1、等差数列的前等差数列的前n n项和公式项和公式:2)1nnaanS （dnnnaSn2)11 （形式形式1:1:形式形式2:2:复习回顾复习回顾.将等差数列前将等差数列前n n项和公式项和公式 看作是一个关于看作是一个关于n n的函数，这个函数的函数，这个函数 有什么特点？有什么特点？2)1(1dnnnaSn当当d00时时,S,Sn n是常数项为零的二次函数是常数项为零的二次函数21()22nddSnan则则 Sn=An2+Bn令令1,22ddABa 对等差数列前项和的最值问题有两种方法对等差数列前项和的最值问题有两种方法:(1)利用利用nS：由由001nnaa(2)利用利用na:1a当当0，
2、d0，前，前n项和有最大值。可由项和有最大值。可由，求得，求得n的值。的值。001nnaa，求得，求得n的值。的值。当当0，前，前n项和有最小值。可由项和有最小值。可由1an)2da(n2dS12n利用二次函数配方法求得最值时利用二次函数配方法求得最值时n n的值的值 例例8.设等差数列的前设等差数列的前n项和为项和为Sn,已知已知a3=12,S120,S13013a1+136d02437d 等差数列等差数列an前前n项和的性质项和的性质(2)11(1)2nSnan nd1(122)(1)2ndn nd25(12)22ddnnSn图象的对称轴为图象的对称轴为5122nd由由(1)知知2437d
3、 由上得由上得51213622d1362n即即由于由于n为正整数为正整数,所以当所以当n=6时时Sn有最大值有最大值.Sn有最大值有最大值.返回目录返回目录 （2 2）解法一：）解法一：d d0,a a2 2 a a3 3 a a1212 a a1313,而而 ,a a7 70,0,)0,a a6 60,0,数列数列 a an n 的前的前6 6项的和项的和S S6 6最大最大.0132)(13713113aaaS)(62)(1212112112aaaaSndndSn251222xdxdy251222等差数列等差数列an前前n项和的性质项和的性质性质性质1:Sn,S2nSn,S3nS2n,也在
4、等差数列也在等差数列,公差为公差为在等差数列在等差数列an中中,其前其前n项的和为项的和为Sn,则有则有n2d12a1+611d0一个等差数列的前12项之和为354，前12项中偶数项与奇数项之比为32：27，求公差。当d0时,Sn是常数项为零的二次函数则 Sn=An2+Bn求 的值。当d0时,Sn是常数项为零的二次函数此时有:S偶S奇=,性质1:Sn,S2nSn,S3nS2n,也在等差数列,公差为S2n-1=(2n 1)an (an为中间项),则 Sn=An2+Bn在项数为2n项的等差数列中，各奇数项的和 为75，偶数项的和为90，末项与首项的差为27，求n，当 时，y有最大值.0，前n项和有
5、最小值。等差数列an前n项和的性质此时有:S偶S奇=,公差d0,a70,等差数列an前n项和的性质).().(2264212531nnaaaaaaaaSS偶偶奇奇1)1(2)(1(2)(222121nnannaaanaannnnn项数为奇数项数为奇数2n1).().(2264212531nnaaaaaaaaSS偶偶奇奇nnnnnaannaaanaan)1(2)(1(2)(222121 21nan小结：若等差数列共有项，则nnanS)12()1(12偶数项个数奇数项个数偶奇1)2(nnSS中间项偶奇naSS)3(性质性质2.1)项项数为奇数数为奇数2n1,则则(2)若项若项 S2n-1=(2n
6、1)an (an为中间项为中间项),此时有此时有:S偶偶S奇奇=,SS 奇奇偶偶an1nn).().(264212531nnaaaaaaaaSS偶奇1221212)(2)(nnnnaaaanaan若项数为偶数若项数为偶数2n,).().(264212531nnaaaaaaaaSS偶奇1221212)(2)(nnnnaaaanaan 2nan小结：若等差数列共有项，则中间两项之比偶奇1)2(nnaaSSndSS奇偶)1(3.等差数列等差数列an前前n项和的性质项和的性质 性质性质2:(2)若项数为偶数若项数为偶数2n,则则 S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1)(an,an+1为中为中
7、间两项间两项),此时有此时有:S偶偶S奇奇=,SS 奇奇偶偶nd1nnaa 44332.已知项数为奇数的等差数列，奇数项的和为，偶数项的和为，求该数列的项数项项解：设数列共有解：设数列共有12 n).().(2264212531nnaaaaaaaaSS偶偶奇奇1)1(2)(1(2)(222121nnannaaanaannnnn343344项项该数列共有该数列共有7nn，求，所有偶数项之和为之和为奇数项项的等差数列中，所有练习、在项数为15016512 12354,1227 32nad3.等差数列的前项和为前项中奇数项与偶数项之比为：，求公差).().(264212531nnaaaaaaaaSS
8、偶奇1221212)(2)(nnnnaaaanaan354)(6)(62)(127612112112aaaaaaS3227761aaaaSSnn偶奇532,2776daa4.在项数为在项数为2n项的等差数列中，各奇数项的和项的等差数列中，各奇数项的和 为为75，偶数项的和为偶数项的和为90，末项与首项的差为，末项与首项的差为27，求，求n).().(125312642nnaaaaaaaaSS奇偶ndaaaaaaaann)(.)()()(12256341227)12(12dnaan157590ndSS奇偶3,5dn解得：n135991231001a,.602.daaaaaaaa5.已知等差数列中
9、，公差且求的值2)(12(2)(12(1211211212nnnnbbnaanTSnnnnbabnan)12()12(nnnnananaanS)12(22)12(2)(12(12112两等差数列前两等差数列前n项和与通项的关系项和与通项的关系性质性质3:若数列若数列an与与bn都是等差数列都是等差数列,且且前前n项的和分别为项的和分别为Sn和和Tn,则则nnab 2121nnST 7.,2,31nnnnnnnnabS TSanTnb等 差 数 列的 前 项 和 分 别 为若则（）121212112121()22(21)2122123(21)131()2nnnnnnnnnaaaaSnnnbbTn
10、nbb等差数列等差数列an前前n项和的性质项和的性质性质性质1:Sn,S2nSn,S3nS2n,也在等差数列也在等差数列,公差为公差为在等差数列在等差数列an中中,其前其前n项的和为项的和为Sn,则有则有性质性质2:(1)若项数为偶数若项数为偶数2n,则则 S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1)(an,an+1为中为中间两项间两项),此时有此时有:S偶偶S奇奇=,SS 奇奇偶偶n2dnd1nnaa 性质性质2:(2)若项数为奇数若项数为奇数2n1,则则 S2n-1=(2n 1)an (an为中间项为中间项),此时有此时有:S奇奇S偶偶=,SS 奇奇偶偶两等差数列前两等差数列前n项和与
11、通项的关系项和与通项的关系性质性质4:若数列若数列an与与bn都是等差数列都是等差数列,且且前前n项的和分别为项的和分别为Sn和和Tn,则则nnab 性质性质3:为等差数列为等差数列.nSnan1nn 2121nnST 1732225662256)(63542111212111daddada5 d 解一解一：设首项为：设首项为a1,公差为公差为d,则则例例.一个等差数列的前一个等差数列的前12项之和为项之和为354，前前12项中偶数项与奇数项之比为项中偶数项与奇数项之比为32：27，求公差。求公差。由2732354奇偶偶奇SSSS6SSd偶奇5d162192奇偶SS解二：解二：例例5.一个等差
12、数列的前一个等差数列的前12项之和为项之和为354，前前12项中偶数项与奇数项之比为项中偶数项与奇数项之比为32：27，求公差。求公差。等差数列的性质应用：等差数列的性质应用：例、例、已知一个等差数列的总项数为奇数，已知一个等差数列的总项数为奇数，且奇数项之和为且奇数项之和为77，偶数项之和为，偶数项之和为 66，求中间项及总项数。，求中间项及总项数。解：由解：由 中间项中间项SS奇偶得中间项为得中间项为11又由又由143SS奇偶得得13n 等差数列的性质应用：等差数列的性质应用：na例例9：已知等差数列已知等差数列 中，中，求求 的值。的值。qppSqSqp,qpS解法解法1：dadqqqa
13、pdpppaq1112121dqpqpaqpSqp211代入下式得：代入下式得：qp 返回目录返回目录 （2 2）解法一：）解法一：d d0,a a2 2 a a3 3 a a1212 a a1313,而而 ,a a7 70,0,)0,a a6 60,0,数列数列 a an n 的前的前6 6项的和项的和S S6 6最大最大.0132)(13713113aaaS)(62)(1212112112aaaaS 解法二：解法二：a a1 1=12-2=12-2d d,.考查二次函数考查二次函数 ,d d00ndndSn251222xdxdy251222返回目录返回目录 ，当当 时，时，y y有最大值有
14、最大值.d d-30,0,S S131300，公差公差d d0,0,在数列在数列 a an n 中必存在一项中必存在一项a an n，使，使a an n0,0,a an n+1+10.0.由由 得得 .a an n=ndnd+a a1 1-d d0,0,a an n+1+1=(=(n n+1)+1)d d+a a1 1-d d0,0,0,a a7 70,0,数列数列 a an n 的前的前6 6项的和最大项的和最大.3724d41227d7123213,6122211dd213211 n 【评析】本题给出了有关数列中最值问题的三种解答【评析】本题给出了有关数列中最值问题的三种解答思路，揭示了数
15、列、函数、不等式知识之间的联系思路，揭示了数列、函数、不等式知识之间的联系.pqqpBqpApBqAqqBpAp22221BqpA2A pqB pqpq解法解法2：设：设*2NnBnAnSnp qSpq 解法解法3：由已知：由已知11(1)2(1)2pqp pSpadqq qSqadp1()(1)()2pqpqpq adqp两式相减得两式相减得pq1112pqad 1()(1)()()2p qpqpqSpq adpq 2.等差数列等差数列an前前n项和的性质项和的性质性质性质1:Sn,S2nSn,S3nS2n,也成等差数列也成等差数列,公差为公差为在等差数列在等差数列an中中,其前其前n项的和
16、为项的和为Sn,则有则有性质性质2:若若Sm=p,Sp=m(mp),则则Sm+p=性质性质3:若若Sm=Sp(mp),则则 Sp+m=n2d0-(m+p)性质性质4:为等差数列为等差数列.nSn等差数列的性质应用：等差数列的性质应用：na例例9：已知等差数列已知等差数列 中，中，求求 的值。的值。qppSqSqp,qpS解法解法1：dadqqqapdpppaq1112121dqpqpaqpSqp211代入下式得：代入下式得：qp pqqpBqpApBqAqqBpAp22221BqpA2A pqB pqpq解法解法2：设：设*2NnBnAnSnp qSpq 解法解法3：由已知：由已知11(1)2(1)2pqp pSpadqq qSqadp1()(1)()2pqpqpq adqp两式相减得两式相减得pq1112pqad 1()(1)()()2p qpqpqSpq adpq 1、已知已知an为等差数列为等差数列,前前10项的和为项的和为S10=100前前100项的和项的和S100=10,求前求前110项的和项的和S110 DSSSSSSSSS设其公差为成等差数列，数列100110901002030102010,.,22102910101010010DSDS项和前120)22(101001010100110DSSS110120100110SS
