1、题型三填空压轴题目录考法 类型1 多空类 类型2 几何多解类考法 类型1多空类例1 2020安徽,14在数学探究活动中,敏敏进行了如下操作:如图,将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠,使得点B落在CD上的点Q处,折痕为AP;再将PCQ,ADQ分别沿PQ,AQ折叠,此时点C,D落在AP上的同一点R处.请完成下列探究:(1)PAQ的大小为;(2)当四边形APCD是平行四边形时,的值为.【思路分析】(1)根据折叠找到对应角,推理得到PAQ与DAB的数量关系、BAD的大小,从而可得PAQ的大小.(2)根据折叠的性质得到QR与CD之间的数量关系,再利用(1)中结论、平行四边形的性质及三角函数即可求解.
2、1003类型1多空题解决与操作(折叠、剪裁、旋转等)有关的多空题(即一个填空题有两个小题,每小题各有一空)时,需要在操作过程中挖掘隐含条件,例如找出关于折痕所在直线对称的图形,进而找到对应相等的角、边等,充分利用边、角的等量关系进行推理.如例1中,进行了3次折叠操作,对应有3条折痕,相应有3组全等的三角形:折痕AP对应BAP与QAP,折痕PQ对应CQP与RQP,折痕AQ对应DAQ与RAQ.一般来说,第(1)问的结论通常是解决第(2)问的基础,具有铺垫作用.高分技法高分技法类型2几何多解类例2 2020合肥蜀山区一模如图,在RtABC中,C=90,AC=6,BC=8,点E,F分别是边AC,BC上
3、的动点,且EFAB,点C关于EF的对称点D恰好落在ABC的角平分线上,则CD的长为.【思路分析】根据轴对称的性质可知点C关于EF的对称点D落在斜边AB上的高线上,该高线不与C的平分线重合,故分“点C在B的平分线上”“点C在A的平分线上”2种情况讨论即可.1.点、线位置不确定类多解题类型2几何多解类点的位置不确定时的分类情况.1.点在直线AB上的三种可能情况:(1)点在线段AB上;(2)点在线段AB的延长线上;(3)点在线段BA的延长线上.2.点在三角形或四边形边上,需分点在三角形或四边形的各条边上进行讨论(点在三角形的角平分线上、高线上、中线上或点在四边形对角线上时,同理).3.点在弧上的两种
4、可能情况:(1)点在优弧上;(2)点在劣弧上.4.点在抛物线上的两种情况:(1)点在对称轴左侧;(2)点在对称轴右侧.注意:涉及坐标系时,也可分象限进行讨论,但不要忘记讨论该点在坐标轴上时的情况.高分技法高分技法类型2几何多解类例3 2019河南如图,在矩形ABCD中,AB=1,BC=a,点E在边BC上,且BE=a.连接AE,将ABE沿AE折叠,若点B的对应点B落在矩形ABCD的边上,则a的值为.【思路分析】分两种情况:当点B落在AD边上时,根据矩形与折叠的性质可得四边形ABEB是正方形,则BE=AB,进而可求出a的值;当点B落在CD边上时,通过ADBBCE得到对应边成比例,进而可求出a的值.
5、53类型2几何多解类折叠后某点所落的特殊位置一般是指图形的边(或边所在直线)、某条线段的三等分点处、特殊四边形的对角线(或对角线所在直线)、图形的对称轴、某角的平分线、某线段的垂直平分线.解法技巧:因为这类折叠问题中的折痕通常经过某一定点,所以常利用辅助圆确定某点折叠后的对应点的位置.图解:如图,点E为矩形ABCD的边BC上的动点,将ABE沿直线AE折叠,则点B的对应点B落在以点A为圆心、AB的长为半径的圆上.高分技法高分技法类型2几何多解类通过辅助圆找到折叠或对称后关键点的对应点所在的所有可能的位置,然后分情况构图进行讨论,借助勾股定理、相似三角形对应边成比例或同(等)角的同种三角函数值相等
6、,列方程求解.此类型中涉及一个动点的居多,解答时需注意:点落在边上时,要考虑图形的各条边;点落在角的平分线上时,要考虑是哪几个角;点落在直线上时,要考虑落在线段上、线段的延长线上和线段的反向延长线上;点落在边的垂直平分线上时,要考虑图形的各条边.高分技法高分技法类型2几何多解类例4 2019合肥蜀山区一模如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,过矩形ABCD的对角线交点O作直线,分别交AD,BC于点E,F,连接AF,若AEF是等腰三角形,则AE=.【思路分析】连接AC,CE,先根据AOECOF得出AE=CF,进而可得BF=DE.当AEF是等腰三角形时,分AF=EF,AE=AF,AE=FE三
7、种情况,分别求解即可.2.图形形状不确定类多解题类型2几何多解类1.有一个动点的等腰三角形存在性问题解题技巧:先利用“两圆一线”,确定等腰三角形的第三个顶点(即动点)的位置,再结合图形自身特点,寻求解题方法.图解:如图,在直线l上找一点C,使以点A,B,C为顶点的三角形是等腰三角形.方法:作“两圆一线”,“两圆”为分别以点A,B为圆心、AB的长为半径的圆,“一线”为线段AB的垂直平分线,它们与直线l的交点,即为要找的点C.高分技法高分技法类型2几何多解类2.有两个动点的等腰三角形存在性问题解题技巧:先大致确定图形形状,再利用等腰三角形“三线合一”的性质构造直角三角形,最后利用相似三角形、“同(
8、等)角的同种三角函数值相同”或勾股定理进行求解.图解:如图(1),在矩形ABCD中,点P在对角线AC上从点A向点C运动,同时点Q在CB上从点C向点B运动,两点的运动速度相同,何时CPQ是等腰三角形?高分技法高分技法类型2几何多解类高分技法高分技法方法:如图(2),QP=QC,过点Q作QEAC于点E,则cosQCE=cosACB,所以 ;如图(3),CP=CQ;如图(4),PC=PQ,过点P作PFBC于点F,则cosPCF=cosACB,所以 .类型2几何多解类例5 2020安庆模拟如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=8,点E为AD边上一点,将ABE沿直线BE折叠得到FBE,点G为CD边上一
9、点,将DEG沿直线EG折叠得到HEG,且E,F,H三点共线,连接CH,当CGH为直角三角形时,AE的长为.1.有一个动点的直角三角形存在性问题 解题技巧:先利用“两线一圆”,确定直角三角形第三个顶点(即动点)的位置,再结合图形自身特点,寻求解题方法.图解:如图,在直线l上找一点C,使ABC为直角三角形.方法:作“两线一圆”,“两线”为分别过点A,B的AB的垂线,“一圆”为以AB为直径的圆,它们与直线l的交点,即为符合题意的点C.高分技法高分技法类型2几何多解类2.有两个动点的直角三角形存在性问题 解题技巧:先大致确定图形形状,再利用“相似”、“同(等)角的同种三角函数值相同”或勾股定理进行求解
10、.图解:如图(1),在矩形ABCD中,点P在对角线AC上从点A向点C运动,同时点Q在CB上从点C向点B运动,两点的运动速度相同,何时CPQ是直角三角形?高分技法高分技法类型2几何多解类方法:如图(2),CQP=90,由cosPCQ=cosACB,得 ;如图(3),CPQ=90,由cosQCP=cosACB,得 .高分技法高分技法类型2几何多解类例6 如图,在矩形ABCD中,点E为AB的中点,点F为射线AD上一动点,AEF与AEF关于EF所在直线对称,连接AC,分别交EA,EF于点M,N,AB=2,AD=2.若EMN与AEF相似,则AF的长为.1或或3【思路分析】在EMN和AEF中,已知NEM=
11、AEF,EAF=90,据此分NME=90和MNE=90两种情况讨论.相似三角形的存在性问题解题技巧:此类问题一般已知一组对应角,再分两种情况讨论.方法一:根据对应角相等分情况求解;方法二:根据对应线段成比例分情况求解.高分技法高分技法类型2几何多解类例7 2019安庆模拟如图,ABC是一张等腰三角形纸片,且AB=AC=6,BC=4,将ABC沿着某条过它的一个顶点的直线折叠,打开后再沿着所得到的折痕剪开,若剪开后的两个三角形能够拼成一个与原ABC不全等的新三角形,则折痕的长为.【思路分析】若要使纸片剪开后重新拼成一个三角形,需沿三角形的中线剪开,旋转180后拼成一个新的三角形.3.操作过程不确定
12、类多解题类型2几何多解类例8 如图,有一张面积为12的锐角三角形纸片,其中BC为4,把它剪两刀拼成一个无缝隙、无重叠的矩形,且矩形的一边与BC平行,则矩形的周长为.【思路分析】由三角形裁剪后拼成的图形为矩形,且矩形的一边与BC平行,可知矩形另一边与BC垂直,作出ABC边BC上的高AD,再分别将ABD和ACD沿中位线剪开后进行旋转变换即可.此类问题通常涉及裁剪、拼接等操作,裁剪方式或拼接方式的不同使得此类问题多解,解题的关键在于不重不漏地画出所有可能出现的情况,充分利用高线、中位线、中线等特征线段隐含的等量关系.高分技法高分技法14或或16类型3函数多解类例9 2020合肥瑶海区一模抛物线y=x
13、2+2ax-3与x轴交于A,B(1,0)两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,将抛物线沿y轴平移m(m0)个单位长度.若平移后的抛物线与线段OA有且只有一个交点,则m的取值范围是 .0m3或或m=4【思路分析】求得原抛物线的解析式,得到平移后的抛物线的解析式,分析当平移后抛物线与线段OA有且只有一个交点(非顶点)时与y轴交于负半轴,得到m的取值范围;分析平移后抛物线的顶点在线段OA上时m的值.综合两种情况即可得到m的取值范围.类型3函数多解类当函数图象不确定时,需分情况画出函数的大致图象,利用数形结合思想解决问题.1.若求交点横或纵坐标或某参数的取值范围,常需找到临界情况,求得相应的解析式,再进一步求解.2.在判断两个函数的图象有无交点时,可利用方程思想,结合一元二次方程的根的判别式解决问题.3.在求不等式的解集时,结合两个函数的图象在交点附近的上、下位置关系求解.高分技法高分技法
