1、 微专题 99 归纳推理与类比推理 一、基础知识： （一）归纳推理： 1、归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特 征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳） ，简言之，归 纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理 2、处理归纳推理的常见思路： （1）利用已知条件，多列出（或计算出）几个例子，以便于寻找规律 （2）在寻找规律的过程中，要注意观察哪些地方是不变的（形成通式的结构） ，哪些地方是 变化的（找到变量） ，如何变化（变量变化的规律） （3）由具体例子可将猜想的规律推广到一般情形，看是否符合题意 3、常见的归纳推理类型：
2、（ 1 ） 函 数 的 迭 代 ： 设f是DD的 函 数 ， 对 任 意xD， 记 0121 , nn fxx fxf xfxff xfxffx ，则称函数 n fx为 f x的n次迭代； 对于一些特殊的函数解析式， 其 n fx通常具备某些特征 （特 征与n） 有关。 在处理此类问题时， 要注意观察解析式中项的次数， 式子结构以及系数的特点， 以便于从具体例子中寻找到规律，得到 n fx的通式 （2）周期性：若寻找的规律呈现周期性，则可利用函数周期性（或数列周期性）的特点求出 某项或分组（按周期分组）进行求和。 （3）数列的通项公式（求和公式） ：从数列所给的条件中，很难利用所学知识进行变形
3、推导， 从而可以考虑利用条件先求出几项，然后找到规律，猜出数列的通项公式（求和公式） （4）数阵：由实数排成一定形状的阵型（如三角形，矩形等） ，来确定数阵的规律及求某项。 对于数阵首先要明确“行”与“列”的概念。横向为“行” ，纵向为“列” ，在项的表示上通 常用二维角标 ij a进行表示，其中i代表行，j代表列。例如： 34 a表示第3行第4列。在题目 中经常会出现关于某个数的位置问题，解决的方法通常为先抓住选取数的特点，确定所求数 的序号，再根据每行元素个数的特点（数列的通项） ，求出前n行共含有的项的个数，从而确 定该数位于第几行，然后再根据数之间的规律确定是该行的第几个，即列。 （二
4、）类比推理： 1、类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对 象也具有这些特征的推理，称为类比推理（简称类比） 2、常见的类比类型及处理方法： （1）运算的类比：通常是运算级数相对应： 加法乘法， 数乘（系数与项的乘法）指数幂 减法除法 （2）运算律的类比：在数学中的其它领域，如果满足加法，乘法的交换律，以及乘法的分配 律，则代数表达式部分运算公式可推广到该领域中。例如 在向量数量积的运算中，满足交换律与分配律，则： 代 数 中 的 平 方 差 公 式 ： 22 ababab， 和 差 完 全 平 方 公 式 ： 2 22 2abaabb 均 可 推 广 到
5、 向 量 数 量 积 中 ： 22 ababab， 2 22 2abaa bb 在复数的运算中，满足交换律与分配律，则实数中的运算公式可推广到复数中（甚至是二 项式定理） （3）等差数列与等比数列的类比：等差数列的性质通常伴随着一，二级运算（加减，数乘） ， 等比数列的性质通常伴随着二，三级运算（乘除，乘方） 。所以在某些性质中体现出运算上的 类比。例如：设 n a为等差数列，公差为d； n b为等比数列，公比为q，则 递推公式： 1 1 n nn n b aadq b 通项公式： 1 11 1 n nn aandbb q 双项性质： mnpqmnpq mnpqaaaamnpqb bb b 等
6、间隔取项，在数列 n a， n b中等间隔的取项： 则 12 , m kkk aaa成等差数列 12 , m kkk bbb 成等比数列 （4）维度的类比：平面几何（二维）的结论与立体几何（三维）的结论进行类比，当维度升 高时，涉及的要素也将维度升高，例如： 位置关系：平面中的线的关系空间中的面的关系，线所成的角线面角或二面角， 度量：线段长度图形的面积，图形面积几何体体积，点到线的距离点到平面距离 衍生图形：内切圆内切球，外接圆外接球，面对角线体对角线 （5）平面坐标与空间坐标的类比：平面直角坐标系坐标, x y空间直角坐标系坐标 , ,x y z，在有些坐标运算的问题中，只需加上竖坐标的运
7、算即可完成推广，例如： 线段中点坐标公式： 平面：设 1122 ,A x yB x y，则AB中点 1212 , 22 xxyy M 空间：设 111222 ,A x y zB x y z，则AB中点 121212 , 222 xxyyzz M 两点间距离公式： 平面：设 1122 ,A x yB x y，则 22 1212 ABxxyy 空间：设 111222 ,A x y zB x y z，则 222 121212 ABxxyyzz 3、同一个命题，不同的角度类比得到的结论可能不同，通常类比只是提供一个思路与方向， 猜想出一个命题后通过证明才能保证其正确。在有关类比的题目中通常选择正确的命
8、题作为 类比的结论 二、典型例题： 例 1：已知 x x f x e ，定义 1211 , nn fxfxfxfxfxfx ，经 计算 123 123 , xxx xxx fxfxfx eee 照此规律，则 2015 1f（ ） A. 2015 B. 2015 C. 2014 e D. 2014 e 思路：由定义可知： n fx即为 1n fx 的导函数，通过所给例子的结果可以推断出 1 n n x xn fx e ，从而 2015 2015 x x fx e ，所以 2015 2014 1f e 答案：C 例 2：蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似的看作是一个正六边形，如
9、图为一组蜂巢的截面图，其中第一个图有 1 个蜂巢，第二个图有 7 个蜂巢，第三个图有 19 个 蜂巢，按此规律，第六幅图的蜂巢总数为（ ） A. 61 B. 90 C. 91 D. 127 思路：从所给图中可发现第n个图可以视为在前一个图的基础上，外面围上一个正六边形，且 这个正六边形的每条边有n个小正方形，设第n个图的蜂巢总数为 f n，则可知 f n比 1f n多的蜂巢数即为外围的蜂巢数。即66n （每条边n个，其中顶点被计算了两次， 所以要减6） ，所以有 161f nf nn，联想到数列中用到的累加法，从而由 2 1612133f nfnnnn ，且 11f 则 2 331f nnn。
10、代入6n 可得 2 63 63 6191f 答案：C 例 3：将正整数排成数阵（如图所示） ，则数表中的数字2014出现在（ ） A. 第 44 行第 78 列 B. 第 45 行第 78 列 C. 第 44 行第 77 列 D. 第 45 行第 77 列 思路： 从数阵中可发现每一行的末尾均为一个完全平方数， 即第 k行最后一个数为 2 k，所以考虑离2014较近的完全平方数： 22 441936,452025，所以 2014位于第45行，因为1936是第 44 行的最后一个数，所以2014为第 45 行中第 2014193678个数，即位于第 45 行第 78 列 答案：B 例 4：已知结
11、论： “在ABC中，各边和它所对角的正弦比相等，即 sinsinsin abc ABC ” ， 若把该结论推广到空间， 则结论为：“在三棱锥ABCD中， 侧棱AB与平面ACD， 平面BCD 所成的角为, ，则有（ ） A. sinsin BCAD B. sinsin ADBC C. sinsin BCDACD SS D. sinsin ACDBCD SS 思路：本题为维度推广题，平面中的线段所成的夹角推广为线面角，所以可将正弦定理的边 长（一维度量）类比推广为面积（二维度量） ，正弦定理中为角所对的边长，则在三棱锥中推 广为线面角所对的侧面面积，即所对的侧面为平面BCD，所对的侧面为平面ACD
12、，所 以猜测 sinsin BCDACD SS ，再考虑证明其正确性。证明过程如下： 证明：分别过,B A作平面ACD，平面BCD的垂线，垂足分别为,E F 由线面角的定义可知：,BAEABF 11 sin 33 BACDACDACD VSBESAB 同理： 11 sin 33 A BCDBCDBCD VSAESAB 11 sinsinsinsin 33 ACDBCDACDBCD SABSABSS sinsin BCDACD SS 得证 答案：C 例 5：三角形的面积 1 2 Sabcr，其中, ,a b c为其边长，r为内切圆半径，利用类比 法可以得出四面体的体积为（ ） A. 1234 1
13、 2 VSSSSr（其中 1234 SSSS分别为四个面的面积，r为内切球的 半径） B. 1 3 VS h（S为底面面积，h为四面体的高） C. 1234 1 3 VSSSSr（其中 1234 SSSS分别为四个面的面积，r为内切球的 半径） D. 1 3 Vabbcach（, ,a b c为底面边长，h为四面体的高） 思路：本题为维度题，在三角形中，面积依靠内切圆半径与边长求解。则在四面体中，内切 圆类比成内切球， 边长类比为面积。 所以四面体的体积与内切球半径与各面面积相关， 即在 A， C 中挑选。考虑在三角形中，可通过连接内心与各顶点，将三角形分割为三个小三角形，底边 为各边边长，高
14、均为半径r，所以面积 1 2 Sabcr，其中系数 1 2 来源于三角形面积 公式。进而类比到四面体中，可通过连接内切球的球心与各顶点，将四面体分割为 4 个小四 面体，以各面为底面，内切球半径为高。从而 1234 1 3 VSSSSr。系数 1 3 来源于棱 锥体积公式 答案：C 例 6：若数列 n a是等比数列，且0 n a ，则数列 12 n nn ba aanN 也是等比数列. 若数列 n a是等差数列，可类比得到关于等差数列的一个性质为（ ） A. 12n n a aa b n 是等差数列 B. 12n n aaa b n 是等差数列 C. 12 n nn ba aa是等差数列 D.
15、 12n n n aaa b n 是等差数列 思路：考虑在等比数列中，很多性质为应用二三级运算（乘除法，乘方开方） ，到了等差数列 中，很多性质可类比为一二级运算（加减，数乘） 。在本题中所给等比数列用到了乘法与开方， 所以可联想到类比等差数列，乘法运算对应类比为加法，开方运算对应类比为除法。所以该 性质为：若数列 n a是等差数列，则 12n n aaa b n 是等差数列。这个命题是正确的， 证明如下： 证明：设等差数列 n a的公差为d，则 12112 1 1 nnn nn aaaaaaa bb nn 12112 1 1 nnn n aaaanaaa n n 1121111 11 nnn
16、nnn naaaaaaaaaa n nn n n a为等差数列 1 1,1,2, ni aani d in 1 1 112 2 1112 nn n n d ndndddnd bb n nn nn n n b为公差是 2 d 的等差数列 答案：B 例 7：对于大于 1 的自然数m的三次幂可用奇数进行一下方式的“分裂” ： 3 2= 3 5， 3 37911， 3 413151719，仿此，若 3 m的“分裂数”中有一个是61，则 m的值是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 思路：观察这几个等式不难发现以下特征： （1） 3 n可分解为n个连续奇数的和， （2）从 3 2开 始这些奇数
17、是按3,5,7,9, 顺次排列的。所以在第n个数时，所用的奇数的总数为 21 23 2 nn n 个。 从 3 开始算起，61是第 613 130 2 个奇数。 当7n ， 可知所用的奇数总数为27个，当8n ，可知所用的奇数总数为35个。所以8m 答案：C 例 8：从 1 开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个 三角形框架在图中上下或左右移动， 使每次恰有九个数在此 三角形内，则这九个数的和可以为（ ） A. 2097 B. 2112 C. 2012 D. 2090 思路：当三角形在移动时，观察其规律，内部的数如果设第一行的数为aN ，则第二行的 数为7,8,9aaa，其和为38a，第三
18、行的数为14,15,16,17,18aaaaa， 其和为516a，所以这九个数的和为385169104Saaaa，代入到各 个选项中看能否算出a即可。通过计算可得：91042012a时，212a 符合题意 答案：C 例 9：某种游戏中， 黑， 白两个 “电子狗”从棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D的顶点A出 发，沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段” ，黑“电子狗”爬行的路线是 111 AAA D，白“电子狗”爬行的路线是 1 ABBB，它们都遵循如下规则： 所爬行的第2i 段与第i段所在直线必须是异面直线 （其中iN ） ， 设黑 “电子狗” 爬完 2012 段，白“电子
19、狗”爬完 2011 段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白“电子狗”间 的距离是_ 思路：首先根据题目中所给规则，观察“电子狗”所走路径的规律。会发现黑“电子狗”所 A1 A B1 B C C1 D D1D1 D C1 C B B1 A A1 走的路线为 111111 AAADDCCCCBBA，然后周而复始，以 6 为周期；白“电 子狗”所走的路线为 111111 ABBBBCC DD DDA，也是以 6 为周期。从而由 周期性的规律可得：201263352，则黑电子狗到达 1 D；2011 63351，所以白 电子狗到达B，所以只需计算 1 BD即可，由正方体性质可知 1 3BD 答案
20、：3 例 10：把正整数按一定的规律排成了如图所示的三角形数阵，设, ij ai jN 是位于这个三 角形数中从上往下数第i行，从左往右数第j列的数，如 32 5,a 若2015 ij a ，则ij ( ) A. 111 B. 110 C. 108 D. 105 思路：观察三角形数阵可知奇数行中的数均为奇数，偶数行均为偶数。所以可知2015 ij a 一 定在奇数行中，先确定i的值，因为奇数构成首项为 1，公差为 2 的等差数列，所以第k个奇 数112 k ak ，因为200512 1008 1 ，所以可得2015为第1008个奇数，考虑 2015前面的奇数共占了多少行。由第i行由i个奇数可得：前31个奇数行内奇数共有 3131 1 31 1961 2 ，前31个奇数行内奇数共有 32321 32 11024 2 ，而 961 10081024，所以2015在第32个奇数行中，即63i ，再考虑j的值，第 31 个奇 数行最后一个奇数为961 2 1 1921 ，因为 20151921 47 2 ，所以2015为第 32 个奇数 行的第 47 个数，即47j ，从而110ij 答案：C
