1、 微专题 99 归纳推理与类比推理 一、基础知识: (一)归纳推理: 1、归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特 征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳) ,简言之,归 纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理 2、处理归纳推理的常见思路: (1)利用已知条件,多列出(或计算出)几个例子,以便于寻找规律 (2)在寻找规律的过程中,要注意观察哪些地方是不变的(形成通式的结构) ,哪些地方是 变化的(找到变量) ,如何变化(变量变化的规律) (3)由具体例子可将猜想的规律推广到一般情形,看是否符合题意 3、常见的归纳推理类型:
2、( 1 ) 函 数 的 迭 代 : 设f是DD的 函 数 , 对 任 意xD, 记 0121 , nn fxx fxf xfxff xfxffx ,则称函数 n fx为 f x的n次迭代; 对于一些特殊的函数解析式, 其 n fx通常具备某些特征 (特 征与n) 有关。 在处理此类问题时, 要注意观察解析式中项的次数, 式子结构以及系数的特点, 以便于从具体例子中寻找到规律,得到 n fx的通式 (2)周期性:若寻找的规律呈现周期性,则可利用函数周期性(或数列周期性)的特点求出 某项或分组(按周期分组)进行求和。 (3)数列的通项公式(求和公式) :从数列所给的条件中,很难利用所学知识进行变形
3、推导, 从而可以考虑利用条件先求出几项,然后找到规律,猜出数列的通项公式(求和公式) (4)数阵:由实数排成一定形状的阵型(如三角形,矩形等) ,来确定数阵的规律及求某项。 对于数阵首先要明确“行”与“列”的概念。横向为“行” ,纵向为“列” ,在项的表示上通 常用二维角标 ij a进行表示,其中i代表行,j代表列。例如: 34 a表示第3行第4列。在题目 中经常会出现关于某个数的位置问题,解决的方法通常为先抓住选取数的特点,确定所求数 的序号,再根据每行元素个数的特点(数列的通项) ,求出前n行共含有的项的个数,从而确 定该数位于第几行,然后再根据数之间的规律确定是该行的第几个,即列。 (二
4、)类比推理: 1、类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对 象也具有这些特征的推理,称为类比推理(简称类比) 2、常见的类比类型及处理方法: (1)运算的类比:通常是运算级数相对应: 加法乘法, 数乘(系数与项的乘法)指数幂 减法除法 (2)运算律的类比:在数学中的其它领域,如果满足加法,乘法的交换律,以及乘法的分配 律,则代数表达式部分运算公式可推广到该领域中。例如 在向量数量积的运算中,满足交换律与分配律,则: 代 数 中 的 平 方 差 公 式 : 22 ababab, 和 差 完 全 平 方 公 式 : 2 22 2abaabb 均 可 推 广 到
5、 向 量 数 量 积 中 : 22 ababab, 2 22 2abaa bb 在复数的运算中,满足交换律与分配律,则实数中的运算公式可推广到复数中(甚至是二 项式定理) (3)等差数列与等比数列的类比:等差数列的性质通常伴随着一,二级运算(加减,数乘) , 等比数列的性质通常伴随着二,三级运算(乘除,乘方) 。所以在某些性质中体现出运算上的 类比。例如:设 n a为等差数列,公差为d; n b为等比数列,公比为q,则 递推公式: 1 1 n nn n b aadq b 通项公式: 1 11 1 n nn aandbb q 双项性质: mnpqmnpq mnpqaaaamnpqb bb b 等
6、间隔取项,在数列 n a, n b中等间隔的取项: 则 12 , m kkk aaa成等差数列 12 , m kkk bbb 成等比数列 (4)维度的类比:平面几何(二维)的结论与立体几何(三维)的结论进行类比,当维度升 高时,涉及的要素也将维度升高,例如: 位置关系:平面中的线的关系空间中的面的关系,线所成的角线面角或二面角, 度量:线段长度图形的面积,图形面积几何体体积,点到线的距离点到平面距离 衍生图形:内切圆内切球,外接圆外接球,面对角线体对角线 (5)平面坐标与空间坐标的类比:平面直角坐标系坐标, x y空间直角坐标系坐标 , ,x y z,在有些坐标运算的问题中,只需加上竖坐标的运
7、算即可完成推广,例如: 线段中点坐标公式: 平面:设 1122 ,A x yB x y,则AB中点 1212 , 22 xxyy M 空间:设 111222 ,A x y zB x y z,则AB中点 121212 , 222 xxyyzz M 两点间距离公式: 平面:设 1122 ,A x yB x y,则 22 1212 ABxxyy 空间:设 111222 ,A x y zB x y z,则 222 121212 ABxxyyzz 3、同一个命题,不同的角度类比得到的结论可能不同,通常类比只是提供一个思路与方向, 猜想出一个命题后通过证明才能保证其正确。在有关类比的题目中通常选择正确的命
8、题作为 类比的结论 二、典型例题: 例 1:已知 x x f x e ,定义 1211 , nn fxfxfxfxfxfx ,经 计算 123 123 , xxx xxx fxfxfx eee 照此规律,则 2015 1f( ) A. 2015 B. 2015 C. 2014 e D. 2014 e 思路:由定义可知: n fx即为 1n fx 的导函数,通过所给例子的结果可以推断出 1 n n x xn fx e ,从而 2015 2015 x x fx e ,所以 2015 2014 1f e 答案:C 例 2:蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂巢可以近似的看作是一个正六边形,如
9、图为一组蜂巢的截面图,其中第一个图有 1 个蜂巢,第二个图有 7 个蜂巢,第三个图有 19 个 蜂巢,按此规律,第六幅图的蜂巢总数为( ) A. 61 B. 90 C. 91 D. 127 思路:从所给图中可发现第n个图可以视为在前一个图的基础上,外面围上一个正六边形,且 这个正六边形的每条边有n个小正方形,设第n个图的蜂巢总数为 f n,则可知 f n比 1f n多的蜂巢数即为外围的蜂巢数。即66n (每条边n个,其中顶点被计算了两次, 所以要减6) ,所以有 161f nf nn,联想到数列中用到的累加法,从而由 2 1612133f nfnnnn ,且 11f 则 2 331f nnn。
10、代入6n 可得 2 63 63 6191f 答案:C 例 3:将正整数排成数阵(如图所示) ,则数表中的数字2014出现在( ) A. 第 44 行第 78 列 B. 第 45 行第 78 列 C. 第 44 行第 77 列 D. 第 45 行第 77 列 思路: 从数阵中可发现每一行的末尾均为一个完全平方数, 即第 k行最后一个数为 2 k,所以考虑离2014较近的完全平方数: 22 441936,452025,所以 2014位于第45行,因为1936是第 44 行的最后一个数,所以2014为第 45 行中第 2014193678个数,即位于第 45 行第 78 列 答案:B 例 4:已知结
11、论: “在ABC中,各边和它所对角的正弦比相等,即 sinsinsin abc ABC ” , 若把该结论推广到空间, 则结论为:“在三棱锥ABCD中, 侧棱AB与平面ACD, 平面BCD 所成的角为, ,则有( ) A. sinsin BCAD B. sinsin ADBC C. sinsin BCDACD SS D. sinsin ACDBCD SS 思路:本题为维度推广题,平面中的线段所成的夹角推广为线面角,所以可将正弦定理的边 长(一维度量)类比推广为面积(二维度量) ,正弦定理中为角所对的边长,则在三棱锥中推 广为线面角所对的侧面面积,即所对的侧面为平面BCD,所对的侧面为平面ACD
12、,所 以猜测 sinsin BCDACD SS ,再考虑证明其正确性。证明过程如下: 证明:分别过,B A作平面ACD,平面BCD的垂线,垂足分别为,E F 由线面角的定义可知:,BAEABF 11 sin 33 BACDACDACD VSBESAB 同理: 11 sin 33 A BCDBCDBCD VSAESAB 11 sinsinsinsin 33 ACDBCDACDBCD SABSABSS sinsin BCDACD SS 得证 答案:C 例 5:三角形的面积 1 2 Sabcr,其中, ,a b c为其边长,r为内切圆半径,利用类比 法可以得出四面体的体积为( ) A. 1234 1
13、 2 VSSSSr(其中 1234 SSSS分别为四个面的面积,r为内切球的 半径) B. 1 3 VS h(S为底面面积,h为四面体的高) C. 1234 1 3 VSSSSr(其中 1234 SSSS分别为四个面的面积,r为内切球的 半径) D. 1 3 Vabbcach(, ,a b c为底面边长,h为四面体的高) 思路:本题为维度题,在三角形中,面积依靠内切圆半径与边长求解。则在四面体中,内切 圆类比成内切球, 边长类比为面积。 所以四面体的体积与内切球半径与各面面积相关, 即在 A, C 中挑选。考虑在三角形中,可通过连接内心与各顶点,将三角形分割为三个小三角形,底边 为各边边长,高
14、均为半径r,所以面积 1 2 Sabcr,其中系数 1 2 来源于三角形面积 公式。进而类比到四面体中,可通过连接内切球的球心与各顶点,将四面体分割为 4 个小四 面体,以各面为底面,内切球半径为高。从而 1234 1 3 VSSSSr。系数 1 3 来源于棱 锥体积公式 答案:C 例 6:若数列 n a是等比数列,且0 n a ,则数列 12 n nn ba aanN 也是等比数列. 若数列 n a是等差数列,可类比得到关于等差数列的一个性质为( ) A. 12n n a aa b n 是等差数列 B. 12n n aaa b n 是等差数列 C. 12 n nn ba aa是等差数列 D.
15、 12n n n aaa b n 是等差数列 思路:考虑在等比数列中,很多性质为应用二三级运算(乘除法,乘方开方) ,到了等差数列 中,很多性质可类比为一二级运算(加减,数乘) 。在本题中所给等比数列用到了乘法与开方, 所以可联想到类比等差数列,乘法运算对应类比为加法,开方运算对应类比为除法。所以该 性质为:若数列 n a是等差数列,则 12n n aaa b n 是等差数列。这个命题是正确的, 证明如下: 证明:设等差数列 n a的公差为d,则 12112 1 1 nnn nn aaaaaaa bb nn 12112 1 1 nnn n aaaanaaa n n 1121111 11 nnn
16、nnn naaaaaaaaaa n nn n n a为等差数列 1 1,1,2, ni aani d in 1 1 112 2 1112 nn n n d ndndddnd bb n nn nn n n b为公差是 2 d 的等差数列 答案:B 例 7:对于大于 1 的自然数m的三次幂可用奇数进行一下方式的“分裂” : 3 2= 3 5, 3 37911, 3 413151719,仿此,若 3 m的“分裂数”中有一个是61,则 m的值是( ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 思路:观察这几个等式不难发现以下特征: (1) 3 n可分解为n个连续奇数的和, (2)从 3 2开 始这些奇数
17、是按3,5,7,9, 顺次排列的。所以在第n个数时,所用的奇数的总数为 21 23 2 nn n 个。 从 3 开始算起,61是第 613 130 2 个奇数。 当7n , 可知所用的奇数总数为27个,当8n ,可知所用的奇数总数为35个。所以8m 答案:C 例 8:从 1 开始的自然数按如图所示的规则排列,现有一个 三角形框架在图中上下或左右移动, 使每次恰有九个数在此 三角形内,则这九个数的和可以为( ) A. 2097 B. 2112 C. 2012 D. 2090 思路:当三角形在移动时,观察其规律,内部的数如果设第一行的数为aN ,则第二行的 数为7,8,9aaa,其和为38a,第三
18、行的数为14,15,16,17,18aaaaa, 其和为516a,所以这九个数的和为385169104Saaaa,代入到各 个选项中看能否算出a即可。通过计算可得:91042012a时,212a 符合题意 答案:C 例 9:某种游戏中, 黑, 白两个 “电子狗”从棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D的顶点A出 发,沿棱向前爬行,每爬完一条棱称为“爬完一段” ,黑“电子狗”爬行的路线是 111 AAA D,白“电子狗”爬行的路线是 1 ABBB,它们都遵循如下规则: 所爬行的第2i 段与第i段所在直线必须是异面直线 (其中iN ) , 设黑 “电子狗” 爬完 2012 段,白“电子
19、狗”爬完 2011 段后各自停止在正方体的某个顶点处,这时黑、白“电子狗”间 的距离是_ 思路:首先根据题目中所给规则,观察“电子狗”所走路径的规律。会发现黑“电子狗”所 A1 A B1 B C C1 D D1D1 D C1 C B B1 A A1 走的路线为 111111 AAADDCCCCBBA,然后周而复始,以 6 为周期;白“电 子狗”所走的路线为 111111 ABBBBCC DD DDA,也是以 6 为周期。从而由 周期性的规律可得:201263352,则黑电子狗到达 1 D;2011 63351,所以白 电子狗到达B,所以只需计算 1 BD即可,由正方体性质可知 1 3BD 答案
20、:3 例 10:把正整数按一定的规律排成了如图所示的三角形数阵,设, ij ai jN 是位于这个三 角形数中从上往下数第i行,从左往右数第j列的数,如 32 5,a 若2015 ij a ,则ij ( ) A. 111 B. 110 C. 108 D. 105 思路:观察三角形数阵可知奇数行中的数均为奇数,偶数行均为偶数。所以可知2015 ij a 一 定在奇数行中,先确定i的值,因为奇数构成首项为 1,公差为 2 的等差数列,所以第k个奇 数112 k ak ,因为200512 1008 1 ,所以可得2015为第1008个奇数,考虑 2015前面的奇数共占了多少行。由第i行由i个奇数可得:前31个奇数行内奇数共有 3131 1 31 1961 2 ,前31个奇数行内奇数共有 32321 32 11024 2 ,而 961 10081024,所以2015在第32个奇数行中,即63i ,再考虑j的值,第 31 个奇 数行最后一个奇数为961 2 1 1921 ,因为 20151921 47 2 ,所以2015为第 32 个奇数 行的第 47 个数,即47j ,从而110ij 答案:C