1、第3课时整式及因式分解课标要求1.借助现实情境了解代数式,进一步理解用字母表示数的意义.2.能分析具体问题中的简单数量关系,并用代数式表示.3.会求代数式的值;能根据特定的问题查阅资料,找到所需要的公式,并会代入具体的值进行计算.4.了解整数指数幂的意义和基本性质.5.理解整式的概念,掌握合并同类项和去括号的法则,能进行简单的整式加法和减法运算;能进行简单的整式乘法运算(其中多项式相乘仅指一次式之间以及一次式与二次式相乘).6.能推导乘法公式:(a+b)(a-b)=a2-b2;(ab)2=a22ab+b2,了解公式的几何背景,并能利用公式进行简单计算.7.能用提公因式法、公式法(直接利用公式不
2、超过二次)进行因式分解(指数是正整数).一、代数式知 识 梳 理代数式用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子,单独的一个数或字母也是代数式列代数式常见模型:(1)打折问题:原价为a的商品打八折的价格为;(2)增长率问题:原价为a的商品价格增长10%后的价格为 0.8a(1+10%)a二、单项式和多项式单项式多项式定义数或字母的组成的式子叫做单项式.单独的一个数或一个字母也是单项式几个单项式的叫做多项式次数一个单项式中,所有字母的叫做这个单项式的次数多项式里,的项的次数,叫做这个多项式的次数积和指数和次数最高系数单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数项多项式中,每个单项式叫做多项式的项示例（
3、续表）名称概念或法则同类项所含字母,并且相同字母的指数也的项叫做同类项.几个常数项也是同类项合并同类项 根据乘法分配律把同类项合并成一项,叫做合并同类项合并同类项的法则同类项的系数,所得的结果作为系数,字母和字母的指数不变三、同类项、合并同类项的概念和法则相同相同相加四、整式的运算类别法则加减运算 几个整式相加减,如果有括号就先去括号,然后再合并同类项整数指数幂的运算(1)aman=(m,n都是整数);(2)aman=(a0,m,n都是整数);(3)(am)n=(m,n都是整数);(4)(ab)n=(n为整数);(5)a-m=(a0,m为整数);(6)a0=(a0)am+nam-namnanb
4、n1类别法则类别乘法运算单项式单项式把它们的系数、同底数幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式单项式多项式 m(a+b+c)=多项式多项式(m+n)(a+b)=乘法公式平方差公式:(a+b)(a-b)=完全平方公式:(ab)2=.公式变形:a2+b2=;(a-b)2=-4ab（续表）ma+mb+mcma+mb+na+nba2-b2a22ab+b2(a+b)2-2ab(a-b)2+2ab(a+b)2五、因式分解定义把一个多项式化成几个整式的 的形式,像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解方法提公因式法 ma+mb+mc=m(a+b+c)公式法积方法十字相乘法
5、*x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q),如x2+5x+6=(x+2)(x+3),x2+5x-6=(x-1)(x+6),x2-x-6=(x+2)(x-3)一般步骤 一提(提公因式);二套(套乘法公式);三检验(检验是否分解彻底)（续表）考向一列代数式及求值DD例22020潍坊若m2+2m=1,则4m2+8m-3的值是()A.4B.3C.2D.1例12020常州二模用代数式表示:a与3和的2倍,下列表示正确的是()A.2a-3B.2a+3C.2(a-3)D.2(a+3)考向精练C2.2020仪征二模当x=1时,代数式px3+qx+1的值为2021,则当x=-1时,px3+qx+1的值为(
6、)A.2020B.-2020C.2019D.-2019D3.2020长春长春市净月潭国家森林公园门票的价格为成人票每张30元,儿童票每张15元.若购买m张成人票和n张儿童票,则共需花费 元.(30m+15n)4.2020镇江根据数值转换机的示意图,输出的值为.图3-15.已知(a+b)2=7,(a-b)2=3.那么:(1)ab=;(2)a2+b2=.答案(1)1(2)5 解析(1)由(a+b)2=7,(a-b)2=3,得a2+2ab+b2=7,a2-2ab+b2=3.-,得4ab=4,所以ab=1.(2)把ab=1代入,得a2+21+b2=7,所以a2+b2=5.考向二整式的概念与运算例3(1
7、)下列结论正确的是()A.xyz的系数为0B.3x2-x+1中一次项系数为-1C.a2b3c的次数为5D.a2-33是一个三次二项式(2)下列选项中的两项不是同类项的是()A.a3与b3B.-2与3C.a3b与ba3D.-a2b2与0.2a2b2BA例4判断正误:(1)a2+a4=a6;()(2)a2a3=a6;()(3)(a3)3=a6;()(4)a5a2=a3;()(5)(3a2)3=9a6;()(6)(a+b)(a-b)=a2-b2;()(7)(a-b)2=a2-b2;()(8)(a+b)2=a2+b2;()(9)-2x(x-y)=-2x2-2xy;()(10)(x+1)(3x-2)=3
8、x2-x+2.()例52020常州先化简,再求值:(x+1)2-x(x+1),其中x=2.解:(x+1)2-x(x+1)=x2+2x+1-x2-x=x+1,当x=2时,原式=2+1=3.考向精练6.2020连云港下列计算正确的是()A.2x+3y=5xyB.(x+1)(x-2)=x2-x-2C.a2a3=a6D.(a-2)2=a2-4B7.2020徐州下列计算正确的是()A.a2+2a2=3a4B.a6a3=a2C.(a-b)2=a2-b2D.(ab)2=a2b2D8.2020咸宁按一定规律排列的一列数:3,32,3-1,33,3-4,37,3-11,318,若a,b,c表示这列数中的连续三个
9、数,猜想a,b,c满足的关系式是.bc=a9.2020北京已知5x2-x-1=0,求代数式(3x+2)(3x-2)+x(x-2)的值.解:原式=9x2-4+x2-2x=10 x2-2x-4.5x2-x-1=0,5x2-x=1,原式=2(5x2-x)-4=2-4=-2.考向三因式分解角度1提公因式法a(a-2)例62019宿迁分解因式:a2-2a=.角度2公式法例72019淮安因式分解:1-x2=.(1-x)(1+x)角度3综合法例82019扬州分解因式:a3b-9ab=.ab(a+3)(a-3)【方法点析】(1)因式分解时有公因式的要先提取公因式,再考虑是否应用公式法或其他方法继续分解.(2)
10、提公因式后,若括号内合并的项有公因式应再次提取;注意符号的变换,如y-x=-(x-y),(y-x)2=(x-y)2.考向精练10.2020益阳下列因式分解正确的是()A.a(a-b)-b(a-b)=(a-b)(a+b)B.a2-9b2=(a-3b)2C.a2+4ab+4b2=(a+2b)2D.a2-ab+a=a(a-b)答案 C解析 A.a(a-b)-b(a-b)=(a-b)2,故此选项错误;B.a2-9b2=(a-3b)(a+3b),故此选项错误;C.a2+4ab+4b2=(a+2b)2,正确;D.a2-ab+a=a(a-b+1),故此选项错误.故选C.11.2019泸州把2a2-8分解因式
11、,结果正确的是()A.2(a2-4)B.2(a-2)2C.2(a+2)(a-2)D.2(a+2)2答案 C 解析原式=2(a2-4)=2(a+2)(a-2),故选C.12.2020徐州分解因式:m2-4=.(m+2)(m-2)13.2019南京分解因式(a-b)2+4ab的结果是.(a+b)2考向四因式分解的应用例9一个大正方形和四个全等的小正方形按图3-2两种方式摆放,则图的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是(用含a,b的代数式表示).图3-2【方法点析】(1)验证公式,一般是用两种方法计算面积得到等式,再把这个等式适当变形成已知的式子;(2)利用因式分解进行计算与化简,先把要求的代数式
12、进行因式分解,再代入已知条件计算.答案 ab 解析设大正方形的边长为x,小正方形的边长为y,根据题图,图,得x+2y=a,x-2y=b,所以题图的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积为x2-4y2=(x+2y)(x-2y)=ab.考向精练-1515.2018菏泽若a+b=2,ab=-3,则代数式a3b+2a2b2+ab3的值为.-1216.边长为a,b的长方形,它的周长为14,面积为10,则a2b+ab2的值为.70考向五乘法公式的几何背景例10如图3-3,根据图形计算正方形ABCD的面积,可以说明下列哪个等式成立()A.(a-b)2=a2-2ab+b2B.(a+b)2=a2+2ab+b2C.
13、(a+b)(a-b)=a2-b2D.a(a-b)=a2-ab图3-3答案 B 解析从整体计算正方形ABCD的面积:(a+b)2,从局部计算正方形ABCD的面积:a2+ab+ab+b2,(a+b)2=a2+2ab+b2.故选B.考向精练17.2019北京平谷区一模如图3-4,从一个边长为a的正方形的一角上剪去一个边长为b(ab)的正方形,剩余(阴影)部分正好能够表示一个乘法公式,则这个乘法公式是(用含a,b的等式表示).图3-4答案(a+b)(a-b)=a2-b2 解析从整体计算图中阴影部分的面积是:a2-b2,从局部计算阴影部分的面积为:a(a-b)+b(a-b)=(a+b)(a-b),a2-
14、b2=(a+b)(a-b).故答案为:(a+b)(a-b)=a2-b2.考向六用代数式表示规律例112017淮安将从1开始的连续自然数按以下规律排列:第1行 1第2行234第3行 98765第4行 10 11 12 13 14 15 16第5行 25 24 23 22 21 20 19 18 17则2017在第行.【方法点析】(1)若一列正整数1,2,3,4,5,n(n1,且n为整数),则这n个数的和为;(2)若一列数:1,3,5,7,9,2n-1(n1,且n为整数),则这n个数的和为;(3)若一列数:2,4,6,8,10,2n(n1,且n为整数),则这n个数的和为.(答案见本书P听166)n
15、2n(n+1)答案 45 解析第一行1个数,第二行3个数,第三行5个数,第4行7个数,故第n行(2n-1)个数,1+3+5+2n-1=n2,当n=44时,n2=1936,当n=45时,n2=2025,因为193620172025,所以2017在第45行.考向精练18.2020鸡西如图3-5是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的,其中第1个图形中一共有4个圆,第2个图形中一共有8个圆,第3个图形中一共有14个圆,第4个图形中一共有22个圆,按此规律排列下去,第9个图形中圆的个数是个.图3-5答案 92 解析因为第1个图形中一共有12+2=4个圆,第2个图形中一共有23+2=8个圆,第3个图形中一
16、共有34+2=14个圆,第4个图形中一共有45+2=22个圆,可得第n个图形中圆的个数是n(n+1)+2=n2+n+2,n=9时,n2+n+2=92.19.2019安顺将从1开始的自然数按如图3-6规律排列,例如位于第3行、第4列的数是12,则位于第45行、第7列的数是.图3-6答案 2019 解析观察图表可知:第n行的第一列数是n2,第45行第一列数是2025,第45行、第7列的数是2025-6=2019.故答案为2019.20.2019武汉观察等式:2+22=23-2;2+22+23=24-2;2+22+23+24=25-2,已知按一定规律排列的一组数:250,251,252,299,2100.若250=a,则用含a的式子表示这组数的和是()A.2a2-2aB.2a2-2a-2C.2a2-aD.2a2+a答案 C 解析 2+22=23-2;2+22+23=24-2;2+22+23+24=25-2;2+22+23+2n=2n+1-2,250+251+252+299+2100=(2+22+23+2100)-(2+22+23+249)=(2101-2)-(250-2)=2101-250,250=a,2101=(250)22=2a2,原式=2a2-a.故选C.
