列擅长的运算，等差数列擅长加法，等比数列擅长乘 积。所以在选择入手点时可根据表达式的运算进行选择。 例 6：数列 n a是各项均为正数的等比数列， n b是等差数列，且 67 ab，则有（ ） A. 39410 aabb B. 39410 aabb C. 39410 aabb D. 3
8、9 aa与 410 bb的大小不确定 思路：比较大小的式子为和的形式，所以以 n b为入手点，可得 41076 22bbba，从而 作差比较 2 633 394103963333 221aabbaaaaa qa qaq， 由 n a为 正项等比数列可得： 2 3 3 10aq ，所以 39410 aabb 答案：B 小炼有话说：要熟悉等差数列与等比数列擅长的运算，等差数列擅长加法，等比数列擅长乘 积。所以在选择入手点时可根据表达式的运算进行选择。 例 7：设数列 n a是以 2 为首项，1 为公差的等差数列， n b是以 1 为首项，2 为公比的等比 数列，则 1210 bbb aaa（ ）
9、A. 1033 B. 2057 C. 1034 D. 2058 思路：求和看通项，考虑 1 1 11,2n nn aandnb ，所以 1 121 n n bn ab ， 12 12221 n nn bbb aaann ，所以 1210 1033 bbb aaa 答案：A 例 8： (2011,江苏） 设 127 1aaa， 其中 1357 ,a a a a成公比为q的等比数列， 246 ,a a a 成公差为1的等差数列，则q的最小值是_ 思 路 ： 可 知 等 比 数 列 为 23 1, ,q q q， 等 差 数 列 为 222 ,1,2aaa ， 依 题 意 可 得 23 222 11
10、2aqaqaq ，若要q最小，则 3 q要达到最小，所以在中，每一 项都要尽量取较小的数，即让不等式中的等号成立。所以 3 2 2123qa ，所以 3 3q ，验证当 3 3q 时， 2 1a ，式为 3 1132333 ，满足题意。 答案： 3 3 例 9：已知等差数列 n a的公差0d ，前n项和为 n S，等比数列 n b是公比为q的正整数， 前n项和为 n T，若 2 11 ,ad bd，且 222 123 123 aaa bbb 是正整数，则 2 9 8 S T 等于（ ） A. 45 17 B. 270 17 C. 90 17 D. 135 17 解：本题 n a的通项公式易于求
11、解，由 1 ad可得 1 1 n aandnd，而处理 n b通 项 公 式 的 关 键 是 要 解 出q， 由 2 1 bd可 得 21n n bdq ， 所 以 222222 123 22222 123 491 4 1 aaaddd N bbbdq dqdqq ，由qN ，可得 2 1qqN ，所以 2 1qq可取的值为1,2,7,14，可得只有 2 17qq 才有符合条件的q，即2q ，所以 12 2nbd ，所以 2 2 9 45Sd， 8 1 2 8 21 255 1 b Td ，则 22 9 2 8 2025135 25517 Sd Td 答案：D 例 10： 2 n个正数排成n行
12、n列（如表） ，其中每行数都成等差数列，每列数都成等比数列，且 所 有 的 公 比 都 相 同 ， 已 知 124243 13 1, 816 aaa， 则 32 a_ ， 1122nn aaa_ 思路：本题抓住公比相同，即只需利用一列求出公比便可用于整个数阵，抓住已知中的 1242 1 1, 8 aa，可得 3 42 12 11 82 a qq a ，从而只要得到某一行的数，即可求得数阵中的 每一项 ij a 。而第四列即可作为突破口，设每i 行的公差为 i d 由 4243 13 , 816 aa可得 4 1 16 d ，从而 4424 1 2 16 j aajdj，所以 44 4 1111 21622 iii ijj aajj 。 则 3 32 11 2 24 a ， 求 和 的 通 项 公 式 1 2 n nn an ，利用错位相减法可求得： 1122 1 22 2 n nn aaan 答案： 321122 11 ,22 42 n nn aaaan 小炼有话说：对于数阵问题首先可设其中的项为 ij a（第i行第j列） ，因为数阵中每行每列具 备特征，所以可将其中一行或一列作为突破口，求得通项公式或者关键量，然后再以该行（或 该列）为起点拓展到其他的行与列，从而得到整个数阵的通项公式
