1、 第二章第二章 点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系复习课复习课(知识点回顾知识点回顾)知识点回顾知识点回顾平面（公理平面（公理1、公理、公理2、公理、公理3、公理、公理4）空间直线、平面的位置关系空间直线、平面的位置关系直线与直线直线与直线的位置关系的位置关系直线与平面直线与平面的位置关系的位置关系平面与平面平面与平面的位置关系的位置关系直线与直线平行直线与直线平行直线与平面平行直线与平面平行平面与平面平行平面与平面平行直线与直线垂直直线与直线垂直直线与平面垂直直线与平面垂直平面与平面垂直平面与平面垂直空间平行关系之间的转化空间平行关系之间的转化空间垂直关系之间的转化空间
2、垂直关系之间的转化本章知识结构本章知识结构1.平面的概念与表示平面的概念与表示公理公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内直线上所有的点都在这个平面内 公理公理2 2 经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。面。公理公理3 3 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。一条通过这个点的公共直线。2.四个公理四个公理平面（公理平面（公理1、公理、公理2、公理、公理3、公理、公理4）推论推论2 经过两条相交直
3、线，有且只有一个平面经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论推论1 1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面只有一个平面 推论推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面经过两条平行直线，有且只有一个平面 3.三个推论三个推论平面（公理平面（公理1、公理、公理2、公理、公理3、公理、公理4）公理公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行平行于同一条直线的两条直线互相平行(平行公理平行公理)典型例题典型例题1、如图，、如图，E、F、G、H分别是空间四边形分别是空间四边形AB、BC、CD、DA上的点，且上的点，且EH与与FG相交于点相交于点O.求证：求
4、证：B、D、O三点共线三点共线 证明证明 EAB，HAD，E平面平面ABD，H平面平面ABD.EH平面平面ABD.EHFG=O，O平面平面ABD.同理可证同理可证O平面平面BCD，O平面平面ABD平面平面BCD，即，即OBD，所以所以B、D、O三点共线三点共线.21.异面直线的概念异面直线的概念定义定义:我们把不同在任何一个平面内的两条我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线直线叫做异面直线2.空间两条直线的位置关系空间两条直线的位置关系(1)相交直线相交直线在同一平面内在同一平面内,有且仅有一个公共点有且仅有一个公共点(2)平行直线平行直线在同一平面内，没有公共点在同一平面内，没有公
5、共点(3)异面直线异面直线不同在任何一个平面内，没有公不同在任何一个平面内，没有公共点共点4.等角或补角定理等角或补角定理:空间中如果两个角的两边分空间中如果两个角的两边分别对应平行别对应平行,那么这两个角相等或互补那么这两个角相等或互补.直线与直线的位置关系直线与直线的位置关系5.异面直线所成的角异面直线所成的角定义：过空间任意一点，与异面直线定义：过空间任意一点，与异面直线a和和b分别平行的直线所成的锐角（或直角）叫分别平行的直线所成的锐角（或直角）叫做异面直线做异面直线a和和b所成的角所成的角(或夹角或夹角)00090两条异面直线所成的角的范围两条异面直线所成的角的范围6.两条异面直线互
6、相垂直两条异面直线互相垂直如果两条异面直线所成的角是直角，就说这如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。两条异面直线互相垂直。直线与直线的位置关系直线与直线的位置关系典型例题典型例题 1.如图所示，正方体如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，中，M、N分别是分别是A1B1，B1C1的中点的中点.问：问：（1）AM和和CN是否是异面直线？说明理由；是否是异面直线？说明理由；（2）D1B和和CC1是否是异面直线？说明理由是否是异面直线？说明理由.解解 （1）不是异面直线）不是异面直线.理由如下：理由如下：M、N分别是分别是A1B1、B1C1的中点的中点.MNA1C1，又又
7、A1A D1D，而，而D1D C1C，A1A C1C，四边形四边形A1ACC1为平行四边形为平行四边形.A1C1AC，得到，得到MNAC，A、M、N、C在同一个平面内，在同一个平面内，故故AM和和CN不是异面直线不是异面直线.典型例题典型例题 1.如图所示，正方体如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，中，M、N分别是分别是A1B1，B1C1的中点的中点.问：问：（1）AM和和CN是否是异面直线？说明理由；是否是异面直线？说明理由；（2）D1B和和CC1是否是异面直线？说明理由是否是异面直线？说明理由.（2）是异面直线，证明如下：）是异面直线，证明如下：假设假设D1B与与CC1在同一个平面
8、在同一个平面D1CC1内，内，则则B平面平面CC1D1，C平面平面CC1D1.BC平面平面CC1D1，这与正方体这与正方体ABCDA1B1C1D1中中BC面面CC1D1相矛盾相矛盾.假设不成立，假设不成立，故故D1B与与CC1是异面直线是异面直线.2直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系1.直线在平面内直线在平面内:-有无数个公共点有无数个公共点2.直线与平面相交直线与平面相交-有且只有一个公共点有且只有一个公共点3.直线与平面平行直线与平面平行-没有公共点没有公共点直线直线在平在平面外面外平面与平面的位置关系平面与平面的位置关系1.两个平面平行两个平面平行-没有公共点没有公共点2.两个平面
9、相交两个平面相交-有一条公共直线有一条公共直线1.1.判定定理：平面判定定理：平面外外的一条直的一条直线线和平面和平面内内的一的一 条直条直线线平行，则该直线和这个平面平行。平行，则该直线和这个平面平行。直线和平面平行的判定与性质直线和平面平行的判定与性质简记为简记为:线线线线平行，则平行，则线面线面平行。平行。2.2.性质定理性质定理:如果一条直线和一个平面平行，如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。这条直线就和交线平行。简记为简记为:线面线面平行，则平行，则线线线线平行。平行。典型例题典型例题“线线平行
10、线线平行”与与“线面平行线面平行”的转化问题的转化问题 1如图，在底面为平行四边形的四棱锥如图，在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，点中，点E是是PD的中点的中点.求证：求证：PB平面平面AEC。【分析分析】证明本题的关键：在平面证明本题的关键：在平面EAC中中“找找”一条与一条与PB平行的直线，由于平行的直线，由于点点E在平面在平面PBD中，中，所以可以在平面所以可以在平面PBD中过点中过点E“找找”（显然，（显然，要要“找找”的直线就是的直线就是平面平面PBD与平面与平面EAC的交线）。的交线）。最终将最终将“线面平行线面平行”问题转化为问题转化为“线线平行线线平行”问题。问题。典型
11、例题典型例题“线线平行线线平行”与与“线面平行线面平行”的转化问题的转化问题 1如图，在底面为平行四边形的四棱锥如图，在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，中，点点E是是PD的中点的中点.求证：求证：PB 平面平面AEC。【解解】连接连接BD，与，与AC相交与相交与O，连接连接EO，因为，因为ABCD是是平行四边形，所以平行四边形，所以O是是BD的中点又的中点又E是是PD的的中点，所以中点，所以EO/PB.又又PB 平面平面AEC，EO 平面平面AEC，PB/平面平面AEC。OP为长方形为长方形ABCD所在平面外一点，所在平面外一点，M、N分别为分别为AB，PD上的中点上的中点。求证：求证
12、：MN平面平面PBC。2QABCDMNPS法一法一:MNBQ MN平面平面PBC 法二法二:平面平面MNS平面平面PBC MN平面平面PBC 3.ABCD是平行四边形，点是平面是平行四边形，点是平面ABCD外一点，是的中点，在外一点，是的中点，在上取一点，过和作平面交平面上取一点，过和作平面交平面 于于求证：求证：/提示：连结提示：连结AC交交BD于于O，连，连结结OM平面和平面平行的判定与性质平面和平面平行的判定与性质简记为简记为:线面平行线面平行,则面面平行则面面平行.1.判定定理判定定理:一个平面内的两条相交直线与一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行另一个平面平行,则这两个平面平行则
13、这两个平面平行.2.性质定理性质定理:如果两个平行平面同时和如果两个平行平面同时和第三个平面相交第三个平面相交,那么它们的交线平行那么它们的交线平行.简记为简记为:面面平行面面平行,则线线平行则线线平行.3.两个平面平行的一个性质两个平面平行的一个性质:若两个平面平行若两个平面平行,则一个平面内的所有则一个平面内的所有直线都平行于另一个平面直线都平行于另一个平面.典型例题典型例题“线面平行线面平行”与与“面面平行面面平行”的转化问题的转化问题 1:如图如图,长方体长方体ABCD-A1B1C1D1中，中，E、P分别是分别是BC、A1D1的中点的中点,M、N分别是分别是AE、CD1的中点，的中点，
14、AD=AA1=a，AB=2a求证：求证：MN/平面平面ADD1A1；【分析分析】本题如果利用本题如果利用“线线平线线平行行”找找“线线”比较复杂以，所以比较复杂以，所以我们可以考虑利用我们可以考虑利用“面面平行面面平行”来将问题转化。关键是：考虑来将问题转化。关键是：考虑到点到点M、N都是中点，于是我们都是中点，于是我们就轻松的可以找到另一个比较就轻松的可以找到另一个比较特殊的中点特殊的中点K（CD的中点），的中点），将将“线面平行线面平行”问题转化为问题转化为“面面面面平行平行”问题。问题。典型例题典型例题“线面平行线面平行”与与“面面平行面面平行”的转化问题的转化问题 1:如图如图,长方体
15、长方体ABCD-A1B1C1D1中，中，E、P分别是分别是BC、A1D1的中点的中点,M、N分别是分别是AE、CD1的中点，的中点，AD=AA1=a，AB=2a求证：求证：MN/平面平面ADD1A1；K【证明证明】取取CD的中点的中点K，连结连结MK、NK，M、N、K分别分别AK、CD1、CD为的中点。为的中点。MK/AD，NK/DD1，MK/平面平面ADD1A1，NK/平面平面ADD1A1，而而MK NK=K，MK、NK在平面在平面MNK内，内，平面平面MNK/平面平面ADD1A1 MN/平面平面ADD1A1。2.2.已知三棱柱已知三棱柱ABCAABCA1 1B B1 1C C1 1中，中，
16、D是是AC的中点。的中点。求证：求证：ABAB1 1/平面平面DBCDBC1 1求证：面求证：面ABAB1 1DD1 1/平面平面DBCDBC1 1 DD1 1是是A A1 1C C1 1的中点。的中点。A AB BC CD DA A1 1B B1 1C C1 1DD1 1P PA AB BC CDDA A1 1B B1 1C C1 1AB1DP AB1/平面平面DBC1B1 D1BD,AD1C1D直线和平面垂直的判定与性质直线和平面垂直的判定与性质1 1直线与平面垂直的概念直线与平面垂直的概念 如果直线如果直线 l 与平面与平面 内的任意一条直线都内的任意一条直线都垂直，我们说直线垂直，我们
17、说直线 l 与平面与平面 互相垂直，互相垂直，2 2直线与平面垂直的判定定理直线与平面垂直的判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直则该直线与此平面垂直简记为简记为:线线线线垂直，则垂直，则线面线面垂直。垂直。两条平行直线中的一条垂直一个平面两条平行直线中的一条垂直一个平面,则另则另一条直线也垂直这个平面一条直线也垂直这个平面.3 3直线与平面垂直的另一种判定方法直线与平面垂直的另一种判定方法直线和平面垂直的判定与性质直线和平面垂直的判定与性质4.直线与平面所成的角直线与平面所成的角定义定义:平面的一条斜线和它在平面上的射
18、影所平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角叫做这条直线和这个平面所成的角.直线与平面所成的角的范围直线与平面所成的角的范围:00 9005.直线与平面垂直的性质定理直线与平面垂直的性质定理定理定理:垂直于同一个平面的两条直线平行垂直于同一个平面的两条直线平行.典型例题典型例题“线线垂直线线垂直”到到“线面垂直线面垂直”如图，如图，ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱。是正四棱柱。求证：求证：BD平面平面ACC1A1。【解解】根据直线与平面平行根据直线与平面平行的判定定理很容易找到两条的判定定理很容易找到两条相交的直线相交的直线AC、C1C与与BD垂直
19、。垂直。ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱，是正四棱柱，CC1平面平面ABCD，BDCC1，ABCD是正方形，是正方形，BDAC又又 AC，CC1 平面平面ACC1A1，且且ACCC1=C，BD平面平面ACC1A1。典型例题典型例题“线线垂直线线垂直”到到“线面垂直线面垂直”如图如图4,已知两个正四棱锥已知两个正四棱锥P-ABCD与与Q-ABCD的高分别为的高分别为1和和2,AB=4。求证：。求证：PQ 平面平面ABCD。D 图4 C B A Q P【解解】取取AD的中点的中点M，连接，连接PM、QM。因为因为PABCD与与QABCD都是正四棱锥，都是正四棱锥，所以所以AD PM，AD QM
20、。从而从而AD 平面平面PQM。又又PQ 平面平面PQM，所以，所以PQAD。同理同理PQAB，所以，所以PQ平面平面ABCD。M从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形叫从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角做二面角二面角的定义：二面角的定义：2.二面角的表示二面角的表示:l-或或PlQ 以二面角的棱上任意一点为端以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。成的角叫二面角的平面角。二面角平面角的定义：二面角平面角的定义：两个平面垂直的定义：两个平面垂直的定义：定义：两个平
21、面相交，如果它们所成的二面角定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直是直二面角，就说这两个平面互相垂直.P.QOAB平面和平面垂直的判定与性质平面和平面垂直的判定与性质平面和平面垂直的判定与性质平面和平面垂直的判定与性质面面垂直的判定定理面面垂直的判定定理 定理定理：一个平面过另一个平面的一条垂：一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直线，则这两个平面垂直.简记为简记为:（线面垂直，则面面垂直线面垂直，则面面垂直）6.平面与平面垂直的性质定理平面与平面垂直的性质定理定理定理:两个平面垂直两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线则一个平面内垂直于交线的直线与
22、另一个平面垂直的直线与另一个平面垂直.简记为简记为:面面垂直，则线面垂直面面垂直，则线面垂直 7.另一个性质另一个性质:两个平面垂直两个平面垂直,过一个平面的一点过一个平面的一点作另一个平面的垂线作另一个平面的垂线,必在第一个平面内必在第一个平面内.典型例题典型例题二面角与二面角的平面角问题二面角与二面角的平面角问题【06广东】如图所示AF，DE、分别是圆O、圆O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD=8，BC是圆O的直径，AB=AC=6，OE/AD。求二面角BADF的大小；【解解】AD与两圆所在的平面均垂直，与两圆所在的平面均垂直，ADAB，ADAF，故故BAF是二面角是二面角BADF的
23、平面角，的平面角，依题意可知，依题意可知，ABFC是正方形，是正方形，所以所以BAF450.即二面角即二面角BADF的大小为的大小为450；参考课本参考课本P73习题习题2.3A 3、4、B-1一些常用结论一些常用结论1.三条两两相交的直线可确定三条两两相交的直线可确定1个或个或3个平面个平面.2.不共面的四点可确定不共面的四点可确定4个平面个平面.3.三个平面两两相交三个平面两两相交,交线有交线有1条或条或3条条.4.正方体各面所在平面将空间分成正方体各面所在平面将空间分成27个部分个部分.5.夹在两个平行平面之间的平行线段相等夹在两个平行平面之间的平行线段相等.6.平行于同一个平面的两个平
24、面平行平行于同一个平面的两个平面平行.7.垂直于同一条直线的两个平面平行垂直于同一条直线的两个平面平行.一些常用结论一些常用结论8.过一点作已知平面的垂线有且只有过一点作已知平面的垂线有且只有1条条.9.过直线外一点作已知直线的平行线有且只有过直线外一点作已知直线的平行线有且只有1条条.10.过一点作已知直线的垂面有且只有过一点作已知直线的垂面有且只有1个个.11.过平面外一点作已知平面的平行平面有且过平面外一点作已知平面的平行平面有且只有只有1个个12.如图如图,若若PA=PB=PC,则则O 是是ABC的外心的外心.13.如图如图,若若PA,PB,PC两两两两垂直垂直,则则O 是是ABC的垂心的垂心.PABCOPABCODEF14.如图如图,若点若点P到三边的距离到三边的距离相等相等(即即PD=PE=PF),则则O是是ABC的内心的内心.
