1、数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入 第四章第四章 1 数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念 第四章第四章 第第2课时课时 复数的几何意义复数的几何意义 课堂典例探究课堂典例探究 2 课课 时时 作作 业业 3 课前自主预习课前自主预习 1 课前自主预习课前自主预习 1能知道复平面、实轴、虚轴等概念 2能用复平面内的点或以原点为起点的向量 来表示复数以及它们之间的一一对应关系 3能知道复数模的概念，会求复数的模 1复平面的定义 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复 平面，x轴叫做_，y轴叫做 _，实轴上的点都表示实数，除了 _外，虚轴上的点都表示纯虚数 复平面与复数的几何意义
2、 实轴 虚轴 原点 2复数的几何意义 (1)每一个复数都由它的_和_ 唯一确定，当把实部和虚部作为一个有序数 对时，就和点的坐标一样，从而可以用点表 示复数，因此复数与复平面内的点是 _关系 (2)若复数zabi(a、bR)，则其对应的点 的坐标是_ ，不是(a，bi) (3)复数与复平面内_的向 量也可以建立一一对应关系 实部 虚部 一一对应 (a，b) 以原点为始点 复数 zabi(a、bR)与点 Z(a，b)和向量OZ 的一一对应 关系如下： 如图，在复平面内，复数zabi(a、bR) 可以用点 _或向量_表示 Z(a，b) OZ 设复数zabi在复平面内对应的点是Z(a， b)，点Z到
3、原点的距离|OZ|叫作复数z的模或 绝对值，记作|z|由向量长度的计算公式得 |z|abi|_ 两个不全为实数的复数不能比较大小，但它 们的模可以比较大小 复数的模 a2b2 1复平面的几个注意点 (1)直角坐标平面可表示复平面，形式上不作 改变，要注意纵轴仍然是用y表示，不要认为 是yi (2)复平面内的点与复数的关系 位置 复数 实轴上的点 实数 虚轴(原点除外)上的点 纯虚数 各象限的点 虚数 2复数的几何意义的几个注意点 (1)复数与平面向量对应关系的建立，为我们用向量方法解 决复数问题或用复数方法解决向量问题创造了条件 (2)学习了复数的几何意义后得到复数的表示法有三种： 代数形式：
4、abi(a、bR) 复平面内的点 Z(a，b)； 平面向量OZ (O 为坐标原点) 3巧用复数的几何意义解题 (1)复平面|z|的意义 我们知道，在实数集中，实数 a 的绝对值，即|a|表示实数 a 的点与原点 O 间的距离那么在复数集中，类似地，有|z|是 表示复数 z 的点 Z 到坐标原点间的距离，也就是向量OZ 的模， |z|OZ | (2)复平面内任意两点间的距离 设复平面内任意两点 P，Q 所对应的复数分别为 z1，z2，则 |PQ|z2z1| 运用以上性质，可以通过数形结合的方法解决有关问题 1已知a、bR，那么在复平面内对应于复 数abi，abi的两个点的位置关系是 ( ) A关
5、于x轴对称 B关于y轴对称 C关于原点对称 D关于直线yx对称 答案 B 解析 在复平面内对应于复数abi，a bi的两个点为(a，b)和(a，b)关于y轴 对称 2(2013福建文)复数z12i(i为虚数单 位)在复平面内对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案 C 解析 z12i对应点Z(1，2)，位 于第三象限 3设复数zabi对应的点在虚轴右侧，则 ( ) Aa0，b0 Ba0，b0 Cb0，aR Da0，bR 答案 D 解析 复数对应的点在虚轴右侧，则该复数 的实部大于零，虚部可为任意实数 4设复数z的模为17，虚部为8，则复数z _ 答案 158i
6、解析 设复数 za8i，由 a28217，a2225a 15z 158i 5已知复数(2k23k2)(k2k)i在复平面 上对应的点在第二象限，则实数k的取值范围 是_ 答案 1 2，0 (1,2) 解析 因为复数(2k23k2)(k2k)i 在复平面内对应 的点在第二象限，所以 2k23k20 k2k0 ， 所以 1 2k2 k1或k0 ， 所以1 2k0 或 1k2 课堂典例探究课堂典例探究 当m为何实数时，复数z(m2 8m15)(m23m28)i在复平面中的对应点： (1)在第四象限；(2)在x轴的负半轴上 复数的几何意义 分析 zabi 和复平面内的点 Z(a， b)一一对应， 因此
7、， 对于(1)应满足 a0， b0， 对于(2)应满足 a0， m23m280. m5. 7m4. 7m3 即7m3 时，复数 z 的对应点在第四象限 (2)由已知得 m28m150， m23m280， 3m5， m7或m4， 故 m4 即 m4 时，复数 z 的对应点位于 x 轴的负半轴上 方法规律总结 复数的几何意义起到了几何 与代数的桥梁作用，因此不论是代数问题还 是几何问题都多了一种解决问题的方法，其 运用的关键是必须明确掌握复数的几何意 义 在复平面内，若复数z(m2m2)(m2 3m2)i对应点 (1)在虚轴上； (2)在第二象限； (3)在直线yx上 分别求实数m的取值范围 答案
8、 (1)m2或m1 (2)1m1 (3)m2 分析 确定z的实部、虚部列方程不等式组求解m 解析 复数 z(m2m2)(m23m2)i 的实部为 m2 m2，虚部为 m23m2 (1)由题意得 m2m20 解得 m2 或 m1 (2)由题意得 m2m20 m23m20 ， 1m2 m2或m1 1m1 (3)由已知得 m2m2m23m2m2 已知复数z满足z|z|28i，求 复数z 分析 设zabi(a，bR)，代入等式后， 可利用复数相等的充要条件求出a，b 复数模的计算 解析 解法一：设 zabi(a、bR)，则|z| a2b2， 代入方程得 abi a2b228i， a a2b22 b8
9、， 解得 a15 b8 z158i 解法二：原式可化为 z2|z|8i， |z|R，2|z|是 z 的实部， 于是|z| 2|z|282， 即|z|2684|z|z|2，|z|17 代入 z2|z|8i 得 z158i 方法规律总结 计算复数的模时，应先找出 复数的实部和虚部，然后利用模的公式进行 计算两个虚数不能比较大小 ，但它们的模 可以比较大小 设复数z1x2i(xR)，z22yi(yR)， 若z1z2，则|z1|_ 答案 2 2 解析 z1z2， x2， 2y， x2， y2. z122i，|z1|2 2 设 z1 6 3i，z2 2 2 2 2 i，zC若全 集 Iz|z|z1|，z
10、C，Az|z|z2|，zC，那么IA 中所 有 z 在复平面上对应的点的集合是什么图形？ 分析 解决复数在复平面上对应的几何图形 问题，要熟练掌握两点：复数zxyi(x， yR)在复平面上对应点Z(x，y)；|z|的几 何含义为z在复平面上对应点Z与原点的距 离本题关键是求出|z|的取值范围，就可以 确定z在复平面上的图形 复数模的几何意义 解析 由已知，|z1| 62 323， |z2| 2 2 2 2 2 21， Iz|z|3，zC，Az|z|1，zC IAz|1|z|3，zC IA中的z在复平面上对应的点Z的集合应是与原点距离 大于 1 而不大于 3 的所有点 IA中的所有z在复平面上对
11、应的点的集合 是以原点为圆心，以1和3为半径的圆所夹的 圆环，但不包括小圆的边界(如图) 设zC，满足下列条件的点Z的集合是什么 图形？ (1)|z|2；(2)2|z|3 答案 (1)以原点为圆心，以2为半径的圆 (2)以原点为圆心，分别以2和3为半径的圆所 夹的圆环，并且包括边界 解析 (1)因为|z|2即 |OZ|2 设zxyi(x、yR)，则满 足|z|2的点Z的集合是以原 点为圆心，以2为半径的 圆 (2)不等式 2|z|3，可化为不等式组 |z|2 |z|3. 满足不等式 |z|2 的点的集合是圆|z|2 及其外部的所有点满足不等式 |z|3 的点的集合是圆|z|3 及其内部的所有点，因此，满足不 等式 2|z|3 的点的集合是以原点为圆心，分别以 2 和 3 为半 径的圆所夹的圆环，并且包括边界如图所示 准确掌握复数模的几何意义 已知复数z满足|z|22|z|30， 则复数z对应点的轨迹是( ) A1个圆 B线段 C2个点 D2个圆 错解 由题意可知(|z|3)(|z|1)0，即 |z|3或|z|1，故选D 辨析 错解中忽视了“|z|”的几何意义是 “点Z到坐标原点的距离”导致错误 正解 由题意可知(|z|3)(|z|1)0，即|z| 3或|z|1 |z|0，|z|1应舍去，故应选A
