1、第3课时整式与因式分解课标要求1.借助现实情境了解代数式,进一步理解用字母表示数的意义.2.能分析具体问题中的简单数量关系,并用代数式表示.3.会求代数式的值;能根据特定的问题查阅资料,找到所需要的公式,并会代入具体的值进行计算.4.了解整数指数幂的意义和基本性质.5.理解整式的概念,掌握合并同类项和去括号的法则,能进行简单的整式加法和减法运算;能进行简单的整式乘法运算(其中多项式相乘仅指一次式之间以及一次式与二次式相乘).6.能推导乘法公式:(a+b)(a-b)=a2-b2;(ab)2=a22ab+b2,了解公式的几何背景,并能利用公式进行简单计算.7.能用提公因式法、公式法(直接利用公式不
2、超过二次)进行因式分解(指数是正整数).考点一代数式的有关概念DB答案D 4.若x=-3,y=1,则代数式2x-3y+1的值为()A.-10B.-8C.4D.10B 知识梳理名称识别次数系数与项整式单项式(1)数与字母或字母与字母相乘组成的代数式;(2)单独一个数或一个字母所有字母的指数的和系数:单项式中的数字因数多项式几个单项式的和次数最高的项的次数项:多项式中的每个单项式考点二整式的加减5.若7axb2与-a3by的和为单项式,则yx=.6.浙教版教材七上P103例1(3)改编将-3(2x2-3x)去括号,得.8-6x2+9x 知识梳理整式的加减同类项所含字母相同并且相同字母的也相同或几个
3、常数项合并同类项把同类项的系数相加,所得的结果作为,字母及字母的指数不变添(去)括号对于“+”号,添(去)括号不变号;对于“-”号,添(去)括号 指数系数都变号考点三幂的运算7.2020衢州计算(a2)3,正确结果是()A.a5B.a6C.a8D.a98.2020宁波下列计算正确的是()A.a3a2=a6B.(a3)2=a5C.a6a3=a3D.a2+a3=a5BC答案A 解析 2n+2n+2n+2n=42n=222n=2n+2=2,n+2=1,解得n=-1.故选A.知识梳理说明:下列公式中m,n均为整数.幂的运算同底数幂的乘法aman=幂的乘方(am)n=积的乘方(ab)n=同底数幂的除法a
4、man=(a0)am+namnanbnam-n考点四乘法公式10.2020杭州(1+y)(1-y)等于()A.1+y2B.-1-y2C.1-y2D.-1+y211.2020江西计算:(a-1)2=.12.2020宿迁已知a+b=3,a2+b2=5,则ab=.Ca2-2a+12 知识梳理平方差公式(a+b)(a-b)=完全平方公式(ab)2=a2-b2a22ab+b2考点五因式分解13.2020嘉兴分解因式:x2-9=.14.2019温州分解因式:m2+4m+4=.15.2020哈尔滨把多项式m2n+6mn+9n分解因式的结果是.(x+3)(x-3)(m+2)2n(m+3)2 知识梳理概念因式分
5、解:把一个多项式化成几个整式的积的形式方法提公因式法ma+mb+mc=公式法平方差公式:a2-b2=完全平方公式:a22ab+b2=步骤一提(提取公因式);二套(套公式);三验(检验是否分解彻底)m(a+b+c)(a+b)(a-b)(ab)2考点六整式的乘除16.2019青岛计算(-2m)2(-mm2+3m3)的结果是()A.8m5B.-8m5C.8m6D.-4m4+12m517.计算:(4m3-2m2)(-2m)=.A-2m2+m 知识梳理单项式乘(除以)单项式单项式乘(除以)单项式,把它们的、分别相乘(除);对于只在一个单项式里含有的字母(对于只在被除式里含有的字母),则连同它的指数不变,
6、作为积(商)的因式单项式乘多项式m(a+b+c)=多项式乘多项式(m+n)(a+b)=多项式除以单项式(am+b)m=系数 同底数幂ma+mb+mcma+mb+na+nb考向一整式的运算例1 (1)2020温州化简:(x-1)2-x(x+7);(2)化简:(a-b)2-(a+b)(a-b).解:(1)原式=x2-2x+1-x2-7x=-9x+1.(2)法一:原式=a2-2ab+b2-(a2-b2)=a2-2ab+b2-a2+b2=-2ab+2b2.法二:原式=(a-b)(a-b)-(a+b)=(a-b)(-2b)=-2ab+2b2.考向精练1.2019宁波先化简,再求值:(x-2)(x+2)-
7、x(x-1),其中x=3.解:原式=x2-4-x2+x=x-4.当x=3时,原式=x-4=3-4=-1.考向二求代数式的值例2 若m2-2m=1,则代数式2m2-4m+3的值为.答案 5解析 m2-2m=1,2m2-4m+3=2(m2-2m)+3=2+3=5.【方法点析】代数式求值一般有两种类型:一是先化简,然后代入求值;二是整体代入求值.考向精练3.已知a+b=2,ab=-2,则a2+b2等于()A.0B.-4C.4D.8D5.已知a+b=5,ab=3,则a2b+ab2=;(a-b)2=.1513答案 1 考向三几何图形与代数式间的转换例3 如图3-1所示,从边长为a的正方形纸片中剪去一个边
8、长为b的小正方形,再沿着线段AB剪开,把剪成的两张纸片拼成如图所示的等腰梯形.(1)设图中阴影部分的面积为S1,图中阴影部分的面积为S2,请直接用含a,b的代数式表示S1和S2;(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式.图3-1例3 如图3-1所示,从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形,再沿着线段AB剪开,把剪成的两张纸片拼成如图所示的等腰梯形.(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式.图3-1(2)根据题意,得(a+b)(a-b)=a2-b2.【方法点析】根据剪拼前后两个图形的面积不变,可知所列出的两个不同的代数式是恒等的.考向精练答案 6解析 设长方体盒子底部的长为x,宽为y,则x-
9、y=3,a+2b=x.题图中阴影部分的周长为2x+2y,题图中阴影部分的周长为2x+2(y-2b)+2(y-a)=2x+4y-2(a+2b)=4y,题图和题图中阴影部分周长之差为(2x+2y)-4y=2(x-y)=6.7.把四张形状、大小完全相同的小长方形卡片(如图3-2)不重叠地放在一个底面为长方形的盒子底部,按图和图两种方式摆放,若长方体盒子底部的长与宽的差为3,则图和图中阴影部分周长之差为.图3-21.2020常德下列计算正确的是()A.a2+b2=(a+b)2B.a2+a4=a6C.a10a5=a2D.a2a3=a52.2020无锡若x+y=2,z-y=-3,则x+z的值等于()A.5B.1C.-1D.-53.2020鄂州因式分解:2x2-12x+18=.DC2(x-3)24.2020岳阳已知x2+2x=-1,则代数式5+x(x+2)的值为.答案 4解析 5+x(x+2)=5+x2+2x,因为x2+2x=-1,所以5+x2+2x=5+(-1)=4.5.如图3-3,记图中阴影部分面积为S甲,图中阴影部分面积为S乙,其中ab0,则S乙-S甲=.图3-3答案 b2解析 S甲=a2-(a-b)2=2ab-b2,S乙=2ab,S乙-S甲=b2.6.2020嘉兴化简:(a+2)(a-2)-a(a+1).解:原式=a2-4-a2-a=-a-4.
