1、高三数学 试卷 61 宁波市 2019 学年第二学期高考适应性考试 数学试卷 说明说明：本试题卷分选择题和非选择题两部分全卷共 6 页，满分 150 分，考试时间 120 分 钟请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上 参考公式 第第卷卷（选择题部分选择题部分，共共 4040 分分） 一一、选择题选择题：本大题共本大题共 1010 小题小题，每小题每小题 4 4 分分，共共 4040 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1已知全集 2, 1, 0,1, 2,3U ，集合 1, 0,1A ， 1,1, 2B ，则( )
2、() UU AB = A 1,1 B 2,3 C 1, 0,1, 2 D 2, 0, 2,3 2已知复数z是纯虚数，满足(1i)2iza（i为虚数单位） ，则实数a的值是 A1 B1 C2 D2 柱体的体积公式：V=Sh，其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高； 锥体的体积公式：V= 3 1 Sh，其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高； 台体的体积公式： 1122 () 1 3 VhSS SS ，其中 S1, S2分别表示台体的上、下底面积, h 表 示台体的高； 球的表面积公式：S = 4R2 ，球的体积公式：V= 4 3 R3，其中 R 表示球的半径； 如果事件 A, B
3、 互斥, 那么 P(A+B)=P(A)+P(B) ； 如果事件 A, B 相互独立, 那么 P(AB)=P(A)P(B) ； 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p, 那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次 的概率 Pn(k)= k n C pk (1p)n-k (k = 0,1,2, n) 高三数学 试卷 62 3已知实数, x y满足约束条件 1 4 35 x xy yx ，若3zxy的最大值是 A6 B15 2 C17 2 D 25 3 4已知ABC 中角 A、B、C 所对的边分别是, ,a b c，则“ 222 2cba”是“ABC 为 等边三角形”的 A充分不必要条
4、件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 5已知随机变量X的分布列是 X 1 0 1 p a 1 3 b 其中26aba，则 XE的取值范围是 A 4 ,1 9 B 2 1 , 9 3 C 1 5 , 3 9 D 1 4 , 3 9 6. 函数 12 12 cos x x xy的部分图像大致为 高三数学 试卷 63 7设 , a bR，无穷数列 n a满足： 1 aa， 2 1 1 nnn aaba ，nN*，则下列说法中不 正确 的是 A1b 时，对任意实数a，数列 n a单调递减 B1b 时，存在实数a，使得数列 n a为常数列 C4b 时，存在实数a，使得 n a不是
5、单调数列 D0b 时，对任意实数a，都有 2018 2020 2a 8. 若正实数xy、满足22xyxy，则x的取值范围是 A20, 4 B20,16 C10, 2 D52 , 2 9. 点M在椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 上，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点，与y 轴相交于 ,P Q，若MPQ是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是 A 62 (0,) 2 B 2 (0,) 2 C 23 (,) 22 D 2 (,1) 2 10. 在正四面体SABC中， 点P在线段SA上运动(不含端点).设PA与平面PBC所成角为 1 ，PB与平面SAC所成角为 2 ，PC与平面ABC所成
6、角为 3 ，则 A 213 B 231 C 312 D 321 第第卷卷（非选择题部分非选择题部分，共共 110110 分分） 二二、填空题填空题: :本大题共本大题共 7 7 小题小题, ,多空题每题多空题每题 6 6 分分, ,单空题每题单空题每题 4 4 分分，共共 3636 分分. . 11 5 1 ()(21)axx x 的展开式中各项系数的和为 2，则实数a ，该展开式中常数 项为 高三数学 试卷 64 12. 一个四面体的三视图如图所示（单位 cm） ，则该四面体体积（单位 cm3）为 ， 外接球的表面积（单位 cm2）为 . 13. 已知函数( )sin0,0 2 f xx 的
7、图像关于点(, 0) 4 对称，关于直线 4 x对称， 最小正周期, 2 T ， 则T ，( )f x的单调递减区间是 14. 已知过抛物线 2 1: 2(0)Cypx p焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，其中 24 , 4A， 双曲线 22 2 22 :1(0,0) yx Cab ab 过点A，B， 则p的值是 ， 双曲线 2 C 的渐近线方程是 15. 某会议有来自6个学校的代表参加，每个学校有3名代表.会议要选出来自3个不同学 校的3人构成主席团，不同的选取方法数为 16. 函数 1 2 3 ,01 ( ) 3log, 132 x x f x xx ， 2 ( )2g xxx，若( )
8、yg f xt恰有 3 个零点， 则实数t的取值范围是 17. 已知矩形 ABCD 中，AB=4，AD=3，动点 M、N 分别在射线 CB、CD 上运动，且满足 22 11 1 CMCN 对角线 AC 交 MN 于点 P，设APxAByAD ，则xy的最大值是 3 3 4 正视图 侧视图 俯视图 高三数学 试卷 65 三三、解答题解答题：本大题共本大题共 5 5 小题小题，共共 7474 分分解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤 18 （本题满分 14 分）已知ABC 中角 A、B、C 所对的边分别是, ,a b c， 且2 cos3( coscos)aA
9、cBbC （）求A的值； （）若1a 且 3 sincos 2 BC，求ABC的面积 19 （本题满分 15 分）已知三棱柱 111 ABCA B C中，M、N分别是 1 CC与 1 A B的中点， 1 ABA为等边三角形， 1 CACA， 11 2A AAMBC. （）求证：MN平面ABC； （）()求证： 11 BCABB A 平面； （）求二面角AMNB的正弦值. 20 （本题满分 15 分）已知正项数列 n a的首项 1 1a ，其前n项和为 n S，且 n a与 1n a 的 等比中项是2 n S，数列 n b满足： 12 2 2 n n n a bbb a . （）求 23 ,a
10、a，并求数列 n a的通项公式； （）记 n n n b c a ，N *n，证明： 12 1 2(1) 1 n ccc n . N M A1 C1 B B1 A C 高三数学 试卷 66 21 （本题满分 15 分）已知椭圆： 22 22 1(0) xy ab ab 的焦点 12 ,F F的距离为2 3， 过 2 F且垂直于x轴的直线交椭圆于,A B两点，且1AB . （）求椭圆的方程； （）若存在实数 t，使得经过相异两点 2 (4 ,)P t th和(22,)Qtth的直线交椭圆所得 弦的中点恰为点Q，求实数h的取值范围. 22 （本题满分 15 分）已知实数0a ，函数( )ln |1
11、 x f xax a . （）证明：对任意(0,)a， 5 ( )3 2 f xa恒成立； （）如果对任意(0,)x均有( ) xa f x xa ，求a的取值范围. 高三数学 答案 71 宁波市 2019 学年第二学期高考适应性考试参考答案 第第卷卷（选择题共选择题共 4040 分分） 一一、选择题选择题：本大题共本大题共 1010 小题小题，每小题每小题 4 4 分分，共共 4040 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1. D 2. C 3. C 4. B 5. B 6.A 7.D 8. C 9. A 10. D 9.
12、 提示：圆心 2 , b M c a ，作MHPQ于H，则45PMH . 故 22 2 cos 2 cac PMH bb a ， 2 210ee ，解得 62 0 2 e ，选 A. 10. 提示：不妨设 1 , 1 , 1,1 , 0 , 0,0 , 1 , 0,0 , 0 , 1SCBA，10 ,ASAP. 则 344 2 sin 2 1 ， 333 2 sin 2 2 ， 333 2 sin 2 3 故 321 ，选 D. 第第卷卷（非选择题共非选择题共 110110 分分） 二二、填空题填空题: :本大题共本大题共 7 7 小题小题, ,多空题每题多空题每题 6 6 分分, ,单空题每
13、题单空题每题 4 4 分分，共共 3636 分分 11. 1；10 12. 6；34 13. 2 3 ； 225 , (Z) 312312 kk k 14. 4； 2 10 5 yx 15. 540 16. 1,10 17. 8 5 16.提示：设 ,xfm 则 tmg.由 xf图像知，要使得恰有三个零点，则方程 tmg存在两个实根 21,m m，满足3, 31 21 mm或者12, 31 21 mm，结 合 xg的图像，得101 t. 17.提示：由条件可知 2222 CNCMCNCM,故CNCMMN 高三数学 答案 72 则点C到MN的距离为1，即1CP，故4AP，则 5 8 2 5 AP
14、 yx. 三三、解答题解答题：本大题共本大题共 5 5 小题小题，共共 7474 分分解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤 18.（）由2 cos3( coscos)aAcBbC，2sincos3(sincossincos)AACBBC 即2sincos3sinAAA， 3 sin0,cos 2 AA 而(0, )A 6 A 5 分 （）由 3 sincos, 26 BCA 得 3 sin()cos 62 CC 即 333 sincos 222 CC 9 分 32 3sin(),(0,) 323 CC ， 5 , 3623 CCB 12 分 3 2 ABC
15、 S 14 分 19.（）取 1 BB中点 P，则 MPBC，故 MP平面 ABC. 2 分 又 PNAB，故 NP平面 ABC. 4 分 于是平面 PMN平面 ABC， 所以 MN平面 ABC 6 分 （） （） 不妨设 BC=1， 则 A1A=A1M=2. 依题意 CA1=CA=C1A1，故 A1M 为等腰 A1CC1底边上的中线，则 A1MCC1. 于是 22 1111 5ACACAMMC， Q N M A1 C1 C PB B1 A H G 高三数学 答案 73 于是 222 ABBCAC，故ABBC. 同理 222 11 ABBCAC，则 1 ABBC.所以 BC平面 ABA1. 9
16、 分 （）方法一：由 ANBC，ANBA1可知，AN平面 A1BC，故平面 AMN平面 A1BC. 设 1 ACAMQ，则 QN 为平面 AMN 与平面 A1BC 的交线. 过 B 作 BHQN 于点 H， 则BH平面AMN. 又过B作BGMN于点G， 则MN平面BGH， BGH即为二面角A-MN-B 的平面角. 11 分 在BMN 中，BM=MN=2，BN=1，则 BG= 7 8 ； 在BQN 中， 24 55 BHBN. 13 分 所以 324 70 sin 3535 BH BGH BG ，即二面角 A-MN-B 的正弦值是 4 70 35 . 15 分 方法二：以 B 为原点，建立如图所
17、示 的空间直角坐标系. 则 B（0,0,0） ， A（-1,3,0） ，N（ 1 2 , 3 2 ,0） ，M（1,0,1） 13 ( ,1) 22 NM ，(2,3,1)AM (1,0,1)BM . 11 分 设平面 AMN 的法向量 1111 (,)nxy z ，平面 BMN 的法向量 2222 (,)nxyz . 由 1111 1 111 13 0 22 230 nNMxyz nAM xyz ，可取 1 (1,3,1)n ； N M A1 C1 C B B1 A x z y 高三数学 答案 74 由 2 222 2 22 13 0 22 0 nNM xyz nBM xz ，可取 2 3
18、(1,1) 3 n . 13 分 于是 12 12 12 13 cos, 35| |7 5 3 nn n n nn ， 所以二面角 A-MN-B 的正弦值是 324 70 3535 . 15 分 20.（）依题意， 1 2 nnn Sa a 1 分 由 1121223 2,2()aa aaaa a得 23 2,3aa. 3 分 于是有 1 2 nnn Sa a ， 112 2 nnn Saa ，两式相减可得 112 2() nnnn aaaa . 约去正项 1n a 可得 2 2 nn aa . 又 12 1,2aa，所以 (N*) n ann. 5 分 （）依题意 12 2 11 22(2)
19、22 n n n an bbb ann ， 当2n ， 121 11 21 n bbb n ， 两式相减即得 111 12(1)(2) n b nnnn . 7 分 另外 1 1 3 1 = 26 a b a 亦符合上式，所以 1 (N*) (1)(2) n bn nn . 8 分 12 (1)(2)(1)(22) n n n b c an nnn nnn 10 分 高三数学 答案 75 证一: 22(1)11 =2() (1)(1)(1)1 n nn c n nnnn nnn 13 分 所以 12 111111 2(1)()()=2(1) 22311 n ccc nnn . 15 分 证二:
20、(1)1n 时命题成立. (2)假设nk时命题成立,即 12 1 2(1) 1 k ccc k 那么 1211 111 2(1)2(1)2(1) 212 kkk ccccc kkk 11112(21) 2() (1)(2)(3)12(1)(2)(3)(1)(2) kk kkkkkkkkkk 12 0 (1)(2)(3)(1)(2)(21)kkkkkkk 即当1nk时命题也成立. 综合(1)(2)对任意 * nN命题均成立. 15 分 21.（） 2 222 2 1 3 b a abc 4 分 解得2a ，故1b ，椭圆的方程为 2 2 1 4 x y. 7 分 （）过 P、Q 两点的直线l的斜
21、率为 2 222 ttt t ，直线l的方程 2 2 t yxht 8 分 代入 2 2 1 4 x y可得 222 2()40xtxht 整理可得 22222 (1)4 ()4()10txt htxht 依题意， 222222 16 ()16(1)()10thttht ， 高三数学 答案 76 即 222 ()1htt . 10 分 若设直线l交椭圆于点 1122 ( ,),(,)xyxy，则依题意有 2 12 2 2 () 22 21 xxt ht t t ， 经整理可得 2 1(1)th t 12 分 由题意1t ，故由可知(1)(,2(2,)h ，再结合可知 1,0ht. 13 分 将
22、代入消去 2 t，可得 22 (1) (1)(1)hth t 再次将代入，可得 2 (1) (1)(1)hh th t ，即 2 (1) (2)0h th. 又1,0ht，故解得 12h. 15 分 22.（）易知( )f x的定义域为(0,)，若(0,)a，则( )ln()1 x f xax a . 1 分 11111 ( )() 22 fx xaa xxx ，则( )f x在 2 (0, 4)a单调增，在 2 (4,)a单调减. 所以 23 max ( )(4)ln(4) 1ln43ln1f xfaaa . 3 分 要证 5 ( )3 2 f xa恒成立，只需证 5 ln43ln13 2
23、aa . 令 3 ( )3ln3ln4 2 aaa，(0,)a. 1 ( )3(1)a a ， max 3 ( )(1)ln4 2 a. 5 分 由于 3 ln40 2 ( )0a 即 5 ( )3 2 f xa 恒成立. 7 分 （）( ) xa f x xa ，即 1ln| xxa ax axa . （*） 1 （*）对任意(0,)x有意义, 0a 9 分 2 若（*）对任意(0,)x恒成立，则01a. 高三数学 答案 77 特别地，在（*）中令1x 可得 1112 1ln2+ln0 11 a aa aaaa . 注意到 12 ( )2+ln 1 h aa aa 在(0,)a单调增，且(1
24、)0h， 所以( )0h a 当且仅当01a. 12 分 3 下面证明：对任意(0,1a，任意(0,)x，不等式（*）恒成立. 首先，将正实数x给定，考虑关于a的函数( )1ln() xxa m axa axa ， 注意到 12 ( )2ln() x m axax axa 在(0,1a单调增，故 1 ( )(1)1ln 1 x m amxx x . 下面只需说明： 1 ( )1ln0 1 x n xxx x 对于(0,)x恒成立即可. 显然(1)0n，故只需说明( )n x在(0,1)单调增，在(1,)x单调减. 22 22 1122(1)(1) ( ) (1)2 (1)2 xx x n x xxx xx 当1x 时， 533153 22 222222 (1)()()21 12(1)x xxxxxx xx ， 故( )0n x； 当01x时， 531 22222 222 22(1)1212(1)xxxxxxxxx x ， 故( )0n x. 因此( )n x在(0,1)单调增，在(1,)x单调减. 综上可知，实数a的取值范围是(0,1. 15 分
