1、-1- 1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 课程目标课程目标 学习脉络学习脉络 1.要结合模型、动态或静态的直观图,了解、认 识和研究多面体、棱柱、棱锥、棱台的结构特 征,并结合这些结构特征认识日常生活中见到 的几何体. 2.了解棱柱、棱锥和棱台的分类,学会表示它们 的方法,初步了解它们的一些性质. 3.认识直棱柱、正棱柱、正棱锥、正棱台这些 特殊多面体的结构特征和性质,认识和研究正 棱锥或正棱台中可以称之为核心图形的那些直 角三角形或直角梯形. JICHU Z
2、HISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 1.多面体及其相关概念 (1)定义. 由若干个平面多边形所围成的几何体叫多面体. (2)相关概念. (3)凸多面体. 把一个多面体的任意一个面延展为平面,如果其余的各面都在这个平 面的同一侧,则这样的多面体就叫做凸多面体. JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 思考 1一个多面体至少有几个面?几个顶点?几条棱? 提示:最简单的多面体是四面体,有 4 个面,4 个顶点,6 条棱. JICHU
3、 ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 2.棱柱 (1)棱柱的概念. 有两个互相平行的面,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的 公共边都互相平行,这些面围成的几何体称为棱柱.棱柱中,两个互相平行的 面称为棱柱的底面;其余各面叫做棱柱的侧面;两侧面的公共边称为棱柱的 侧棱;底面多边形与侧面的公共顶点叫做棱柱的顶点.棱柱两底面之间的距 离叫做棱柱的高. JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 (2)棱柱的表示法. 用表示两底
4、面的对应顶点的字母或者用一条对角线端点的两个字母 来表示. JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 (3)棱柱的分类. 按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱 棱柱又分为斜棱柱和直棱柱. 侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱,侧棱与底面垂直的棱柱叫做直 棱柱,底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.底面是平行四边形的棱柱叫做 平行六面体.侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体,底面是矩形 的直平行六面体是长方体,棱长都相等的长方体是正方体. JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN
5、NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 思考 2有人说:有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形 的几何体是棱柱.你认为这种说法对吗? 提示:这种说法不对.棱柱有两个本质特征:(1)有两个面互相平行;(2)其 余各面每相邻两面的公共边相互平行.正是由于这两个特征,使棱柱的各侧 面都是平行四边形,但是有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的几 何体未必是棱柱.反例:如图所示. JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 3.棱锥 (1)棱锥的概念. 有一面为多边形,其余各面是有一个公
6、共顶点的三角形,这些面围成的 几何体叫做棱锥.棱锥中有公共顶点的各三角形,叫做棱锥的侧面;各侧面的 公共顶点叫做棱锥的顶点;相邻两侧面的公共边叫做棱锥的侧棱;多边形叫 做棱锥的底面.顶点到底面的距离,叫做棱锥的高. (2)棱锥的表示法. 用表示顶点和底面各顶点的字母来表示或用表示顶点和底面的一条 对角线端点的字母来表示. (3)棱锥的分类. 按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥、五棱锥 JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 (4)正棱锥的概念. 如果棱锥的底面是正多边形,且它的顶点在过底面中心且与底面垂
7、直 的直线上,则这个棱锥叫做正棱锥.正棱锥各侧面都是全等的等腰三角形,这 些等腰三角形底边上的高都相等,叫做棱锥的斜高. JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 思考 3有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是 棱锥吗?为什么? 提示:不一定,判断一个几何体是否是棱锥,关键是紧扣棱锥的 3 个本质特 征:(1)有一个面是多边形;(2)其余各面都是三角形;(3)这些三角形有一个公 共顶点.这 3 个特征缺一不可,显然,这种说法不满足(3).反例如图所示. JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 Z
8、HONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 4.棱台 (1)棱台的概念. 棱锥被平行于底面的平面所截,截面和底面间的部分叫做棱台.原棱锥 的底面和截面分别称为棱台的下底面和上底面;其他各面称为棱台的侧面; 相邻两侧面的公共边称为棱台的侧棱;底面多边形与侧面的公共顶点叫做 棱台的顶点;两底面间的距离叫做棱台的高. (2)棱台的表示法. 用表示上、下底面各顶点的字母表示棱台. (3)棱台的分类. 按底面多边形的边数分为三棱台、四棱台、五棱台 (4)正棱台的概念. 由正棱锥截得的棱台叫做正棱台.正棱台各侧面都是全等的等腰梯形, 这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高.
9、 JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 思考 4如何判断一个多面体是棱台? 提示:要判断一个多面体是不是棱台,首先看两个底面是否平行,其次把 侧棱延长看是否相交于一点,这两条都满足的几何体才是棱台. JICHU ZHISHI 基础知识 首 页 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 SUITANG LIANXI 随堂练习 5.特殊的四棱柱 思考 5正四棱柱与长方体有何内在联系? 提示:正四棱柱一定是长方体,但长方体不一定是正四棱柱,用集合语言 可描述为正四棱柱长方体. ZHONGDIAN NAND
10、IAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究一 棱柱的结构特征 判断一个几何体是棱柱的依据及关键点 (1)依据:判断是否是棱柱要紧扣棱柱的定义. (2)抓住三个关键点. 底面:两个多边形全等且所在平面互相平行. 侧面:都是平行四边形. 侧棱:互相平行且相等. 以上三点缺一不可. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 【典型例题 1】 (1)下列几何体是棱柱的有(
11、) A.5 个 B.4 个 C.3 个 D.2 个 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 解析:棱柱的结构特征有三方面:有两个面互相平行;其余各面是平行 四边形;这些平行四边形面中,每相邻两个面的公共边都互相平行,当一个几 何体同时满足这三方面的特征时,这个几何体才是棱柱. 上述三方面的特征都符合,是棱柱;没有两个平行平面,所以不 是;符合条件,是棱柱;虽然有两个平面平行,但其余各面不是平行四边 形,因此不是;只有三角形的面,没有符合的一个条件,所以不是;有两个
12、平行平面,但其余各面中有的不是平行四边形,所以不是.因此符合条件的 只有. 答案:D ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 (2)给出下列几个结论: 长方体一定是正四棱柱. 正方体一定是正四棱柱. 长方体一定是直棱柱. 有一条侧棱与底面两边垂直的棱柱是直棱柱. 有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱. 其中错误的是 .(填序号) 解析:侧棱垂直于底面的棱柱为直棱柱,而底面为正多边形的直棱柱为 正棱柱.对照各结论知错误. 答案: ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点
13、 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究二 棱锥、棱台的结构特征 判断棱锥、棱台的常用方法有: (1)举反例法: 结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某 些说法不正确. (2)直接法: 棱锥 棱台 定底面 只有一个面是多边形,此面即为底面 两个互相平行的面,即为底面 看侧棱 相交于一点 延长后相交于一点 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 【典型例题
14、2】 判断以下说法,正确的是( ) A.所有面都是三角形的几何体一定是三棱锥 B.三棱锥的每一个面都可作为底面 C.底面是正多边形,各侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥 D.正棱锥的所有棱长都相等 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 解析:如图(1)的几何体所有的面为三角形,但不是三棱锥,故 A 错.如图 (2)中,棱 AD=1,其余棱长为 2, 满足题意,但不是正三棱锥,故 C 错.正棱锥中,所有侧棱长都相等,故 D 错.而三棱锥又称四面体,每个面都是三角形,故
15、每个面都可作为底面,故 B 正确. 答案:B ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 【典型例题 3】 下列关于棱锥、棱台的说法: (1)用一个平面去截棱锥,底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台. (2)棱台的侧面一定不会是平行四边形. (3)棱锥的侧面只能是三角形. (4)由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥. (5)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥. 其中正确说法的序号是 . ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基
16、础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 解析:(1)错误,若平面不与棱锥底面平行,用这个平面去截棱锥,棱锥底 面和截面之间的部分不是棱台; (2)正确,棱台的侧面一定是梯形,而不是平行四边形; (3)正确,由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形; (4)正确,由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥; (5)错误,如图所示四棱锥被平面 PBD 截成的两部分都是棱锥. 答案:(2)(3)(4) ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探
17、究五 探究三 有关正棱锥、正棱台中的计算问题 1.正棱锥、 正棱台中的直角三角形,正棱锥中的几个重要的直角三角形. 如图所示,正棱锥中,点 O 为底面中心,M 是 CD 的中点,则SOM,SOC 均 是直角三角形,很明显,SMC,OMC 也是直角三角形. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 2.正棱台中的几个重要的直角梯形:如图所示,由斜高、 侧棱构成的直角 梯形 E1ECC1,由斜高、高构成的直角梯形 O1E1EO,由高、侧棱构成的直角 梯形 O1OCC1.
18、ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 【典型例题 4】 (1)若正四棱锥的底面积为 4,侧棱长为 2,则其斜高 为 . 解析:正四棱锥的侧面为等腰三角形, 如图,作 PECD 于点 E, 则 PE 为斜高,E 为 CD 的中点. 由底面积为 4,知底面边长为 2, 在 RtPCE 中,PC=2,CE=1, 所以 PE= 22-12= 3. 答案: 3 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIAN
19、XI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 (2)一个正四棱台的上、下底面面积分别为 4,16,一侧面面积为 12,求 该棱台的斜高、高、侧棱长. 解:如图,设 O,O 分别为上、下底面的中心,即 OO为正四棱台的高,E,F 分别为 BC,BC 的中点, 则 EFBC,EF 为斜高. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 由上底面面积为 4,上底面为正方形,可得 BC=2;同理,BC=4. 因为四边形 BCCB的面积为 12, 所以1 2(2+4)EF
20、=12, 所以 EF=4. 过 B作 BHBC 交 BC 于点 H, 则 BH=BF-BE=2-1=1,BH=EF=4. 在 RtBBH 中, BB= 2+ B2= 12+ 42= 17. 同理,在直角梯形 OOFE 中,计算出 OO= 15.综上,该正四棱台的侧棱 长为 17,斜高为 4,高为 15. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究四 立体图形的展开问题 解决空间几何体表面上两点间的最短线路问题,一般都是将空间几何 体表面按某一种方式展开,转化为求平
21、面内两点间的线段长,这体现了数学 中的转化思想. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 【典型例题 5】 如图所示,在四面体 P-ABC 中,PA=PB=PC=2.APB=BPC=APC=30 ,一只 蜜蜂从 A 点出发沿四面体的表面绕行一周,再回到 A 点,求蜜蜂经过的最短路程. 解:将四面体沿 PA 剪开,并展成如图所示的平面 图形,则 AA就是所求的最短路程. 因为APA=90 ,PA=PA=2,所以最短路程 AA为 2 2. ZHONGDIAN NANDI
22、AN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究五 易错辨析 易错点:对棱柱、棱锥、棱台的结构把握不清而致误 【典型例题 6】 如图所示,关于几何体的说法正确的序号有 . (1)这是一个六面体; (2)这是一个四棱台; (3)这是一个四棱柱; (4)此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到; (5)此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到. ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 SUITANG LIANXI 随堂练习 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五
23、 错解:答案中含有(2). 错因分析:未对几何体侧棱延长后是否交于一点验证,而直接由侧面是 否为梯形做出误判. 正解:(1)正确,因为有六个面,属于六面体的范围; (2)错误,因为侧棱的延长线不能交于一点,所以不正确; (3)正确,如果把几何体放倒就会发现是一个四棱柱; (4)(5)都正确,如图所示. 答案:(1)(3)(4)(5) SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 1.下图所示的几何体是棱台的是( ) 解析:选项 A 中的几何体的四条侧棱延长后不相交于一点;选项 B 和选项 C
24、 中的几何体的截面不平行于底面;只有选项 D 中的几何体符合棱台的定义 与特征. 答案:D SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 2.下列说法中正确的是( ) A.棱柱的面中,至少有两个面互相平行 B.棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面 C.棱柱中一条侧棱的长叫做棱柱的高 D.棱柱的侧面是平行四边形,但它的底面一定不是平行四边形 解析:由棱柱的概念知选项 A 正确,D错误;棱柱中两个互相平行的面可能是 棱柱的侧面,故 B 错;斜棱柱的高不等于侧棱长,故 C 错. 答案:A SUI
25、TANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 3.各棱长均为 a 的三棱锥的斜高为 . 解析:该几何体的斜高就是边长为 a 的正三角形的高,即为 3 2 a. 答案: 3 2 a SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,P为棱AA1的中点,Q 为棱BB1上任 意一点,则 PQ+QC 的最小值是 . 解析:将平面ABB1A1,BCC1B1展
26、开成平面图形(如图所示),则 PQ+QC 的最小 值即为线段 PC 的长度.由题意知 PC= 2+ A2= 2 4 + 42= 17 2 a. 答案: 17 2 a SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 5.如图所示,正四棱台AC的高是17 cm,两底面的边长分别是4 cm和16 cm, 求这个棱台的侧棱长和斜高. SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 解:设棱台两底面的中
27、心分别是 O和 O,BC,BC 的中点分别是 E,E. 连接 OO,EE,OB,OB,OE,OE, SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 则 OBBO,OEEO都是直角梯形. 在正方形 ABCD 中,BC=16 cm, 则 OB=8 2 cm,OE=8 cm; 在正方形 ABCD中,BC=4 cm, 则 OB=2 2 cm,OE=2 cm. 在直角梯形 OOBB中, BB= 2+ (OB-OB)2 = 172+ (8 2-2 2)2 =19(cm). SUITANG LIANXI 随堂练习 首 页 JICHU ZHISHI 基础知识 ZHONGDIAN NANDIAN 重点难点 1 2 3 4 5 在直角梯形 OOEE中, EE= 2+ (OE-OE)2 = 172+ (8-2)2=5 13(cm). 即这个棱台的侧棱长为 19 cm,斜高为 5 13 cm.
