1、第一章 集合与函数概念含义与表示列举法描述法子集真子集基本关系相等基本运算交集并集补集集合解析法列表法函数表示方法图象法函数的基本性质单调性定义判定方法应用奇偶性定义判定方法应用函数的定义函数的三要素函数及其表示区间函数集合与函数概念章前概览内容提要：学法指津：本章是高中学习的起点，学好本章对以后的学习有着重要的意义，在学习中要注意：1和初中相关的数学知识做好衔接，为新知识的学习做好准备2认真思考，准确理解本章各知识点，注意相近知识的区别3在学习过程中，要养成从实验出发，由感性到理性的学习习惯，逐步培养观察、比较、抽象、概括的能力，培养科学严谨的学习态度4新课标要求会运用计算机等现代技术工具探
2、索和研究新问题，通过对本章的学习，探索高中数学的学习方法和数学思想（如集合思想、函数思想、数形结合思想、转化思想等）1.1 集 合1.1.1 集合的含义与表示法学点：探究与梳理自主探究探究问题1：你能举出生活中的一些集合的例子吗？探究问题2：你知道集合的三个特性吗？探究问题3：集合有哪些表示法？重点把握1本章的重点是集合的两种表示法列举法和描述法，应根据不同的具体问题选择适当的方法一般来说，元素较少的集合常用列举法，元素较多的集合或无限集常用描述法2在集合的三大特性中，尤其要注意元素的互异性在解题中的应用做集合题时，其结果必须考虑并检验元素是否是互异的题例：解析与点拨例1 用列举法把下列集合表
3、示出来：（1）；（2）；（3）解析：（1）集合中的元素是自然它必须满足条件也是自然数，即为，而时，（舍去），A=1，8（2）集合中的元素是自然数，它实际上是二次函数的函数值（3）集合中的元素是点，这些点必须在二次函数的图象上点拨：对于用特征性质描述给出的集合，首先要清楚集合中的代表元素是什么，元素满足什么条件，才能确定这个集合是由什么样的元素组成的，具有何种性质例2 已知集合，其中若集合中有两个元素，求的取值范围解析：集合中有两个元素，关于的方程有两个不相等的实数根，解得且，的取值范围为且点拨：此题中“”这种情况最容易被忽略，只有在“”的条件下，关于的方程才是一元二次方程，才能用“”来判断根的
4、个数，另外，一元二次方程有两个相等的实根时，在其解集中只能算一个元素例3 已知，求实数的值解析：若则，此时集合为，不符合集合元素的互异性，舍去；若则（舍去）或，同理可知，不符合题意，舍去；若，则（舍去）或当时，集合为符合题意，综上所述点拨：本题利用了集合中元素的确定性和互异性求出集合中变量的值，注意分类讨论思想的灵活运用学业水平测试巩固基础1下列各式正确的是（ ）A B C D2给出下列命题：（1）空集没有子集；（2）任何集合至少有两个子集；（3）空集是任何集合的真子集；（4）若，则其中正确的有（ ）A0个 B1个 C2个 D3个3定义集合且若，则集合的子集个数为（ ）A1 B2 C3 D44
5、已知，则集合的关系是（ ）A B C D5设全集集合那么等于（ ）A B C D能力提升6集合且的真子集的个数是（ ）A16 B8 C7 D47已知集合且集合中至少有一个奇数，则这样的集合有（ ）A13个 B12个 C11个 D10个8已知集合，集合，若则实数9若集合且，求的值10设，。若且求实数的值11向50名学生调查对两事件的态度，有如下结果，赞成的人数是全体人数的，其余的不赞成，赞成的比赞成的人数多3人，其余的不赞成，另外对都不赞成的学生比对都赞成的学生人数的多1人，问都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？拓展创新12设为两个非空数集，定义若则集合的子集有个13设是至少含有两个元素的集
6、合，在上定义了一个二元运算“*”（即对任意的对于有序元素对在中有唯一确定的元素与之对应），若对于任意的有则对任意的下列等式中不恒成立的是（ ）A BC D1.1.2集合的基本关系1.1.3集合的基本运算学点：探究与梳理自主探究探究问题：集合A与集合B之间存在的哪几种关系？探究问题：什么是子集、真子集、空集？探究问题：集合间有哪几种运算？重点把握1（1）由子集关系解决有关求字因的值或取值范围的问题，关键是利用图或数轴解决（）含有几个元素的集合的子集个数为个，其子集个数为个2正确理解子集与真子集的概念（1）不要把子集说成由原来的集合中的部分元素组成的集合，因为这与“空集是任何集合的子集”相抵触，也
7、和“是的子集”相矛盾（2）要注意区分“属于”与“包含于”，即“”与“”（3）注意数0，集合与空集的区别（4）空集是任何非空集合的真子集，即（为非空集合）（5）任何集合是它本身的子集，即（6）子集，真子集都有传递性，即若且则； 若且则3空集和全集是集合中的特殊集合，应引起重视，避免误解和遗漏，若则应优先考虑到4在解子集的综合问题时，首先要注意集合自身的转换，能够用列举法表述的，尽可能用列举法，这样使集合中的元素清晰明确，使问题简单化；其次，解决这类问题常用到分类讨论的方法题例：解析与点拨例1 已知集合满足，写出集合解析：当中含有两个元素时，为当中含有三个元素时，为当中含有四个元素时，为当中含有五
8、个元素时，为所以满足条件的集合为：点拨：解本题关键是要理解题意，明确子集的含义，另外，要学会分类讨论的数学思想方法例2 若集合且求的值解析：，因为所以方程的解可以是或2或无解当的解为时，由得当的解为2时，由得；当无解时，综上所述的值为或或0点拨：若已知则首先要考虑的情况，因为空集是任何集合的子集，而本题中当时，显然符合题意，注意分类讨论时要做到分类恰当，不重不漏例3 已知且,，求的值解析：，3是方程的一根，,，由韦达定理可知，点拨：由条件，结合交集定义可知集合、有且仅有一个公共元素是解决本题的入手点例4 已知集合若求实数的取值范围解析：设全集或若方程的两根均非负则， 在全集中集合的补集为，实数
9、的取值范围为点拨：本题所采用的策略在数学上称为“正难则反”，实际上是运用补集的思想对于一些比较复杂，比较抽象，条件和结论之间关系不明确，难于从正面入手的数学问题，可调整思路，从问题的反面入手，探求已知和未知的关系，以便化难为易解决问题例5 已知集合,且求的值或取值范围解析：， 或， 或又， 若， 则， 若，则 ， ，此时若，则，此时不是的子集 综上所述，或点拨：本题涉及转化（化归）思想，如还涉及分类讨论的思想，如对集合的讨论，但不要漏掉空集这一情况学业水平测试巩固基础：1设，则下列结论正确的是（ ）A B C D2设集合则（ ）A B C D3下列四个推理：；其中正确的个数为（ ）A1 B2
10、C3 D44若则（ ）A B C D5 已知全集，集合，集合，则等于（ ）A B C D6设若则的取值集合是（ ）A B C D能力提高：7若集合非空集合满足则有（ ）A B或 C D8设全集求实数的取值范围9设集合其中（1）如果求实数的取值范围；（2）如果求的值10设集合，求实数拓展创新：11设全集为，若求12已知，若求实数的值参考答案1.1.1参考答案学业水平测试1.D；2.B；3.D；4.B；5.B；6.C；7.B；8.1；9. ，的解为或2或无解.当的解为时，由得.当的解为2时，由得.当无解时，. 综上所述，或或0.10.，且中或或，当时，对两根 当时，对两根 当，时，对有 11.如图
11、所示，设50名学生为全集，所以赞成的人数为，赞成的人数为303=33人，设对、都造成的学生人数为，则对、都不赞成的学生人数为，赞成不赞成的人数为，赞成而不赞成的人数为.所以由题意，得，所以，.所以对、都赞成的人数为21人，对、都不赞成的有8人.12. 256；13. A1.1.2，1.1.3参考答案学业水平测试1.D；2.C；3.C；4.D；5.A；6.C；7.A；8. ，9. （1），若，则，当时，；当时，若，则，或当时，若，则，由得或（2），又至多只有两个元素，由（1）知，10.，（1）当即时，不合题意，舍去（2）当时，即无解（3）当时，无法综上所述，满足条件的实数不存在.11.=，但，但
12、，.，12. ， 即或当时与条件不符，舍去当时符合题意 高一数学测试题一 选择题：本大题共l0小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1设集合x0,B=x|-1x3,则AB=（ ）A-1,0 B-3,3 C0,3 D-3,-12.下列图像表示函数图像的是（ ）A B C D3. 函数的定义域为（ ）A(5，) B5，C(5，0) D (2，0)4. 已知，则的大小关系是（ ）A B C D 5.函数的实数解落在的区间是（ ） 6.已知则线段的垂直平分线的方程是（ ） 7. 下列条件中,能判断两个平面平行的是( )A 一个平面内的一条直线平行于另一个平面;B
13、一个平面内的两条直线平行于另一个平面C 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 8. 如图，在RtABC中，ABC=90，P为ABC所在平面外一点PA平面ABC，则四面体P-ABC中共有（ ）个直角三角形。 A 4 B 3 C 2 D 19.如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是，那么圆柱的体积等于（） A B C D 10 .在圆上，与直线的距离最小的点的坐标为（ ） 二 填空题本大题共4小题，每小题5分，满分20分11.设，则的中点到点的距离为 .12. 如果一个几何体的三视图如右图所示（单位长度：cm）， 则此几何体的表面积是 .13.设函数在R上
14、是减函数，则的范围是 .14.已知点到直线距离为，则= .三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤15. （本小题满分10分）求经过两条直线和的交点，并且与直线垂直的直线方程（一般式）.16. （本小题满分14分）如图，的中点.（1）求证：；（2）求证：； 17. （本小题满分14分）已知函数（14分）（1）求的定义域；（2）判断的奇偶性并证明；18. （本小题满分14分）当，函数为，经过（2，6），当时为，且过（-2，-2），（1）求的解析式；（2）求；（3）作出的图像，标出零点。19. （本小题满分14分）已知圆：，（1）求过点的圆的切线方程；（2）点为
15、圆上任意一点，求的最值。20.（本小题满分14分）某商店经营的消费品进价每件14元，月销售量Q（百件）与销售价格P（元）的关系如下图，每月各种开支2000元，（1） 写出月销售量Q（百件）与销售价格P（元）的函数关系。（2） 该店为了保证职工最低生活费开支3600元，问：商品价格应控制在什么范围？（3） 当商品价格每件为多少元时，月利润并扣除职工最低生活费的余额最大？并求出最大值。答案一选择（每题5分） 1-5 A C A C B 6-10 B D A B C二填空（每题5分） 11. 12. 13. 14. 1或-3三解答题15.（10分） 16.（14分） （1）取1分 为中点， （2）1
16、7.（14分）（1）由对数定义有 0，（2分）则有（2）对定义域内的任何一个，1分都有， 则为奇函数4分18.14分（1）.6分（2） 3分（3）图略3分. 零点0，-12分19.14分（1）设圆心C，由已知C(2,3) , 1分AC所在直线斜率为， 2分则切线斜率为，1分则切线方程为。 2分（2）可以看成是原点O(0,0)与连线的斜率，则过原点与圆相切的直线的斜率为所求。1分圆心（2，3），半径1，设=k，1分则直线为圆的切线，有，2分解得，2分 所以的最大值为，最小值为 2分20.14分（1） 4分（2）当时，1分即，解得，故; 2分当时， 1分即，解得，故。2分所以（4） 每件19.5元时，余额最大，为450元。4分17
