1、1.3.2 1.3.2 球的体积和表面积球的体积和表面积 鹿邑县高中：崔有亮 A O i r O. nii n R Rr i ,2 , 1,)1( 22 , 2 1 RRr ,)( 22 2 n R Rr 1、球的体积、球的体积 B2 C2 Bi Ci A O ,) 2 ( 22 3 n R Rr 已知球的半径为已知球的半径为R ni n i n R n R rV ii ,2 , 1,) 1 (1 2 3 2 问题问题:已知球的半径为已知球的半径为R,用用R表示球的体积表示球的体积. nii n R Rr i , 2 , 1,)1( 22 n VVVV 21半球 ) 1(21 2 2223 n
2、 n n n R 6 ) 12() 1(1 2 3 nnn n n n R 6 ) 12)(1(1 1 2 3 nn n R 例例1. 1.钢球直径是钢球直径是5cm,5cm,求它的体积求它的体积. . 333 6 125 ) 2 5 ( 3 4 3 4 cmRV 3 3 4 RV 定理定理:半径是半径是R的球的体积的球的体积 变式变式1 1：一种空心钢球的质量是：一种空心钢球的质量是142g,142g,外径外径 是是5cm,5cm,求它的内径求它的内径.( .(钢的密度是钢的密度是7.9g/cm7.9g/cm2 2) ) 解:设空心钢球的内径为2xcm,则钢球 的质量是 答:空心钢球的内径约
3、为4.5cm. 142 3 4 ) 2 5 ( 3 4 9 . 7 33 x 3 .11 49 . 7 3142 ) 2 5 ( 33 x 由计算器算得: 24. 2x 5 . 42 x ( (变式变式2) 2)把钢球放入一个正方体的有盖纸把钢球放入一个正方体的有盖纸 盒中盒中, ,至少要用多少纸至少要用多少纸? ? 用料最省时用料最省时, ,球与正方体有什么位置关系球与正方体有什么位置关系? ? 球内切于正方体球内切于正方体 22 15056cmS 侧 侧棱长为侧棱长为5cm 1.球的直径伸长为原来的球的直径伸长为原来的2倍倍,体积变为原来体积变为原来 的几倍的几倍? 2.一个正方体的顶点都
4、在球面上一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是它的棱长是 4cm,求这个球的体积求这个球的体积. 8倍倍 332 变式变式3.有三个球有三个球,一球切于正方体的各面一球切于正方体的各面, 一球切于正方体的各侧棱一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体一球过正方体 的各顶点的各顶点,求这三个球的体积之比求这三个球的体积之比. 作轴截面作轴截面 例例2、某街心花园有许多钢球（钢的密度、某街心花园有许多钢球（钢的密度 是是7.9g/cm3),每个钢球重每个钢球重145kg，并且外，并且外 径等于径等于50cm，试根据以上数据，判断钢试根据以上数据，判断钢 球是实心的还是空心的。如果是空的球是实心的还是空
5、心的。如果是空的,请请 你计算出它的内径（你计算出它的内径（取取3.14，结果精确，结果精确 到到1cm）。）。 1.两种方法两种方法:化整为零的思想方法和“分割化整为零的思想方法和“分割,求求 和和,取极限”的数学方法取极限”的数学方法. 2.一个观点一个观点:在一定条件下在一定条件下,化曲为直的辨证观化曲为直的辨证观 点点. 3.一个公式一个公式:半径为半径为R的球的体积是的球的体积是 3 3 4 RV 4.解决两类问题解决两类问题:两个几何体相切和相接两个几何体相切和相接 作适当的轴截面作适当的轴截面 两个几何体相切两个几何体相切:一个几何体的各个一个几何体的各个面面与另与另 一个几何体
6、的各一个几何体的各面面相切相切. 两个几何体相接两个几何体相接:一个几何体的所有一个几何体的所有顶点顶点都都 在另一个几何体的表面上在另一个几何体的表面上 球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面。球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面。 球球( (即球体即球体):):球面所围成的几何体。球面所围成的几何体。 它包括它包括球面球面和和球面所包围的空间球面所包围的空间。 半径是半径是R R的球的体积：的球的体积： 推导方法推导方法： 3 3 4 RV 分割分割 求近似和求近似和 化为准确和化为准确和 小结：小结： 第一步：分割第一步：分割 O O 球面被分割成球面被分割成n n个网格，
7、个网格， 表面积分别为：表面积分别为： n SSSS. 321 ， 则球的表面积：则球的表面积： n SSSSS. 321 则球的体积为：则球的体积为： 设设“小锥体小锥体”的体积为：的体积为： i V i V n VVVVV. 321 i S O O 2 2、球的表面积、球的表面积 O O 第二步：求近似和第二步：求近似和 O O i h 由第一步得：由第一步得： n VVVVV. 321 nn hShShShSV 3 1 3 1 3 1 3 1 332211 . iii hSV 3 1 i S i V 第三步：转化为球的表面积第三步：转化为球的表面积 RSV ii 3 1 如果网格分的越细
8、如果网格分的越细, ,则则: : RSRSRSRSV ni 3 1 3 1 3 1 3 1 32 . RSSSSSR ni 3 1 3 1 32 ).( 由由 得得: : 3 3 4 RV 球的体积球的体积: : 2 2 4R4RS S i S i V i h的值就趋向于球的半径的值就趋向于球的半径R R R i h i S O O i V “小锥体小锥体”就越接近小棱锥。就越接近小棱锥。 (1)(1)若球的表面积变为原来的若球的表面积变为原来的2 2倍倍, ,则半径变为原来的则半径变为原来的倍。倍。 (2)(2)若球半径变为原来的若球半径变为原来的2 2倍，则表面积变为原来的倍，则表面积变为
9、原来的倍。倍。 (3)(3)若两球表面积之比为若两球表面积之比为1:21:2，则其体积之比是，则其体积之比是。 (4)(4)若两球体积之比是若两球体积之比是1:21:2，则其表面积之比是，则其表面积之比是。 练习：练习： 2 4 22:1 3 4:1 例例. .如图，正方体如图，正方体ABCDABCD- -A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱长为的棱长为a,a,它的各个顶它的各个顶 点都在球点都在球O O的球面上，问球的球面上，问球O O的表面积。的表面积。 A A B B C C D D D D1 1 C C1 1 B B1 1 A A1 1 O O A A B B C C
10、D D D D1 1 C C1 1 B B1 1 A A1 1 O O 分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可 知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。 略解： 22 222 11 11 34 2 3 ,)2()2( 22 : aRS aRaaR aDBRDB DDBRt 得：得： ， 中中 变题变题1.1.如果球如果球O O和这个正方体的六个面都相切，则有和这个正方体的六个面都相切，则有S=S=。 变题变题2.2.如果球如果球O O和这个正方体的各条棱都相切，则有和这个正方体的各条棱都相切，则有S=S=。 2 a 2 2a 关键关键： 找正方体的棱长找正方体的棱长a a与球半径与球半径R R之间的关系之间的关系
