1、2.92.9实际问题的函数建模实际问题的函数建模考纲要求-2-考纲要求:1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征,结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.知识梳理-3-1.常见的函数模型(1)一次函数模型:f(x)=kx+b(k,b为常数,k0);(2)二次函数模型:f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a0);知识梳理-4-2.指数、对数、幂函数模型性质比较双击自测-5-234151.下列结论正确的打“”,错误的打“”.(1)幂函数增长比一次函数增
2、长更快.()(2)在(0,+)上,随着x的增大,y=ax(a1)的增长速度会超过并远远大于y=x(0)的增长速度.()(3)指数函数模型,一般用于解决变化较快,短时间内变化量较大的实际问题.()(4)当a1时,不存在实数x0,使 .()(5)对数函数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律.()双击自测-6-234152.下列函数中,随x的增大,y的增长速度最快的是()A.B.y=100ln xC.y=x100D.y=1 002x 答案 答案关闭D双击自测-7-234153.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据:现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最
3、接近的一个是()A.y=2x-2B.y=(x2-1)C.y=log3xD.y=2x-2 答案解析解析关闭 答案解析关闭双击自测-8-234154.(2015郑州模拟)为了保证信息安全,传输必须使用加密方式,有一种方式其加密、解密原理如下:已知加密为y=ax-2(x为明文,y为密文),如果明文“3”通过加密后得到密文为6,再发送,接收方通过解密得到明文“3”,若接收方接到密文为“14”,则原发的明文是.答案解析解析关闭 答案解析关闭双击自测-9-234155.某企业投入100万元购入一套设备,该设备每年的运转费用是0.5万元,此外每年都要花费一定的维护费,第一年的维护费为2万元,由于设备老化,以
4、后每年的维护费都比上一年增加2万元.为使该设备年平均费用最低,该企业需要更新设备的年数为.答案解析解析关闭 答案解析关闭双击自测-10-23415自测点评1.“直线上升”是匀速增长,其增长量固定不变;“指数增长”先慢后快,其增长量成倍增加,常用“指数爆炸”来形容;“对数增长”先快后慢,其增长速度缓慢.2.充分理解题意,并熟练掌握几种常见函数的图像和性质是解题的关键.3.易忽视实际问题的自变量的取值范围,需合理确定函数的定义域,必须验证数学结果对实际问题的合理性.核心考点-11-考点1考点2考点3知识方法易错易混考点1一次函数与二次函数模型一次函数与二次函数模型例1(1)(2015山西大同模拟)
5、某电信公司推出两种手机收费方式:甲种方式是月租20元,乙种方式是月租0元.一个月的本地网内打出电话时间t(单位:分钟)与打出电话费s(单位:元)的函数关系如图,当打出电话150分钟时,这两种方式的电话费相差()A.10元B.20元C.30元D.答案解析解析关闭 答案解析关闭核心考点-12-考点1考点2考点3知识方法易错易混(2)李华经营了两家电动轿车销售连锁店,其月利润(单位:元)分别为L1=-5x2+900 x-16 000,L2=300 x-2 000(其中x为销售辆数),若某月两连锁店共销售了110辆,则能获得的最大利润为()A.11 000B.22 000C.33 000D.40 00
6、0 答案解析解析关闭设甲连锁店销售x辆,则乙连锁店销售(110-x)辆,故利润L=-5x2+900 x-16 000+300(110-x)-2 000=-5x2+600 x+15 000=-5(x-60)2+33 000,所以当x=60辆时,有最大利润33 000元,故选C.答案解析关闭C 核心考点-13-考点1考点2考点3知识方法易错易混思考:生活中常见的哪些问题的两变量之间是二次函数关系?解题心得:1.在现实生活中,很多问题的两个变量之间的关系是一次函数模型,其增长特点是直线上升(自变量系数大于0)或直线下降(自变量系数小于0).2.有些问题的两变量之间是二次函数关系,如面积问题、利润问题
7、、产量问题等.构建二次函数模型,利用二次函数的图像与单调性解决.核心考点-14-考点1考点2考点3知识方法易错易混对点训练1某企业生产A,B两种产品,根据市场调查与预测,A产品的利润与投资成正比,其关系如图;B产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图(注:利润和投资单位:万元).核心考点-15-考点1考点2考点3知识方法易错易混(1)分别将A,B两种产品的利润表示为投资的函数关系式;(2)已知该企业已筹集到18万元资金,并将全部投入A,B两种产品的生产.若平均投入生产两种产品,可获得多少利润?问:如果你是厂长,怎样分配这18万元投资,才能使该企业获得最大利润?其最大利润约为多少万元?解:
8、(1)设A,B两种产品分别投资x万元(x0),所获利润分别为f(x)万元、g(x)万元,由题意可设f(x)=k1x,g(x)=k2 ,根据图像可解得f(x)=0.25x(x0),g(x)=2 (x0).核心考点-16-考点1考点2考点3知识方法易错易混核心考点-17-考点1考点2考点3知识方法易错易混考点2分段函数模型分段函数模型例2某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测:服药后每毫升血液中的含药量y(单位:g)与时间t(单位:h)之间的关系近似满足如图所示的曲线.(1)写出第一次服药后y与t之间的函数解析式y=f(t);(2)据进一步测定:当每毫升血液中含药量不少于0
9、.25 g时,治疗有效.求服药一次后治疗有效的时间.答案 答案关闭核心考点-18-考点1考点2考点3知识方法易错易混思考:分段函数模型适合哪些问题?解题心得:1.在现实生活中,很多问题的两变量之间的关系,不能用同一个关系式给出,而是由几个不同的关系式构成分段函数.如出租车票价与路程之间的关系,就是分段函数.2.分段函数主要是每一段上自变量变化所遵循的规律不同,可以先将其作为几个不同问题,将各段的规律找出来,再将其合在一起.要注意各段变量的范围,特别是端点.核心考点-19-考点1考点2考点3知识方法易错易混对点训练2(2015湖南岳阳模拟)一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元,此外每生
10、产1件该产品还需要增加投资1万元,年产量为x(xN+)件.当x20时,年销售总收入为(33x-x2)万元;当x20时,年销售总收入为260万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元,则y(万元)与x(件)的函数关系式为,该工厂的年产量为件时,所得年利润最大.(年利润=年销售总收入-年总投资)答案解析解析关闭 答案解析关闭核心考点-20-考点1考点2考点3知识方法易错易混考点3指数型、对数型函数模型指数型、对数型函数模型例3某城市现有人口总数为100万人,如果年自然增长率为1.2%,试解答以下问题:(1)写出该城市人口总数y(单位:万人)与年份x(单位:年)的函数关系式;(2)计算10
11、年以后该城市人口总数(精确到0.1万人);(3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人(精确到1年).(1.012101.127,1.012151.196,1.012161.210,log1.0121.215.3)解:(1)1年后该城市人口总数为y=100+1001.2%=100(1+1.2%).2年后该城市人口总数为y=100(1+1.2%)+100(1+1.2%)1.2%=100(1+1.2%)2.核心考点-21-考点1考点2考点3知识方法易错易混3年后该城市人口总数为y=100(1+1.2%)2+100(1+1.2%)21.2%=100(1+1.2%)3.x年后该城市人口总数为y=
12、100(1+1.2%)x.所以该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式是y=100(1+1.2%)x.(2)10年后该城市人口总数为100(1+1.2%)10112.7(万).所以10年后该城市人口总数约为112.7万.(3)设x年后该城市人口将达到120万人,即100(1+1.2%)x120,于是所以 =log1.0121.215.315(年).即大约15年后该城市人口总数将达到120万人.核心考点-22-考点1考点2考点3知识方法易错易混思考:哪些实际问题适合用指数函数模型解决?解题心得:1.在实际问题中,有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示.通常可以
13、表示为y=N(1+p)x(其中N为基础数,p为增长率,x为时间)的形式.解题时,往往用到对数运算,要注意与已知表格中给定的值对应求解.2.有关对数型函数的应用题,一般都会给出函数解析式,要求根据实际情况求出函数解析式中的参数,或给出具体情境,从中提炼出数据,代入解析式求值,然后根据值回答其实际意义.核心考点-23-考点1考点2考点3知识方法易错易混对点训练3声强级Y(单位:分贝)由公式 给出,其中I为声强(单位:W/m2).(1)平常人交谈时的声强约为10-6 W/m2,求其声强级.(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝,求能听到的最低声强为多少?(3)比较理想的睡眠环境要求声强级Y50分贝
14、,已知熄灯后两位同学在宿舍说话的声强为510-7 W/m2,问这两位同学是否会影响其他同学休息?答案 答案关闭核心考点-24-考点1考点2考点3知识方法易错易混1.解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型;(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型;(3)解模:求解数学模型,得出数学结论;(4)还原:将数学结论还原为实际问题的意义.以上过程用框图表示如下:2.实际问题中往往涉及一些最值问题,我们可以利用二次函数的最值、函数的单调性、基本不等式等求得最值.核心考点-25-考点1考点2考点3知识方法易错易混1.解应用题的关键是审题,不仅要明白、理解问题讲的是什么,还要特别注意一些关键的字眼(如“几年后”与“第几年”),学生常常由于读题不谨慎而漏读和错读,导致题目不会做或函数解析式写错.2.解应用题建模后一定要注意定义域.3.解决完数学模型后,注意转化为实际问题写出总结答案.
