1、高 2020 届学业质量调研抽测（第二次）文科数学 第 1 页 （共 13 页） 高高 2020 届高三学业质量调研抽测（第届高三学业质量调研抽测（第二二次）次） 文科数学试题卷文科数学试题卷 文科数学试题卷共文科数学试题卷共 6 页，考试时间页，考试时间 120 分钟，满分分钟，满分 150 分分. 注意事项：注意事项： 1 1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. . 2 2作答时，务必将答案写在答题卡相应的位置上，写在本试卷及草稿纸上无效作答时，务必将答案写在答题卡相应的位置上，写在本试卷及草稿纸上无效. . 3 3考试
2、结束后，将本试卷、答题卡一并收回考试结束后，将本试卷、答题卡一并收回. . 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 请将正确答案的代号填涂在答题卡相应的位置上. 1. 1. 已知集合已知集合 2 2 |230, |log1Ax xxBxx ，则，则BA A A(2)， B B3 , 2( C C3 , 1 D. D. ), 1 2. 2. 欧拉公式欧拉公式 i cosisin x exx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指拉发现的，它将指 数函数的定义域扩大到复数，建立
3、了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数理论里数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数理论里 非常重要，被誉为“数学中的天桥” 根据欧拉公式可知，非常重要，被誉为“数学中的天桥” 根据欧拉公式可知， 7i 5 e表示的复数位于复平面中的表示的复数位于复平面中的 A A第一象限第一象限 B B第二象限第二象限 C C第三象限第三象限 D D第四象限第四象限 3. 3. 在停课不停学期间，某学校组织高三年级学生参加网络数学测试，测试成绩的频率在停课不停学期间，某学校组织高三年级学生参加网络数学测试，测试成绩的频率 分布直方图如下图，测试成绩的分组为分布直方图如下图，测
4、试成绩的分组为10,30),30,50),50,70),70,90),90,110), 110,130),130,150,若低于若低于 7070 分的人数是分的人数是 175175 人，则该校高三年级的学生人数是人，则该校高三年级的学生人数是 A A350 B B500 C C600 D D1000 4 4已知点已知点 1 (2, ) 8 在幂函数在幂函数( ) n f xx的图象上，设的图象上，设 3 () 3 af，(ln)bf， 2 () 2 cf， 则则a，b，c 的大小关系为的大小关系为 A Abac B Babc C Cbca D Dacb 频率 组距 0.005 0.01 成绩(
5、分) 0.0075 0.0125 0.015 10 30 50 70 90 110 130 150 0.0025 ( (第第 3 3 题题图图) ) 高 2020 届学业质量调研抽测（第二次）文科数学 第 2 页 （共 13 页） 5. 5. 已知点已知点 22 (sin,cos) 33 P 落在角落在角的终边上，且的终边上，且0 2 （ ， ），则，则的值为的值为 A A 3 B B 2 3 C C 5 3 D D11 6 6. 6. 已知已知:p xk， 2 :1 1 q x ，若，若p是是q的充分不必要条件，则实数的充分不必要条件，则实数k的取值范围是的取值范围是 A A1,) B B(
6、1,) C C(, 1 D D(, 1) 7. 7. 某街道招募了志愿者某街道招募了志愿者 5 5 人，其中人，其中1人来自社区人来自社区 A A，2 2 人来自社区人来自社区 B B，2 2 人来自社区人来自社区 C C现从现从 中随机选取中随机选取 2 2 个志愿者参加抗击新型冠状病毒活动，则这个志愿者参加抗击新型冠状病毒活动，则这 2 2 人来自不同社区的概率为人来自不同社区的概率为 A A 3 5 B B 3 4 C C 7 10 D D 4 5 8 8. . 已知已知函数函数( )3sincos(0)f xxx, , 1 ()2f x, , 2 ()2f x , ,且且 12 |xx
7、最最 小值为小值为 2 , ,若将若将( )yf x的图象沿的图象沿x轴向左平移轴向左平移(0)个单位，所得图象关于原点对个单位，所得图象关于原点对 称，则实数称，则实数的最小值为的最小值为 A.A. 12 B.B. 6 C.C. 3 D. D. 7 12 9. 9. 设实数设实数x、y满足满足 2 42yxx ，则，则 5 4 y x 的最大值为的最大值为 A A 1 2 B B2 C C 1 2 D D2 10. 10. 已知抛物线已知抛物线 2 :4C yx的焦点为的焦点为F，准线为，准线为l，P是是l上一点，直线上一点，直线PF与抛物线与抛物线C交交 于于M，N两点，若两点，若 4PF
8、MF ，则，则|MN A A 3 2 B B3 C C 9 2 D D9 11. 11. 已知已知 (34)2 ,1 ( ) log,1 a axa x f x xx 对任意对任意 1 x， 2 (,)x 且且 12 xx，都有，都有 12 12 ( )() 0 f xf x xx ，那么实数，那么实数a的取值范围是的取值范围是 A A(1,) B B(0,1) C C 4 ( ,2 3 D D 4 ( ,4 3 12. 12. 两球两球 1 O和和 2 O在棱长为在棱长为2的正方体的正方体 1111 ABCDABC D的内部，且互相外切，若球的内部，且互相外切，若球 1 O与与 过点过点A的
9、正方体的三个面相切，球的正方体的三个面相切，球 2 O与过点与过点 1 C的正方体的三个面相切，则球的正方体的三个面相切，则球 1 O和和 2 O 的表面积之和的最小值为的表面积之和的最小值为 A A3(23) B B4(23) C C6(23) D D12(23) 高 2020 届学业质量调研抽测（第二次）文科数学 第 3 页 （共 13 页） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分请把答案填在答题卡相应的位置上 13. 13. 设非零向量设非零向量,a b满足满足()aab，且，且|2|ba，则向量，则向量a与与b的夹角为的夹角为_ 14. 14. 在高台跳水运动中，
10、某运动员相对于水面的高度在高台跳水运动中，某运动员相对于水面的高度h( (单位：单位：m）与起跳后的时间）与起跳后的时间t（单位：（单位：s） 存 在 函 数 关 系 式存 在 函 数 关 系 式 2 4.96.510htt ， 则 该 运 动 员 在， 则 该 运 动 员 在2t 时 的 瞬 时 速 度时 的 瞬 时 速 度 是是 (/ )m s 15. 15. 设设ABC的内角的内角, ,A B C的对边分别为的对边分别为, ,a b c，若，若 2 cossincossinaBCbACc， 则则ABC外接圆的面积是外接圆的面积是 16. 16. 已知双曲线已知双曲线C： 22 22 1(
11、0,0) xy ab ab 的左、右焦点分别为的左、右焦点分别为 12 ,F F，一条渐近线为，一条渐近线为l， 过点过点 2 F且与且与l平行的直线交双曲线平行的直线交双曲线C于点于点M, ,若若 12 | 2|MFMF, ,则双曲线则双曲线C的离心的离心 率为率为 三、解答题：共 70 分解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程并答在答题 卡相应的位置上第 17 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答第 22 题第 23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分 17.17.（本小题满分为（本小题满分为 1212 分）分） 一奶茶店制作了一款新奶茶， 为了进行
12、合理定价先进行试销售， 其单价一奶茶店制作了一款新奶茶， 为了进行合理定价先进行试销售， 其单价x（元） 与销量（元） 与销量y（杯）（杯） 的相关数据如下表：的相关数据如下表： 单价单价x（元）（元） 8.58.5 9 9 9.59.5 1010 10.510.5 销量销量y（杯）（杯） 120120 110110 9090 7070 6060 （）（）已知销量已知销量y与单价与单价x具有线性相关关系具有线性相关关系，求，求y关于关于x的线性回归方程；的线性回归方程； （）（）若该款新奶茶每杯的成本为若该款新奶茶每杯的成本为7.7元，试元，试销售结束后销售结束后，请利用（，请利用（）所求的线
13、性回归所求的线性回归 方程方程确定单价定为多少元时，销售的利润最大？（结果保留到整数）确定单价定为多少元时，销售的利润最大？（结果保留到整数） 参考公式：线性回归方程参考公式：线性回归方程 ybxa中斜率和截距最小二乘法估计计算公式：中斜率和截距最小二乘法估计计算公式： 1 2 2 1 n ii i n i i x ynxy b xnx ，aybx，参考数据：，参考数据： 5 1 4195 ii i x y ， 5 2 1 453.75 i i x 高 2020 届学业质量调研抽测（第二次）文科数学 第 4 页 （共 13 页） 1818 （本小题满分为 （本小题满分为 1212 分）分） 已
14、知数列已知数列 n a的前的前n项和为项和为 n S， 1 1a ， 1 21 nn aS （）求（）求 n a的通项公式；的通项公式； （）设（）设 31 log () nnn baa ，数列，数列 n b的前的前n项和为项和为 n T，求证：，求证： 12 111 .2 n TTT 19.19.（本小题满分为（本小题满分为 1212 分）分） 如图，平面如图，平面ABCD平面平面ADEF，其中，其中ABCD为矩形，为矩形，ADEF为直角梯形，为直角梯形， AFDE，AFFE，222AFEFDE （）求证：（）求证：FD 平面平面ABCD； （）若三棱锥（）若三棱锥BADF的体积为的体积为
15、1 3 ， 求点求点A到面到面BDF的距离的距离 （第第 1919 题图）题图） 20.20.（本小题满分为（本小题满分为 1212 分）分） 已知函数已知函数( )() x f xeax aR，( )ln x g xex( (e为自然对数的底数为自然对数的底数) ) （）（）若对于任意实数若对于任意实数0x，( )0f x 恒成立，试确定恒成立，试确定a的取值范围；的取值范围； （）（）当当1a时，函数时，函数( )( )( )M xg xf x在在1, e上是否存在极值上是否存在极值? ?若存在，请求出若存在，请求出 这个极值；若不存在，请说明理由这个极值；若不存在，请说明理由 高 202
16、0 届学业质量调研抽测（第二次）文科数学 第 5 页 （共 13 页） 21.21.（本小题满分（本小题满分 1212 分）分） 已知圆已知圆 22 :(2)24Cxy与定点与定点(2,0)M，动圆，动圆I过过M点且与圆点且与圆C相切，相切， 记动圆圆心记动圆圆心I的轨迹为曲线的轨迹为曲线E （）求曲线（）求曲线E的方程；的方程； （）斜率为（）斜率为k的直线的直线l过点过点M, ,且与曲线且与曲线E交于交于,A B两点，两点，P为直线为直线3x 上的一点，上的一点， 若若ABP为等边三角形，求直线为等边三角形，求直线l的方程的方程. . （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题
17、中任选一题作答.如多做，则按所做的第一题 计分. 22.22.【选修选修 4 4- -4 4：坐标系与参数方程】：坐标系与参数方程】( (本小题满分本小题满分 1010 分）分） 在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy中，直线中，直线l的参数方程为的参数方程为 2 2 2 2 2 xt yt （t为参数） ，以坐为参数） ，以坐 标原点标原点O为极点，为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为的极坐标方程为 2 sin8cos （）（）求直线求直线l的普通方程和曲线的普通方程和曲线C的直角坐标方程；的直角坐标方程； （）（） 已知点已知点M的
18、直角坐标为的直角坐标为(2,0)， 直线， 直线l和曲线和曲线C交于交于A、B两点， 求两点， 求 11 |MAMB 的值的值 高 2020 届学业质量调研抽测（第二次）文科数学 第 6 页 （共 13 页） 23.23.【选修【选修 4 4- -5 5：不等式选讲】：不等式选讲】( (本小题满分本小题满分 1010 分）分） 已知已知 2 ( )2f xxa. . （）（）当当2a时，求不等式时，求不等式( )15f xx 的解集；的解集； （）若（）若对于任意实数对于任意实数x，不等式，不等式23( )2xf xa成立，求实数成立，求实数a的取值范围的取值范围. . 高 2020 届学业质
19、量调研抽测（第二次）文科数学 第 7 页 （共 13 页） 高高 20202020 届高三学业质量调研抽测（第二次）届高三学业质量调研抽测（第二次） 文科数学参考答案及评分意见文科数学参考答案及评分意见 一、选择题：一、选择题：15:;610:;1112:DCBCDBDAACDD 二、填空题：二、填空题：13. 3 1413.1 15 4 165 三、解答题解答题： 17解： （）由表中数据，计算 1 (8.599.5 10 10.5)9.5 5 x ， 1 (120 110907060)90 5 y ，.2 分 则 5 1 52 2 2 1 41955 9.5 90 32 453.755 9
20、.5 ii i i i x ynxy b xnx ，90 32 9.5394aybx， 所以y关于x的线性相关方程为 32394yx6 分 （ ） 设 定 价 为x元 ， 则 利 润 函 数 为(3 23 9 4 ) (7 . 7 )yxx， 其 中 7.7x，8 分 则 2 32640.43033.8yxx ，所以 640.4 10 2 ( 32) x （元） ，.11 分 为使得销售的利润最大，确定单价应该定为10 元12 分 18解： （）因为 1 21 nn aS ，所以2n， 1 21 nn aS ，.2 分 高 2020 届学业质量调研抽测（第二次）文科数学 第 8 页 （共 13
21、 页） 两式相减化简得 1 3 nn aa (2)n ，.4 分 又 1 1a ，所以 2 3a ， 21 3aa符合上式， 所以 n a是以 1 为首项，以 3 为公比的等比数列，所以 1 3n n a 6 分 （）由（）知 31 log () nnn ba a 1 3 log 3321 nn n ，所以 2 (121) 2 n nn Tn ，.8 分 所以 222 12 111111111 1. 121 22 3(1) n TTTnnn . 10 分 111111 1 1.22 2231nnn . 12 分 19解： （）证明：作DHAF于H， AFFE，222AFEFDE， 1HFDH，
22、45HDF，.2 分 2AF ，1AH ，45ADH， 90ADF，即DFAD，4 分 面ABCD面ADEF，AD为 两 个 面 的 交 线 ， FD 面 ABCD.6 分 （ ） 因 为 平 面ABCD 平 面ADEF，ABAD， 所 以AB 平 面A DE F， 高 2020 届学业质量调研抽测（第二次）文科数学 第 9 页 （共 13 页） 111 |1 | 333 B ADFADF VSABAB ，所以1AB ，又 2ADDF ，9 分 3BD ， 6 2 BDF S， 设 点A到 面BD F的 距 离 为h, 则 116 332 h， 6 3 h .12 分 20解： （）对于任意实
23、数0x，( )0f x 恒成立， 若0x，则a为任意实数时，( )0 x f xe恒成 立；1 分 若0x，( )0 x f xeax恒 成 立 ， 即 x e a x 在0x上 恒 成 立，2 分 设( ) x e Q x x ，则 22 (1) ( ) xxx xeexe Q x xx ，3 分 当(0,1)x时，( )0Q x ，则( )Q x在(0,1)上单调递增； 当(1,)x时，( )0Q x ，则( )Q x在(1,)上单调递减； 所以当1x 时，( )Q x取得最大值， max ( )(1)Q xQe ， 所以a的取值范围为(,)e， 综 上 ， 对 于 任 意 实 数0x，(
24、 )0f x 恒 成 立 的 实 数a的 取 值 范 围 为 (,)e5 分 高 2020 届学业质量调研抽测（第二次）文科数学 第 10 页 （共 13 页） （）依题意，( )ln xx M xexex， 所以 1 ()ln1(ln1)1 x xxx e Mxexexe xx ，. .6 分 设 1 ( )ln1h xx x ，则 22 111 ( ) x h x xxx ，.8 分 当1, xe，( )0h x ，故( )h x在1, e上单调增函数， 因此( )h x在1, e上的最小值为(1)0h，即 1 ()ln1(1)0hxxh x ，.10 分 又0 x e ，所以在1, e上
25、， 1 ( )(ln1)10 x M xxe x ， 所 以( )M x在1, e上 是 增 函 数 ， 即( )( )( )M xg xf x在1, e上 不 存 在 极 值.12 分 21解： （）设圆I的半径为r，题意可知，点I满足： | 2 6ICr，| |IMr ， 所以，| 2 6ICIM， 由椭圆定义知点I的轨迹是以,C M为焦点的椭 圆，.3 分 所以6,2ac 2b ， 故轨迹E方程为： 高 2020 届学业质量调研抽测（第二次）文科数学 第 11 页 （共 13 页） 22 1 62 xy .5 分 （）直线l的方程为(2)yk x， 联立 22 1 2 ( 6 2) xy
26、 yk x 消去y得 2222 31601212kxk xk. 直线(2)yk x恒过定点(2,0)， 在椭圆内部， 所以0 恒成立， 设 11 ( ,)A x y， 22 (,)B xy， 则有 2 12 2 12 31 k xx k ， 2 12 2 126 31 k k x x 2 222 121212 2 2 6(1) |(1) |(1)()4 31 k ABkxxkxxx x k 7 分 设AB的中点为 00 (,)Q xy，则 2 0 2 6 31 k x k ， 0 2 2 31 k y k ， 直线PQ的斜率为 1 k （由题意知0k ） ，又P为直线3x 上的一点，所以 3
27、P x , 22 0 222 113(1) |(1) | 31 P kk PQxx kkk . .9 分 当ABP为等边三角形时， 3 | 2 PQAB, 即 222 222 13(1)3 2 6(1) 31231 kkk kkk 解得1k ， 即直线l的方程为20xy或20xy .12 分 高 2020 届学业质量调研抽测（第二次）文科数学 第 12 页 （共 13 页） 22 解：（） 将 2 2 2 2 2 xt yt 中参数t消去得20xy， 2 分 将 cos sin x y 代入 2 sin8cos，得 2 8yx， 直 线l和 曲 线C的 直 角 坐 标 方 程 分 别 为20x
28、y和 2 8yx5 分 （ii）将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，得 2 8 2320tt， 设A、B两点对应的参数为 1 t、2t， 则 1 | |M At ， 2 | |MBt， 且 12 8 2tt，1 232t t ， 2 1212121 2 | |()48tttttttt16， 8 分 1212 121 21 2 |1111 1 | tttt MAMBttt tt t 1 2 10 分 23.解:（）当2a时，( ) |1| |24|1| 5f xxxx ， 则 2 2415 x xx 得 8 3 x ； .2 分 21 2415 x xx 得 01x； 3 分 高 2020 届学业质量调研抽测（第二次）文科数学 第 13 页 （共 13 页） 1 2415 x xx 得 1x ， 4 分 所以 15f xx 的解集为 8 (,0,) 3 5 分 （）对于任意实数x，不等式23( )2xf xa成立， 即 2 2322xxaa恒成立， 又因为 222 2322323xxaxxaa ，7 分 要使原不等式恒成立，则只需 2 32aa， 由 2 232aaa得13a 所以实数a的取值范围是 (1,3). .10 分 B A D C F E
